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Theorem met1stc 20096
Description: The topology generated by a metric space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
met1stc  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  1stc )

Proof of Theorem met1stc
Dummy variables  n  r  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 20015 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
31mopnuni 20016 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
43eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
54biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  X )
6 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
7 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  X )
8 nnrp 11000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
98adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
109rpreccld 11037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
1110rpxrd 11028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR* )
121blopn 20075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  e.  J )
136, 7, 11, 12syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  e.  J )
14 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )
1513, 14fmptd 5867 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) : NN --> J )
16 frn 5565 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) : NN --> J  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  C_  J )
1715, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) 
C_  J )
18 nnex 10328 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
1918mptex 5948 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
2019rnex 6512 . . . . . . 7  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
2120elpw 3866 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  e.  ~P J  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  C_  J )
2217, 21sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  ~P J )
23 omelon 7852 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  On
24 nnenom 11802 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
2524ensymi 7359 . . . . . . . . 9  |-  om  ~~  NN
26 isnumi 8116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
2723, 25, 26mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  dom  card
28 ovex 6116 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  e. 
_V
2928, 14fnmpti 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  Fn  NN
30 dffn4 5626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  Fn  NN  <->  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) : NN -onto-> ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) )
3129, 30mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) : NN -onto-> ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
32 fodomnum 8227 . . . . . . . 8  |-  ( NN  e.  dom  card  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) : NN -onto-> ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  NN ) )
3327, 31, 32mp2 9 . . . . . . 7  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  NN
34 domentr 7368 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  NN 
/\  NN  ~~  om )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  om )
3533, 24, 34mp2an 672 . . . . . 6  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om
3635a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om )
37 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
38 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  z  e.  J )
39 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  z )
401mopni2 20068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  z  e.  J  /\  x  e.  z
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  z
)
4137, 38, 39, 40syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  z
)
42 elrp 10993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  <->  ( r  e.  RR  /\  0  < 
r ) )
43 nnrecl 10577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  RR  /\  0  <  r )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  r )
4442, 43sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  r
)
4544ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  r )
46 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
47 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  x  e.  X )
48 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  y  e.  NN )
4948nnrpd 11026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  y  e.  RR+ )
5049rpreccld 11037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
51 blcntr 19988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) ) )
5246, 47, 50, 51syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )
5350rpxrd 11028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e. 
RR* )
54 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR+ )
5554rpxrd 11028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR* )
56 nnrecre 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  y )  e.  RR )
5756ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
5854rpred 11027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR )
59 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  < 
r )
6057, 58, 59ltled 9522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  <_ 
r )
61 ssbl 19998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
( 1  /  y
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  (
1  /  y )  <_  r )  -> 
( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) )
6246, 47, 53, 55, 60, 61syl221anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
63 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
r )  C_  z
)
6462, 63sstrd 3366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
)
6552, 64jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
6665expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
y )  <  r  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
6766reximdva 2828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  r  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
6845, 67mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) )
6941, 68rexlimddv 2845 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
70 ovex 6116 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  y  e.  NN )  ->  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  e. 
_V )
72 vex 2975 . . . . . . . . . 10  |-  w  e. 
_V
73 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
y ) )
7473oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  =  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )
7574cbvmptv 4383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  =  ( y  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) ) )
7675elrnmpt 5086 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  <->  E. y  e.  NN  w  =  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) ) ) )
7772, 76mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  ( w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  <->  E. y  e.  NN  w  =  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) ) ) )
78 eleq2 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) ) )
79 sseq1 3377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
w  C_  z  <->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
8078, 79anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( x  e.  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
8180adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  w  =  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )  ->  ( (
x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) ) )
8271, 77, 81rexxfr2d 4509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  ( E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
8369, 82mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )
8483expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  J )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8584ralrimiva 2799 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
86 breq1 4295 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( y  ~<_  om  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om ) )
87 rexeq 2918 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8887imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8988ralbidv 2735 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9086, 89anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  om 
/\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
9190rspcev 3073 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  e. 
~P J  /\  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9222, 36, 85, 91syl12anc 1216 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
935, 92syldan 470 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  U. J )  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9493ralrimiva 2799 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  A. x  e.  U. J E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
95 eqid 2443 . . 3  |-  U. J  =  U. J
9695is1stc2 19046 . 2  |-  ( J  e.  1stc  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
972, 94, 96sylanbrc 664 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  1stc )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   Oncon0 4719   dom cdm 4840   ran crn 4841    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -onto->wfo 5416   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   omcom 6476    ~~ cen 7307    ~<_ cdom 7308   cardccrd 8105   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419    / cdiv 9993   NNcn 10322   RR+crp 10991   *Metcxmt 17801   ballcbl 17803   MetOpencmopn 17806   Topctop 18498   1stcc1stc 19041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-card 8109  df-acn 8112  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-1stc 19043
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