MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met2ndc Structured version   Unicode version

Theorem met2ndc 21192
Description: A metric space is second-countable iff it is separable (has a countable dense subset). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
met2ndc  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, D    x, J    x, X

Proof of Theorem met2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
212ndcsep 20126 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  U. J ( x  ~<_  om  /\  (
( cls `  J
) `  x )  =  U. J ) )
3 methaus.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopnuni 21110 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
54pweqd 4004 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ~P X  =  ~P U. J
)
64eqeq2d 2468 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  =  X  <->  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  U. J
) )
76anbi2d 701 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  x )  =  X )  <->  ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  U. J
) ) )
85, 7rexeqbidv 3066 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X )  <->  E. x  e.  ~P  U. J ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  U. J
) ) )
92, 8syl5ibr 221 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
10 elpwi 4008 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
113met2ndci 21191 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  C_  X  /\  x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  x )  =  X ) )  ->  J  e.  2ndc )
12113exp2 1212 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
x  C_  X  ->  ( x  ~<_  om  ->  ( ( ( cls `  J
) `  x )  =  X  ->  J  e. 
2ndc ) ) ) )
1312imp4a 587 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
x  C_  X  ->  ( ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  x )  =  X )  ->  J  e.  2ndc ) ) )
1410, 13syl5 32 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
x  e.  ~P X  ->  ( ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X )  ->  J  e.  2ndc ) ) )
1514rexlimdv 2944 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X )  ->  J  e.  2ndc ) )
169, 15impbid 191 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   omcom 6673    ~<_ cdom 7507   *Metcxmt 18598   MetOpencmopn 18603   clsccl 19686   2ndcc2ndc 20105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-topgen 14933  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-2ndc 20107
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator