Theorem metcn4i 9250

Description: Convergence carries through a continuous mapping.

Hypotheses

Ref	Expression
metcn4i.1	|- X = dom dom C
metcn4i.c	|- J = (Open` C)
metcn4i.d	|- K = (Open` D)
metcn4i.5	|- H = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (G` j)))}
metcn4i.p	|- P e. _V

Assertion

Ref	Expression
metcn4i	|- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (G:NN-->X /\ G(~~>m` C)P)) -> H(~~>m` D)(F` P))

Distinct variable groups:   y,j,D   j,F,y   j,G,y   j,X

Proof of Theorem metcn4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn4i.p	. . . . 5 |- P e. _V
2		metcn4i.1	. . . . . 6 |- X = dom dom C
3	2	lmcl 9227	. . . . 5 |- ((C e. Met /\ P e. _V /\ G(~~>m` C)P) -> P e. X)
4	1, 3	mp3an2 1179	. . . 4 |- ((C e. Met /\ G(~~>m` C)P) -> P e. X)
5	4	ad2ant2rl 447	. . 3 |- (((C e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (G:NN-->X /\ G(~~>m` C)P)) -> P e. X)
6	5	3adantl2 1033	. 2 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (G:NN-->X /\ G(~~>m` C)P)) -> P e. X)
7		breq2 3342	. . . . . . 7 |- (p = P -> (G(~~>m` C)p <-> G(~~>m` C)P))
8		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (p = P -> (F` p) = (F` P))
9	8	breq2d 3350	. . . . . . 7 |- (p = P -> (H(~~>m` D)(F` p) <-> H(~~>m` D)(F` P)))
10	7, 9	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (p = P -> ((G(~~>m` C)p -> H(~~>m` D)(F` p)) <-> (G(~~>m` C)P -> H(~~>m` D)(F` P))))
11	10	rcla4v 2376	. . . . 5 |- (P e. X -> (A.p e. X (G(~~>m` C)p -> H(~~>m` D)(F` p)) -> (G(~~>m` C)P -> H(~~>m` D)(F` P))))
12		nnex 7116	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
13		fex 4595	. . . . . . . 8 |- ((G:NN-->X /\ NN e. _V) -> G e. _V)
14	12, 13	mpan2 760	. . . . . . 7 |- (G:NN-->X -> G e. _V)
15		feq1 4551	. . . . . . . . . . 11 |- (g = G -> (g:NN-->X <-> G:NN-->X))
16		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . 13 |- (g = G -> (g(~~>m` C)p <-> G(~~>m` C)p))
17		fveq1 4680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (g = G -> (g` j) = (G` j))
18	17	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (g = G -> (F` (g` j)) = (F` (G` j)))
19	18	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (g = G -> (y = (F` (g` j)) <-> y = (F` (G` j))))
20	19	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (g = G -> ((j e. NN /\ y = (F` (g` j))) <-> (j e. NN /\ y = (F` (G` j)))))
21	20	opabbidv 3401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (g = G -> {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (G` j)))})
22		metcn4i.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- H = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (G` j)))}
23	21, 22	syl6eqr 1946	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (g = G -> {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))} = H)
24	23	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . 13 |- (g = G -> ({<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))} (~~>m` D)(F` p) <-> H(~~>m` D)(F` p)))
25	16, 24	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . 12 |- (g = G -> ((g(~~>m` C)p -> {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))} (~~>m` D)(F` p)) <-> (G(~~>m` C)p -> H(~~>m` D)(F` p))))
26	25	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . 11 |- (g = G -> (A.p e. X (g(~~>m` C)p -> {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))} (~~>m` D)(F` p)) <-> A.p e. X (G(~~>m` C)p -> H(~~>m` D)(F` p))))
27	15, 26	imbi12d 688	. . . . . . . . . 10 |- (g = G -> ((g:NN-->X -> A.p e. X (g(~~>m` C)p -> {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))} (~~>m` D)(F` p))) <-> (G:NN-->X -> A.p e. X (G(~~>m` C)p -> H(~~>m` D)(F` p)))))
28	27	cla4gv 2364	. . . . . . . . 9 |- (G e. _V -> (A.g(g:NN-->X -> A.p e. X (g(~~>m` C)p -> {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))} (~~>m` D)(F` p))) -> (G:NN-->X -> A.p e. X (G(~~>m` C)p -> H(~~>m` D)(F` p)))))
29		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- dom dom D = dom dom D
30		metcn4i.c	. . . . . . . . . . 11 |- J = (Open` C)
31		metcn4i.d	. . . . . . . . . . 11 |- K = (Open` D)
32	2, 29, 30, 31	metcnf 9162	. . . . . . . . . 10 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> F:X-->dom dom D)
33		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))}
34	2, 29, 30, 31, 33	metcn4 9249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F:X-->dom dom D) -> (F e. (J Cn K) <-> A.g(g:NN-->X -> A.p e. X (g(~~>m` C)p -> {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))} (~~>m` D)(F` p)))))
35	34	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F:X-->dom dom D) -> (F e. (J Cn K) -> A.g(g:NN-->X -> A.p e. X (g(~~>m` C)p -> {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))} (~~>m` D)(F` p)))))
36	35	3exp 1066	. . . . . . . . . . . 12 |- (C e. Met -> (D e. Met -> (F:X-->dom dom D -> (F e. (J Cn K) -> A.g(g:NN-->X -> A.p e. X (g(~~>m` C)p -> {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))} (~~>m` D)(F` p)))))))
37	36	com34 40	. . . . . . . . . . 11 |- (C e. Met -> (D e. Met -> (F e. (J Cn K) -> (F:X-->dom dom D -> A.g(g:NN-->X -> A.p e. X (g(~~>m` C)p -> {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))} (~~>m` D)(F` p)))))))
38	37	3imp 1061	. . . . . . . . . 10 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> (F:X-->dom dom D -> A.g(g:NN-->X -> A.p e. X (g(~~>m` C)p -> {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))} (~~>m` D)(F` p)))))
39	32, 38	mpd 29	. . . . . . . . 9 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> A.g(g:NN-->X -> A.p e. X (g(~~>m` C)p -> {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (g` j)))} (~~>m` D)(F` p))))
40	28, 39	syl5 20	. . . . . . . 8 |- (G e. _V -> ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> (G:NN-->X -> A.p e. X (G(~~>m` C)p -> H(~~>m` D)(F` p)))))
41	40	com3l 38	. . . . . . 7 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> (G:NN-->X -> (G e. _V -> A.p e. X (G(~~>m` C)p -> H(~~>m` D)(F` p)))))
42	14, 41	mpdi 59	. . . . . 6 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> (G:NN-->X -> A.p e. X (G(~~>m` C)p -> H(~~>m` D)(F` p))))
43	42	imp 377	. . . . 5 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ G:NN-->X) -> A.p e. X (G(~~>m` C)p -> H(~~>m` D)(F` p)))
44	11, 43	syl5 20	. . . 4 |- (P e. X -> (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ G:NN-->X) -> (G(~~>m` C)P -> H(~~>m` D)(F` P))))
45	44	com3l 38	. . 3 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ G:NN-->X) -> (G(~~>m` C)P -> (P e. X -> H(~~>m` D)(F` P))))
46	45	impr 422	. 2 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (G:NN-->X /\ G(~~>m` C)P)) -> (P e. X -> H(~~>m` D)(F` P)))
47	6, 46	mpd 29	1 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (G:NN-->X /\ G(~~>m` C)P)) -> H(~~>m` D)(F` P))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  {copab 3395  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  NNcn 6449   Cn ccn 9028  Metcme 9066  Opencopn 9069  ~~>mclm 9197

This theorem is referenced by:  ubthlem3 9874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200

Copyright terms: Public domain