MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld Unicode version

Theorem metcld 19211
Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 11-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcld  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  A. x A. f
( ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  S )
) )
Distinct variable groups:    x, f, D    f, J, x    S, f, x    f, X, x

Proof of Theorem metcld
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 18423 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  J  e.  Top )
41mopnuni 18424 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
54sseq2d 3336 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( S  C_  X  <->  S  C_  U. J
) )
65biimpa 471 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  S  C_  U. J
)
7 eqid 2404 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
87iscld4 17084 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  S )
)
93, 6, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  S )
)
10 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
11 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  S  C_  X
)
121, 10, 11metelcls 19210 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x ) ) )
1312imbi1d 309 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  ->  x  e.  S )  <->  ( E. f ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
) ) )
14 19.23v 1910 . . . . 5  |-  ( A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
) )
1513, 14syl6rbbr 256 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  ->  x  e.  S ) ) )
1615albidv 1632 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. x A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  A. x ( x  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  x  e.  S ) ) )
17 dfss2 3297 . . 3  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  S  <->  A. x ( x  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  x  e.  S ) )
1816, 17syl6bbr 255 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. x A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  S )
)
199, 18bitr4d 248 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  A. x A. f
( ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  S )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413   NNcn 9956   * Metcxmt 16641   MetOpencmopn 16646   Topctop 16913   Clsdccld 17035   clsccl 17037   ~~> tclm 17244
This theorem is referenced by:  metcld2  19212
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-acn 7785  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-lm 17247  df-1stc 17455
  Copyright terms: Public domain W3C validator