MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld2 Structured version   Unicode version

Theorem metcld2 21871
Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcld2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S ) )

Proof of Theorem metcld2
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21metcld 21870 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  A. x A. f
( ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  S )
) )
3 19.23v 1761 . . . . 5  |-  ( A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
) )
4 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
54elima2 5353 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) )  <->  E. f ( f  e.  ( S  ^m  NN )  /\  f ( ~~> t `  J ) x ) )
6 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  X  ->  S  C_  X )
7 elfvdm 5898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
8 ssexg 4602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  X  /\  X  e.  dom  *Met )  ->  S  e.  _V )
96, 7, 8syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  S  e.  _V )
10 nnex 10562 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
11 elmapg 7451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  NN  e.  _V )  -> 
( f  e.  ( S  ^m  NN )  <-> 
f : NN --> S ) )
129, 10, 11sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( f  e.  ( S  ^m  NN ) 
<->  f : NN --> S ) )
1312anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( (
f  e.  ( S  ^m  NN )  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  <-> 
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x ) ) )
1413exbidv 1715 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( E. f ( f  e.  ( S  ^m  NN )  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  <->  E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x ) ) )
155, 14syl5rbb 258 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  <->  x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) ) )
1615imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( ( E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  S )  <->  ( x  e.  ( ( ~~> t `  J )
" ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S ) ) )
173, 16syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S
) ) )
1817albidv 1714 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. x A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  A. x ( x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S
) ) )
19 dfss2 3488 . . 3  |-  ( ( ( ~~> t `  J
) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S  <->  A. x
( x  e.  ( ( ~~> t `  J
) " ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S
) )
2018, 19syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. x A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S ) )
212, 20bitrd 253 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1393    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   "cima 5011   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   NNcn 10556   *Metcxmt 18530   MetOpencmopn 18535   Clsdccld 19644   ~~> tclm 19854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-acn 8340  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-lm 19857  df-1stc 20066
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator