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Theorem met1stc 21316
Description: The topology generated by a metric space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
met1stc  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  1stc )

Proof of Theorem met1stc
Dummy variables  n  r  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 21235 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
31mopnuni 21236 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
43eleq2d 2472 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
54biimpar 483 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  X )
6 simpll 752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
7 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  X )
8 nnrp 11274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
98adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
109rpreccld 11314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
1110rpxrd 11305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR* )
121blopn 21295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  e.  J )
136, 7, 11, 12syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  e.  J )
14 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )
1513, 14fmptd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) : NN --> J )
16 frn 5720 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) : NN --> J  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  C_  J )
1715, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) 
C_  J )
18 nnex 10582 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
1918mptex 6124 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
2019rnex 6718 . . . . . . 7  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
2120elpw 3961 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  e.  ~P J  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  C_  J )
2217, 21sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  ~P J )
23 omelon 8096 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  On
24 nnenom 12131 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
2524ensymi 7603 . . . . . . . . 9  |-  om  ~~  NN
26 isnumi 8359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
2723, 25, 26mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  dom  card
28 ovex 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  e. 
_V
2928, 14fnmpti 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  Fn  NN
30 dffn4 5784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  Fn  NN  <->  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) : NN -onto-> ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) )
3129, 30mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) : NN -onto-> ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
32 fodomnum 8470 . . . . . . . 8  |-  ( NN  e.  dom  card  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) : NN -onto-> ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  NN ) )
3327, 31, 32mp2 9 . . . . . . 7  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  NN
34 domentr 7612 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  NN 
/\  NN  ~~  om )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  om )
3533, 24, 34mp2an 670 . . . . . 6  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om
3635a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om )
37 simpll 752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
38 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  z  e.  J )
39 simprr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  z )
401mopni2 21288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  z  e.  J  /\  x  e.  z
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  z
)
4137, 38, 39, 40syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  z
)
42 simp-4l 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
43 simp-4r 769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  x  e.  X )
44 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  y  e.  NN )
4544nnrpd 11302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  y  e.  RR+ )
4645rpreccld 11314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
47 blcntr 21208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) ) )
4842, 43, 46, 47syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )
4946rpxrd 11305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e. 
RR* )
50 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR+ )
5150rpxrd 11305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR* )
52 nnrecre 10613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  y )  e.  RR )
5352ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
5450rpred 11304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR )
55 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  < 
r )
5653, 54, 55ltled 9765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  <_ 
r )
57 ssbl 21218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
( 1  /  y
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  (
1  /  y )  <_  r )  -> 
( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) )
5842, 43, 49, 51, 56, 57syl221anc 1241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
59 simplrr 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
r )  C_  z
)
6058, 59sstrd 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
)
6148, 60jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
62 elrp 11267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  <->  ( r  e.  RR  /\  0  < 
r ) )
63 nnrecl 10834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  RR  /\  0  <  r )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  r )
6462, 63sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  r
)
6564ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  r )
6661, 65reximddv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) )
6741, 66rexlimddv 2900 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
68 ovex 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  e. 
_V
6968a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  y  e.  NN )  ->  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  e. 
_V )
70 vex 3062 . . . . . . . . . 10  |-  w  e. 
_V
71 oveq2 6286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
y ) )
7271oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  =  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )
7372cbvmptv 4487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  =  ( y  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) ) )
7473elrnmpt 5070 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  <->  E. y  e.  NN  w  =  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) ) ) )
7570, 74mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  ( w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  <->  E. y  e.  NN  w  =  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) ) ) )
76 eleq2 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) ) )
77 sseq1 3463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
w  C_  z  <->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
7876, 77anbi12d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( x  e.  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
7978adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  w  =  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )  ->  ( (
x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) ) )
8069, 75, 79rexxfr2d 4608 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  ( E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
8167, 80mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )
8281expr 613 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  J )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8382ralrimiva 2818 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
84 breq1 4398 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( y  ~<_  om  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om ) )
85 rexeq 3005 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8685imbi2d 314 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8786ralbidv 2843 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8884, 87anbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  om 
/\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
8988rspcev 3160 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  e. 
~P J  /\  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9022, 36, 83, 89syl12anc 1228 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
915, 90syldan 468 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  U. J )  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9291ralrimiva 2818 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  A. x  e.  U. J E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
93 eqid 2402 . . 3  |-  U. J  =  U. J
9493is1stc2 20235 . 2  |-  ( J  e.  1stc  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
952, 92, 94sylanbrc 662 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  1stc )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955   U.cuni 4191   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   dom cdm 4823   ran crn 4824   Oncon0 5410    Fn wfn 5564   -->wf 5565   -onto->wfo 5567   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   omcom 6683    ~~ cen 7551    ~<_ cdom 7552   cardccrd 8348   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659    / cdiv 10247   NNcn 10576   RR+crp 11265   *Metcxmt 18723   ballcbl 18725   MetOpencmopn 18728   Topctop 19686   1stcc1stc 20230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-card 8352  df-acn 8355  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-1stc 20232
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