MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcl Structured version   Unicode version

Theorem metcl 19749
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
metcl  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )

Proof of Theorem metcl
StepHypRef Expression
1 metf 19747 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
2 fovrn 6222 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR )
31, 2syl3an1 1244 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 958    e. wcel 1755    X. cxp 4825   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9269   Metcme 17646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-map 7204  df-met 17655
This theorem is referenced by:  mettri2  19758  metrtri  19774  prdsmet  19787  imasf1omet  19793  blpnf  19814  bl2in  19817  mscl  19878  metss2lem  19928  methaus  19937  nmf2  20027  metdsre  20271  iscmet3lem1  20644  minveclem2  20755  minveclem3b  20757  minveclem3  20758  minveclem4  20761  minveclem7  20764  dvlog2lem  21982  vacn  23912  nmcvcn  23913  smcnlem  23915  blocni  24028  minvecolem2  24099  minvecolem3  24100  minvecolem4  24104  minvecolem7  24107  metf1o  28495  mettrifi  28497  lmclim2  28498  geomcau  28499  isbnd3  28527  isbnd3b  28528  ssbnd  28531  totbndbnd  28532  equivbnd  28533  prdsbnd  28536  heibor1lem  28552  heiborlem6  28559  bfplem1  28565  bfplem2  28566  bfp  28567  rrncmslem  28575  rrnequiv  28578  rrntotbnd  28579
  Copyright terms: Public domain W3C validator