Theorem metcld 9245

Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30.

Hypotheses

Ref	Expression
metcls.1	|- X = dom dom D
metcls.2	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
metcld	|- ((D e. Met /\ M C_ X) -> (M e. (Clsd` J) <-> A.xA.f((f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M)))

Distinct variable groups:   x,f,D   f,J,x   f,M,x   f,X,x

Proof of Theorem metcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcls.2	. . . . 5 |- J = (Open` D)
2	1	opntop 9147	. . . 4 |- (D e. Met -> J e. Top)
3	2	adantr 425	. . 3 |- ((D e. Met /\ M C_ X) -> J e. Top)
4		metcls.1	. . . . . 6 |- X = dom dom D
5	4, 1	uniopn2 9138	. . . . 5 |- (D e. Met -> U.J = X)
6	5	sseq2d 2645	. . . 4 |- (D e. Met -> (M C_ U.J <-> M C_ X))
7	6	biimpar 461	. . 3 |- ((D e. Met /\ M C_ X) -> M C_ U.J)
8		eqid 1884	. . . 4 |- U.J = U.J
9	8	iscld4 8972	. . 3 |- ((J e. Top /\ M C_ U.J) -> (M e. (Clsd` J) <-> ((cls` J)` M) C_ M))
10	3, 7, 9	syl11anc 524	. 2 |- ((D e. Met /\ M C_ X) -> (M e. (Clsd` J) <-> ((cls` J)` M) C_ M))
11		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
12	4, 1, 11	metelcls 9243	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ M C_ X) -> (x e. ((cls` J)` M) <-> E.f(f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x)))
13	12	imbi1d 675	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ M C_ X) -> ((x e. ((cls` J)` M) -> x e. M) <-> (E.f(f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M)))
14		19.23v 1672	. . . . 5 |- (A.f((f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M) <-> (E.f(f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M))
15	13, 14	syl6rbbr 598	. . . 4 |- ((D e. Met /\ M C_ X) -> (A.f((f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M) <-> (x e. ((cls` J)` M) -> x e. M)))
16	15	albidv 1656	. . 3 |- ((D e. Met /\ M C_ X) -> (A.xA.f((f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M) <-> A.x(x e. ((cls` J)` M) -> x e. M)))
17		dfss2 2610	. . 3 |- (((cls` J)` M) C_ M <-> A.x(x e. ((cls` J)` M) -> x e. M))
18	16, 17	syl6bbr 597	. 2 |- ((D e. Met /\ M C_ X) -> (A.xA.f((f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M) <-> ((cls` J)` M) C_ M))
19	10, 18	bitr4d 590	1 |- ((D e. Met /\ M C_ X) -> (M e. (Clsd` J) <-> A.xA.f((f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  NNcn 6449  Topctop 8857  Clsdccld 8936  clsccl 8938  Metcme 9066  Opencopn 9069  ~~>mclm 9197

This theorem is referenced by:  ubthlem4 9875

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-top 8861  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-nei 8989  df-lp 9017  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200

Copyright terms: Public domain