MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcn Unicode version

Theorem metcn 17921
Description: Two ways to say a mapping from metric  C to metric  D is continuous. Theorem 10.1 of [Munkres] p. 127. The second biconditional argument says that for every positive "epsilon"  y there is a positive "delta"  z such that a distance less than delta in  C maps to a distance less than epsilon in  D. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcn  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, F    w, J, x, y, z    w, K, x, y, z    w, X, x, y, z    w, Y, x, y, z    w, C, x, y, z    w, D, x, y, z

Proof of Theorem metcn
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
21mopntopon 17817 . . 3  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3 metcn.4 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
43mopntopon 17817 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
5 cncnp 16841 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
62, 4, 5syl2an 465 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
71, 3metcnp 17919 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
873expa 1156 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
98adantlr 698 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
10 simplr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  F : X --> Y )
1110biantrurd 496 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  <  y )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) ) )
129, 11bitr4d 249 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) )
1312ralbidva 2523 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) )
1413pm5.32da 625 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  (
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  <  z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) ) )
156, 14bitrd 246 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510   class class class wbr 3920   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    < clt 8747   RR+crp 10233   * Metcxmt 16201   MetOpencmopn 16204  TopOnctopon 16464    Cn ccn 16786    CnP ccnp 16787
This theorem is referenced by:  nrginvrcn  18034  nghmcn  18086  metdscn  18192  divcn  18204  cncfmet  18244  nmcvcn  21098  blocni  21213  hhcno  22314  hhcnf  22315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-topgen 13218  df-xmet 16205  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-cn 16789  df-cnp 16790
  Copyright terms: Public domain W3C validator