MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcn Structured version   Unicode version

Theorem metcn 20774
Description: Two ways to say a mapping from metric  C to metric  D is continuous. Theorem 10.1 of [Munkres] p. 127. The second biconditional argument says that for every positive "epsilon"  y there is a positive "delta"  z such that a distance less than delta in  C maps to a distance less than epsilon in  D. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcn  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, F    w, J, x, y, z    w, K, x, y, z    w, X, x, y, z    w, Y, x, y, z    w, C, x, y, z    w, D, x, y, z

Proof of Theorem metcn
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
21mopntopon 20670 . . 3  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3 metcn.4 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
43mopntopon 20670 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
5 cncnp 19540 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
62, 4, 5syl2an 477 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
71, 3metcnp 20772 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
873expa 1191 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
98adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) ) )
10 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  F : X
--> Y )
1110biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
129, 11bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) )
1312ralbidva 2893 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) )
1413pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  (
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  <  z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) ) )
156, 14bitrd 253 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    < clt 9617   RR+crp 11209   *Metcxmt 18167   MetOpencmopn 18172  TopOnctopon 19155    Cn ccn 19484    CnP ccnp 19485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cn 19487  df-cnp 19488
This theorem is referenced by:  nrginvrcn  20928  nghmcn  20980  metdscn  21088  divcn  21100  cncfmet  21140  nmcvcn  25267  blocni  25382  hhcno  26485  hhcnf  26486  fmcncfil  27535  heicant  29613
  Copyright terms: Public domain W3C validator