MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld2 Structured version   Unicode version

Theorem metcld2 20919
Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcld2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S ) )

Proof of Theorem metcld2
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21metcld 20918 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  A. x A. f
( ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  S )
) )
3 19.23v 1911 . . . . 5  |-  ( A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
) )
4 vex 3057 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
54elima2 5259 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) )  <->  E. f ( f  e.  ( S  ^m  NN )  /\  f ( ~~> t `  J ) x ) )
6 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  X  ->  S  C_  X )
7 elfvdm 5801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
8 ssexg 4522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  X  /\  X  e.  dom  *Met )  ->  S  e.  _V )
96, 7, 8syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  S  e.  _V )
10 nnex 10415 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
11 elmapg 7313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  NN  e.  _V )  -> 
( f  e.  ( S  ^m  NN )  <-> 
f : NN --> S ) )
129, 10, 11sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( f  e.  ( S  ^m  NN ) 
<->  f : NN --> S ) )
1312anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( (
f  e.  ( S  ^m  NN )  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  <-> 
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x ) ) )
1413exbidv 1681 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( E. f ( f  e.  ( S  ^m  NN )  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  <->  E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x ) ) )
155, 14syl5rbb 258 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  <->  x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) ) )
1615imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( ( E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  S )  <->  ( x  e.  ( ( ~~> t `  J )
" ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S ) ) )
173, 16syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S
) ) )
1817albidv 1680 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. x A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  A. x ( x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S
) ) )
19 dfss2 3429 . . 3  |-  ( ( ( ~~> t `  J
) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S  <->  A. x
( x  e.  ( ( ~~> t `  J
) " ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S
) )
2018, 19syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. x A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S ) )
212, 20bitrd 253 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1757   _Vcvv 3054    C_ wss 3412   class class class wbr 4376   dom cdm 4924   "cima 4927   -->wf 5498   ` cfv 5502  (class class class)co 6176    ^m cmap 7300   NNcn 10409   *Metcxmt 17896   MetOpencmopn 17901   Clsdccld 18722   ~~> tclm 18932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cc 8691  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-sup 7778  df-card 8196  df-acn 8199  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-q 11041  df-rp 11079  df-xneg 11176  df-xadd 11177  df-xmul 11178  df-fz 11525  df-topgen 14470  df-psmet 17904  df-xmet 17905  df-bl 17907  df-mopn 17908  df-top 18605  df-bases 18607  df-topon 18608  df-cld 18725  df-ntr 18726  df-cls 18727  df-lm 18935  df-1stc 19145
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator