MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met2ndc Structured version   Unicode version

Theorem met2ndc 20096
Description: A metric space is second-countable iff it is separable (has a countable dense subset). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
met2ndc  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, D    x, J    x, X

Proof of Theorem met2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
212ndcsep 19061 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  U. J ( x  ~<_  om  /\  (
( cls `  J
) `  x )  =  U. J ) )
3 methaus.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopnuni 20014 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
54pweqd 3863 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ~P X  =  ~P U. J
)
64eqeq2d 2452 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  =  X  <->  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  U. J
) )
76anbi2d 703 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  x )  =  X )  <->  ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  U. J
) ) )
85, 7rexeqbidv 2930 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X )  <->  E. x  e.  ~P  U. J ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  U. J
) ) )
92, 8syl5ibr 221 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
10 elpwi 3867 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
113met2ndci 20095 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  C_  X  /\  x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  x )  =  X ) )  ->  J  e.  2ndc )
12113exp2 1205 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
x  C_  X  ->  ( x  ~<_  om  ->  ( ( ( cls `  J
) `  x )  =  X  ->  J  e. 
2ndc ) ) ) )
1312imp4a 589 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
x  C_  X  ->  ( ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  x )  =  X )  ->  J  e.  2ndc ) ) )
1410, 13syl5 32 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
x  e.  ~P X  ->  ( ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X )  ->  J  e.  2ndc ) ) )
1514rexlimdv 2838 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X )  ->  J  e.  2ndc ) )
169, 15impbid 191 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2714    C_ wss 3326   ~Pcpw 3858   U.cuni 4089   class class class wbr 4290   ` cfv 5416   omcom 6474    ~<_ cdom 7306   *Metcxmt 17799   MetOpencmopn 17804   clsccl 18620   2ndcc2ndc 19040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cc 8602  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-acn 8110  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-topgen 14380  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-cld 18621  df-ntr 18622  df-cls 18623  df-2ndc 19042
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator