MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met0 Structured version   Unicode version

Theorem met0 19918
Description: The distance function of a metric space is zero if its arguments are equal. Definition 14-1.1(a) of [Gleason] p. 223. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
met0  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A D A )  =  0 )

Proof of Theorem met0
StepHypRef Expression
1 metxmet 19909 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2 xmet0 19917 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A D A )  =  0 )
31, 2sylan 471 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A D A )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   *Metcxmt 17801   Metcme 17802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-mulcl 9344  ax-i2m1 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-xadd 11090  df-xmet 17810  df-met 17811
This theorem is referenced by:  ovolctb  20973  mettrifi  28653  isbnd3  28683  rrnequiv  28734
  Copyright terms: Public domain W3C validator