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Theorem met1stc 21528
Description: The topology generated by a metric space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
met1stc  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  1stc )

Proof of Theorem met1stc
Dummy variables  n  r  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 21447 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
31mopnuni 21448 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
43eleq2d 2493 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
54biimpar 488 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  X )
6 simpll 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
7 simplr 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  X )
8 nnrp 11313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
98adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
109rpreccld 11353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
1110rpxrd 11344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR* )
121blopn 21507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  e.  J )
136, 7, 11, 12syl3anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  e.  J )
14 eqid 2423 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )
1513, 14fmptd 6059 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) : NN --> J )
16 frn 5750 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) : NN --> J  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  C_  J )
1715, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) 
C_  J )
18 nnex 10617 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
1918mptex 6149 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
2019rnex 6739 . . . . . . 7  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
2120elpw 3986 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  e.  ~P J  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  C_  J )
2217, 21sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  ~P J )
23 omelon 8155 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  On
24 nnenom 12194 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
2524ensymi 7624 . . . . . . . . 9  |-  om  ~~  NN
26 isnumi 8383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
2723, 25, 26mp2an 677 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  dom  card
28 ovex 6331 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  e. 
_V
2928, 14fnmpti 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  Fn  NN
30 dffn4 5814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  Fn  NN  <->  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) : NN -onto-> ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) )
3129, 30mpbi 212 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) : NN -onto-> ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
32 fodomnum 8490 . . . . . . . 8  |-  ( NN  e.  dom  card  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) : NN -onto-> ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  NN ) )
3327, 31, 32mp2 9 . . . . . . 7  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  NN
34 domentr 7633 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  NN 
/\  NN  ~~  om )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  om )
3533, 24, 34mp2an 677 . . . . . 6  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om
3635a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om )
37 simpll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
38 simprl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  z  e.  J )
39 simprr 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  z )
401mopni2 21500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  z  e.  J  /\  x  e.  z
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  z
)
4137, 38, 39, 40syl3anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  z
)
42 simp-4l 775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
43 simp-4r 776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  x  e.  X )
44 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  y  e.  NN )
4544nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  y  e.  RR+ )
4645rpreccld 11353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
47 blcntr 21420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) ) )
4842, 43, 46, 47syl3anc 1265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )
4946rpxrd 11344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e. 
RR* )
50 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR+ )
5150rpxrd 11344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR* )
52 nnrecre 10648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  y )  e.  RR )
5352ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
5450rpred 11343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR )
55 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  < 
r )
5653, 54, 55ltled 9785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  <_ 
r )
57 ssbl 21430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
( 1  /  y
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  (
1  /  y )  <_  r )  -> 
( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) )
5842, 43, 49, 51, 56, 57syl221anc 1276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
59 simplrr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
r )  C_  z
)
6058, 59sstrd 3475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
)
6148, 60jca 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
62 elrp 11306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  <->  ( r  e.  RR  /\  0  < 
r ) )
63 nnrecl 10869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  RR  /\  0  <  r )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  r )
6462, 63sylbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  r
)
6564ad2antrl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  r )
6661, 65reximddv 2902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) )
6741, 66rexlimddv 2922 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
68 ovex 6331 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  e. 
_V
6968a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  y  e.  NN )  ->  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  e. 
_V )
70 vex 3085 . . . . . . . . . 10  |-  w  e. 
_V
71 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
y ) )
7271oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  =  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )
7372cbvmptv 4514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  =  ( y  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) ) )
7473elrnmpt 5098 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  <->  E. y  e.  NN  w  =  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) ) ) )
7570, 74mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  ( w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  <->  E. y  e.  NN  w  =  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) ) ) )
76 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) ) )
77 sseq1 3486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
w  C_  z  <->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
7876, 77anbi12d 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( x  e.  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
7978adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  w  =  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )  ->  ( (
x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) ) )
8069, 75, 79rexxfr2d 4636 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  ( E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
8167, 80mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )
8281expr 619 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  J )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8382ralrimiva 2840 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
84 breq1 4424 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( y  ~<_  om  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om ) )
85 rexeq 3027 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8685imbi2d 318 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8786ralbidv 2865 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8884, 87anbi12d 716 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  om 
/\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
8988rspcev 3183 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  e. 
~P J  /\  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9022, 36, 83, 89syl12anc 1263 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
915, 90syldan 473 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  U. J )  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9291ralrimiva 2840 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  A. x  e.  U. J E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
93 eqid 2423 . . 3  |-  U. J  =  U. J
9493is1stc2 20449 . 2  |-  ( J  e.  1stc  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
952, 92, 94sylanbrc 669 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  1stc )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    C_ wss 3437   ~Pcpw 3980   U.cuni 4217   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   dom cdm 4851   ran crn 4852   Oncon0 5440    Fn wfn 5594   -->wf 5595   -onto->wfo 5597   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   omcom 6704    ~~ cen 7572    ~<_ cdom 7573   cardccrd 8372   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678    / cdiv 10271   NNcn 10611   RR+crp 11304   *Metcxmt 18948   ballcbl 18950   MetOpencmopn 18953   Topctop 19909   1stcc1stc 20444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-inf 7961  df-card 8376  df-acn 8379  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-1stc 20446
This theorem is referenced by:  metelcls  22266  metcnp4  22271  metcn4  22272
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