Theorem metcni2 9173

Description: Epsilon-delta property of a continuous metric space function.

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.1	|- X = dom dom C
metcn.2	|- J = (Open` C)
metcn.3	|- Y = dom dom D
metcn.4	|- K = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
metcni2	|- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) <_ x -> ((F` P)D(F` y)) <_ A)))

Distinct variable groups:   x,y,F   x,C,y   x,D,y   x,X,y   x,Y,y   x,P,y   x,J,y   x,K,y   x,A,y

Proof of Theorem metcni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.1	. . 3 |- X = dom dom C
2		metcn.2	. . 3 |- J = (Open` C)
3		metcn.3	. . 3 |- Y = dom dom D
4		metcn.4	. . 3 |- K = (Open` D)
5	1, 2, 3, 4	metcni 9172	. 2 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> E.z e. RR (0 < z /\ A.y e. X ((PCy) < z -> ((F` P)D(F` y)) < A)))
6		rehalfcl 7220	. . . . . 6 |- (z e. RR -> (z / 2) e. RR)
7	6	ad2antrl 442	. . . . 5 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) /\ (z e. RR /\ (0 < z /\ A.y e. X ((PCy) < z -> ((F` P)D(F` y)) < A)))) -> (z / 2) e. RR)
8	1	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((C e. Met /\ P e. X /\ y e. X) -> (PCy) e. RR)
9		halfpos 7222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (z e. RR -> (0 < z <-> (z / 2) < z))
10	9	biimpa 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((z e. RR /\ 0 < z) -> (z / 2) < z)
11	10	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((PCy) e. RR /\ (z e. RR /\ 0 < z)) -> (z / 2) < z)
12		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((PCy) e. RR /\ z e. RR) -> (PCy) e. RR)
13	6	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((PCy) e. RR /\ z e. RR) -> (z / 2) e. RR)
14		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((PCy) e. RR /\ z e. RR) -> z e. RR)
15		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((PCy) e. RR /\ (z / 2) e. RR /\ z e. RR) -> (((PCy) <_ (z / 2) /\ (z / 2) < z) -> (PCy) < z))
16	12, 13, 14, 15	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((PCy) e. RR /\ z e. RR) -> (((PCy) <_ (z / 2) /\ (z / 2) < z) -> (PCy) < z))
17	16	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((PCy) e. RR /\ (z e. RR /\ 0 < z)) -> (((PCy) <_ (z / 2) /\ (z / 2) < z) -> (PCy) < z))
18	11, 17	mpan2d 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((PCy) e. RR /\ (z e. RR /\ 0 < z)) -> ((PCy) <_ (z / 2) -> (PCy) < z))
19	18	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((PCy) e. RR -> ((z e. RR /\ 0 < z) -> ((PCy) <_ (z / 2) -> (PCy) < z)))
20	8, 19	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((C e. Met /\ P e. X /\ y e. X) -> ((z e. RR /\ 0 < z) -> ((PCy) <_ (z / 2) -> (PCy) < z)))
21	20	3expia 1069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C e. Met /\ P e. X) -> (y e. X -> ((z e. RR /\ 0 < z) -> ((PCy) <_ (z / 2) -> (PCy) < z))))
22	21	com23 36	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. Met /\ P e. X) -> ((z e. RR /\ 0 < z) -> (y e. X -> ((PCy) <_ (z / 2) -> (PCy) < z))))
23	22	3ad2antr1 1041	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. Met /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> ((z e. RR /\ 0 < z) -> (y e. X -> ((PCy) <_ (z / 2) -> (PCy) < z))))
24	23	3ad2antl1 1038	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> ((z e. RR /\ 0 < z) -> (y e. X -> ((PCy) <_ (z / 2) -> (PCy) < z))))
25	24	imp31 389	. . . . . . . . . 10 |- (((((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) /\ (z e. RR /\ 0 < z)) /\ y e. X) -> ((PCy) <_ (z / 2) -> (PCy) < z))
26	3	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((D e. Met /\ (F` P) e. Y /\ (F` y) e. Y) -> ((F` P)D(F` y)) e. RR)
27	26	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((D e. Met /\ ((F` P) e. Y /\ (F` y) e. Y)) -> ((F` P)D(F` y)) e. RR)
28		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((F:X-->Y /\ P e. X) -> (F` P) e. Y)
29		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((F:X-->Y /\ y e. X) -> (F` y) e. Y)
30	28, 29	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((F:X-->Y /\ P e. X) /\ (F:X-->Y /\ y e. X)) -> ((F` P) e. Y /\ (F` y) e. Y))
31	30	anandis 570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F:X-->Y /\ (P e. X /\ y e. X)) -> ((F` P) e. Y /\ (F` y) e. Y))
32	27, 31	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((D e. Met /\ (F:X-->Y /\ (P e. X /\ y e. X))) -> ((F` P)D(F` y)) e. RR)
33	32	exp45 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (D e. Met -> (F:X-->Y -> (P e. X -> (y e. X -> ((F` P)D(F` y)) e. RR))))
34	33	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((D e. Met /\ F:X-->Y) -> (P e. X -> (y e. X -> ((F` P)D(F` y)) e. RR)))
35	34	3adant1 894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F:X-->Y) -> (P e. X -> (y e. X -> ((F` P)D(F` y)) e. RR)))
36	1, 3, 2, 4	metcnf 9162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> F:X-->Y)
37	35, 36	syld3an3 1142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> (P e. X -> (y e. X -> ((F` P)D(F` y)) e. RR)))
38	37	imp 377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ P e. X) -> (y e. X -> ((F` P)D(F` y)) e. RR))
39	38	3ad2antr1 1041	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> (y e. X -> ((F` P)D(F` y)) e. RR))
40	39	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) /\ y e. X) -> ((F` P)D(F` y)) e. RR)
41		simplr2 919	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) /\ y e. X) -> A e. RR)
42		ltle 6690	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((F` P)D(F` y)) e. RR /\ A e. RR) -> (((F` P)D(F` y)) < A -> ((F` P)D(F` y)) <_ A))
43	40, 41, 42	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) /\ y e. X) -> (((F` P)D(F` y)) < A -> ((F` P)D(F` y)) <_ A))
44	43	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) /\ (z e. RR /\ 0 < z)) /\ y e. X) -> (((F` P)D(F` y)) < A -> ((F` P)D(F` y)) <_ A))
45	25, 44	imim12d 69	. . . . . . . . 9 |- (((((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) /\ (z e. RR /\ 0 < z)) /\ y e. X) -> (((PCy) < z -> ((F` P)D(F` y)) < A) -> ((PCy) <_ (z / 2) -> ((F` P)D(F` y)) <_ A)))
46	45	ralimdvaa 2171	. . . . . . . 8 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) /\ (z e. RR /\ 0 < z)) -> (A.y e. X ((PCy) < z -> ((F` P)D(F` y)) < A) -> A.y e. X ((PCy) <_ (z / 2) -> ((F` P)D(F` y)) <_ A)))
47		halfpos2 7223	. . . . . . . . . 10 |- (z e. RR -> (0 < z <-> 0 < (z / 2)))
48	47	biimpa 460	. . . . . . . . 9 |- ((z e. RR /\ 0 < z) -> 0 < (z / 2))
49	48	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) /\ (z e. RR /\ 0 < z)) -> 0 < (z / 2))
50	46, 49	jctild 662	. . . . . . 7 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) /\ (z e. RR /\ 0 < z)) -> (A.y e. X ((PCy) < z -> ((F` P)D(F` y)) < A) -> (0 < (z / 2) /\ A.y e. X ((PCy) <_ (z / 2) -> ((F` P)D(F` y)) <_ A))))
51	50	exp32 408	. . . . . 6 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> (z e. RR -> (0 < z -> (A.y e. X ((PCy) < z -> ((F` P)D(F` y)) < A) -> (0 < (z / 2) /\ A.y e. X ((PCy) <_ (z / 2) -> ((F` P)D(F` y)) <_ A))))))
52	51	imp45 399	. . . . 5 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) /\ (z e. RR /\ (0 < z /\ A.y e. X ((PCy) < z -> ((F` P)D(F` y)) < A)))) -> (0 < (z / 2) /\ A.y e. X ((PCy) <_ (z / 2) -> ((F` P)D(F` y)) <_ A)))
53		breq2 3342	. . . . . . 7 |- (x = (z / 2) -> (0 < x <-> 0 < (z / 2)))
54		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (x = (z / 2) -> ((PCy) <_ x <-> (PCy) <_ (z / 2)))
55	54	imbi1d 675	. . . . . . . 8 |- (x = (z / 2) -> (((PCy) <_ x -> ((F` P)D(F` y)) <_ A) <-> ((PCy) <_ (z / 2) -> ((F` P)D(F` y)) <_ A)))
56	55	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (x = (z / 2) -> (A.y e. X ((PCy) <_ x -> ((F` P)D(F` y)) <_ A) <-> A.y e. X ((PCy) <_ (z / 2) -> ((F` P)D(F` y)) <_ A)))
57	53, 56	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (x = (z / 2) -> ((0 < x /\ A.y e. X ((PCy) <_ x -> ((F` P)D(F` y)) <_ A)) <-> (0 < (z / 2) /\ A.y e. X ((PCy) <_ (z / 2) -> ((F` P)D(F` y)) <_ A))))
58	57	rcla4ev 2381	. . . . 5 |- (((z / 2) e. RR /\ (0 < (z / 2) /\ A.y e. X ((PCy) <_ (z / 2) -> ((F` P)D(F` y)) <_ A))) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) <_ x -> ((F` P)D(F` y)) <_ A)))
59	7, 52, 58	syl11anc 524	. . . 4 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) /\ (z e. RR /\ (0 < z /\ A.y e. X ((PCy) < z -> ((F` P)D(F` y)) < A)))) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) <_ x -> ((F` P)D(F` y)) <_ A)))
60	59	exp32 408	. . 3 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> (z e. RR -> ((0 < z /\ A.y e. X ((PCy) < z -> ((F` P)D(F` y)) < A)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) <_ x -> ((F` P)D(F` y)) <_ A)))))
61	60	r19.23adv 2215	. 2 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> (E.z e. RR (0 < z /\ A.y e. X ((PCy) < z -> ((F` P)D(F` y)) < A)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) <_ x -> ((F` P)D(F` y)) <_ A))))
62	5, 61	mpd 29	1 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) <_ x -> ((F` P)D(F` y)) <_ A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   / cdiv 6447   <_ cle 6448   < clt 6653  2c2 7145   Cn ccn 9028  Metcme 9066  Opencopn 9069

This theorem is referenced by:  nvcni2 9662

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-2 7154  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073

Copyright terms: Public domain