MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcl Structured version   Unicode version

Theorem metcl 20570
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
metcl  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )

Proof of Theorem metcl
StepHypRef Expression
1 metf 20568 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
2 fovrn 6427 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR )
31, 2syl3an1 1261 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    e. wcel 1767    X. cxp 4997   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   Metcme 18175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-met 18184
This theorem is referenced by:  mettri2  20579  metrtri  20595  prdsmet  20608  imasf1omet  20614  blpnf  20635  bl2in  20638  mscl  20699  metss2lem  20749  methaus  20758  nmf2  20848  metdsre  21092  iscmet3lem1  21465  minveclem2  21576  minveclem3b  21578  minveclem3  21579  minveclem4  21582  minveclem7  21585  dvlog2lem  22761  vacn  25280  nmcvcn  25281  smcnlem  25283  blocni  25396  minvecolem2  25467  minvecolem3  25468  minvecolem4  25472  minvecolem7  25475  metf1o  29851  mettrifi  29853  lmclim2  29854  geomcau  29855  isbnd3  29883  isbnd3b  29884  ssbnd  29887  totbndbnd  29888  equivbnd  29889  prdsbnd  29892  heibor1lem  29908  heiborlem6  29915  bfplem1  29921  bfplem2  29922  bfp  29923  rrncmslem  29931  rrnequiv  29934  rrntotbnd  29935
  Copyright terms: Public domain W3C validator