Theorem metcni 9172

Description: Epsilon-delta property of a continuous metric space function.

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.1	|- X = dom dom C
metcn.2	|- J = (Open` C)
metcn.3	|- Y = dom dom D
metcn.4	|- K = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
metcni	|- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))

Distinct variable groups:   x,y,F   x,C,y   x,D,y   x,X,y   x,Y,y   x,P,y   x,J,y   x,K,y   x,A,y

Proof of Theorem metcni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = P -> (zCy) = (PCy))
2	1	breq1d 3348	. . . . . . . . . . 11 |- (z = P -> ((zCy) < x <-> (PCy) < x))
3		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = P -> (F` z) = (F` P))
4	3	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = P -> ((F` z)D(F` y)) = ((F` P)D(F` y)))
5	4	breq1d 3348	. . . . . . . . . . 11 |- (z = P -> (((F` z)D(F` y)) < w <-> ((F` P)D(F` y)) < w))
6	2, 5	imbi12d 688	. . . . . . . . . 10 |- (z = P -> (((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w) <-> ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)))
7	6	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (z = P -> (A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w) <-> A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)))
8	7	anbi2d 678	. . . . . . . 8 |- (z = P -> ((0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w)) <-> (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w))))
9	8	rexbidv 2124	. . . . . . 7 |- (z = P -> (E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w)) <-> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w))))
10	9	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (z = P -> ((0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))) <-> (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)))))
11		breq2 3342	. . . . . . 7 |- (w = A -> (0 < w <-> 0 < A))
12		breq2 3342	. . . . . . . . . . 11 |- (w = A -> (((F` P)D(F` y)) < w <-> ((F` P)D(F` y)) < A))
13	12	imbi2d 674	. . . . . . . . . 10 |- (w = A -> (((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w) <-> ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))
14	13	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (w = A -> (A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w) <-> A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))
15	14	anbi2d 678	. . . . . . . 8 |- (w = A -> ((0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)) <-> (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A))))
16	15	rexbidv 2124	. . . . . . 7 |- (w = A -> (E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)) <-> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A))))
17	11, 16	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (w = A -> ((0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w))) <-> (0 < A -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))))
18	10, 17	rcla42v 2384	. . . . 5 |- ((P e. X /\ A e. RR) -> (A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))) -> (0 < A -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))))
19		metcn.1	. . . . . . . 8 |- X = dom dom C
20		metcn.2	. . . . . . . 8 |- J = (Open` C)
21		metcn.3	. . . . . . . 8 |- Y = dom dom D
22		metcn.4	. . . . . . . 8 |- K = (Open` D)
23	19, 20, 21, 22	metcn 9167	. . . . . . 7 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:X-->Y /\ A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))))))
24		simpr 350	. . . . . . 7 |- ((F:X-->Y /\ A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w)))) -> A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))))
25	23, 24	syl6bi 231	. . . . . 6 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> (F e. (J Cn K) -> A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w)))))
26	25	3impia 1064	. . . . 5 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))))
27	18, 26	syl5 20	. . . 4 |- ((P e. X /\ A e. RR) -> ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> (0 < A -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))))
28	27	com23 36	. . 3 |- ((P e. X /\ A e. RR) -> (0 < A -> ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))))
29	28	3impia 1064	. 2 |- ((P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A) -> ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A))))
30	29	impcom 378	1 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   < clt 6653   Cn ccn 9028  Metcme 9066  Opencopn 9069

This theorem is referenced by:  metcni2 9173  xpcn 9254  nvcni 9661

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073

Copyright terms: Public domain