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Theorem mertenslem2 14018
Description: Lemma for mertens 14019. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
mertens.2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
mertens.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
mertens.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
mertens.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
mertens.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
mertens.7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  K )  e. 
dom 
~~>  )
mertens.8  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
mertens.9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
mertens.10  |-  T  =  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) }
mertens.11  |-  ( ps  <->  ( s  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
mertenslem2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E )
Distinct variable groups:    j, m, n, s, y, z, B   
j, k, G, m, n, s, y, z    ph, j, k, m, y, z    A, k, m, n, s, y    j, E, k, m, n, s, y, z    j, K, k, m, n, s, y, z    j, F, m, n, y    ps, j, k, m, n, y, z    T, j, k, m, n, y, z    k, H, m, y    ph, n, s
Allowed substitution hints:    ps( s)    A( z, j)    B( k)    T( s)    F( z, k, s)    H( z, j, n, s)

Proof of Theorem mertenslem2
Dummy variables  t  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11218 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10992 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 mertens.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
43rphalfcld 11376 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  /  2
)  e.  RR+ )
5 nn0uz 11217 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
6 0zd 10973 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
7 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( K `  j ) )
8 mertens.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
9 mertens.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
109abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
118, 10eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  e.  RR )
12 mertens.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  K )  e. 
dom 
~~>  )
135, 6, 7, 11, 12isumrecl 13903 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  e.  RR )
149absge0d 13583 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
1514, 8breqtrrd 4422 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( K `  j ) )
165, 6, 7, 11, 12, 15isumge0 13904 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ j  e. 
NN0  ( K `  j ) )
1713, 16ge0p1rpd 11391 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 )  e.  RR+ )
184, 17rpdivcld 11381 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E  / 
2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  e.  RR+ )
19 eqidd 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
) )
20 mertens.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
21 mertens.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
22 mertens.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
235, 6, 20, 21, 22isumclim2 13896 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  NN0  B )
241, 2, 18, 19, 23climi2 13652 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  (
( E  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) ) )
25 eluznn 11252 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  s ) )  ->  m  e.  NN )
2620, 21eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
275, 6, 26serf 12279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  G ) : NN0 --> CC )
28 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
29 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) : NN0 --> CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
)  e.  CC )
3027, 28, 29syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
)  e.  CC )
315, 6, 20, 21, 22isumcl 13899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  B  e.  CC )
3231adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  e.  CC )
3330, 32abssubd 13592 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  =  ( abs `  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
34 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) )
3528adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e. 
NN0 )
36 peano2nn0 10934 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
3837nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  ZZ )
39 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  ph )
40 eluznn0 11251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
4137, 40sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
4239, 41, 20syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  =  B )
4339, 41, 21syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
4422adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  seq 0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
4526adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
465, 37, 45iserex 13797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq ( m  +  1
) (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  ) )
4744, 46mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  seq (
m  +  1 ) (  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
4834, 38, 42, 43, 47isumcl 13899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) B  e.  CC )
4930, 48pncan2d 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `
 m )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) B )  -  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) B )
5020adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
5121adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
525, 34, 37, 50, 51, 44isumsplit 13975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  -  1 ) ) B  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) B ) )
53 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
5453adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
55 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
56 pncan 9901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( m  + 
1 )  -  1 )  =  m )
5754, 55, 56sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  1 )  -  1 )  =  m )
5857oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... m
) )
5958sumeq1d 13844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( m  +  1 )  -  1 ) ) B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) B )
60 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ph )
61 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 0 ... m )  ->  k  e.  NN0 )
6260, 61, 20syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( G `  k )  =  B )
6335, 5syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
6460, 61, 21syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... m
) )  ->  B  e.  CC )
6562, 63, 64fsumser 13873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) B  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m ) )
6659, 65eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( m  +  1 )  -  1 ) ) B  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m ) )
6766oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  - 
1 ) ) B  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) B )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) B ) )
6852, 67eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  =  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `
 m )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) B ) )
6968oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m ) )  =  ( ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) B )  -  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
) ) )
7042sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) B )
7149, 69, 703eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m ) )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )
7271fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  m )
) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( G `  k
) ) )
7333, 72eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( G `  k
) ) )
7473breq1d 4405 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <->  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7525, 74sylan2 482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  s )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <->  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7675anassrs 660 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  s )
)  ->  ( ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
)  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7776ralbidva 2828 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  (
( E  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) )  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
78 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
m  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
7978fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( ZZ>=
`  ( m  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
8079sumeq1d 13844 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
8180fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
8281breq1d 4405 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
8382cbvralv 3005 . . . . 5  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) )
8477, 83syl6bb 269 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  (
( E  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) )  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
85 mertens.11 . . . . . 6  |-  ( ps  <->  ( s  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
86 0zd 10973 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  e.  ZZ )
874adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( E  /  2
)  e.  RR+ )
8885simplbi 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  s  e.  NN )
8988adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  s  e.  NN )
9089nnrpd 11362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  s  e.  RR+ )
9187, 90rpdivcld 11381 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( E  / 
2 )  /  s
)  e.  RR+ )
92 mertens.10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) }
93 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) )
94 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
9594adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
96 peano2nn0 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
9897nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
99 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
100 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ph )
101 eluznn0 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
10297, 101sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
103100, 102, 26syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
10422ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  seq 0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
105 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  ph )
106105, 26sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
1075, 97, 106iserex 13797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq ( n  +  1
) (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  ) )
108104, 107mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  seq (
n  +  1 ) (  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
10993, 98, 99, 103, 108isumcl 13899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
)  e.  CC )
110109abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  e.  RR )
111 eleq1a 2544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )  e.  RR  ->  ( z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )  ->  z  e.  RR ) )
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  ( z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  ->  z  e.  RR ) )
113112rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )  ->  z  e.  RR ) )
114113abssdv 3489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) }  C_  RR )
11592, 114syl5eqss 3462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  T  C_  RR )
116 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( 0 ... (
s  -  1 ) )  e.  Fin )
117 abrexfi 7892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0 ... ( s  -  1 ) )  e.  Fin  ->  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) ) }  e.  Fin )
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) }  e.  Fin )
11992, 118syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  T  e.  Fin )
120 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  -  1 )  e.  NN0 )
12189, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( s  -  1 )  e.  NN0 )
122121, 5syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( s  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
123 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) )
125 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
126125, 20sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  B )
127126sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( G `  k )  =  sum_ k  e.  NN  B )
128127adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( G `  k )  =  sum_ k  e.  NN  B )
129128fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  ( G `  k )
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B ) )
130129eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  ( G `  k ) ) )
131 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  0  ->  (
n  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
132 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  +  1 )  =  1
133131, 132syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  0  ->  (
n  +  1 )  =  1 )
134133fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  0  ->  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  1 )
)
135134, 1syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  0  ->  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) )  =  NN )
136135sumeq1d 13844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  0  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( G `  k ) )
137136fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  0  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  ( G `  k ) ) )
138137eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  ( G `  k ) ) ) )
139138rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) )  /\  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  ( G `  k )
) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
140124, 130, 139syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
141 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  e.  _V
142 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  ->  ( z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) ) )
143142rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <->  E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) ) )
144141, 143, 92elab2 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  e.  T  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
145140, 144sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  e.  T )
146 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  T  =/=  (/) )
148 ltso 9732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <  Or  RR
149 fisupcl 8003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( T  e.  Fin  /\  T  =/=  (/)  /\  T  C_  RR ) )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  e.  T
)
150148, 149mpan 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Fin  /\  T  =/=  (/)  /\  T  C_  RR )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  e.  T )
151119, 147, 115, 150syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  e.  T )
152115, 151sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
153 0red 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  e.  RR )
154125, 21sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
155 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN0
156155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
1575, 156, 26iserex 13797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq 1
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  ) )
15822, 157mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
1591, 2, 126, 154, 158isumcl 13899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  B  e.  CC )
160159adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  B  e.  CC )
161160abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  e.  RR )
162160absge0d 13583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  NN  B ) )
163 fimaxre2 10574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  C_  RR  /\  T  e.  Fin )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  T  w  <_  z
)
164115, 119, 163syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  T  w  <_  z )
165115, 147, 1643jca 1210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  T  w  <_  z ) )
166 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  T  w  <_  z )  /\  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  e.  T
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  NN  B )  <_  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
167165, 145, 166syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  <_  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
168153, 161, 152, 162, 167letrd 9809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  <_  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
169152, 168ge0p1rpd 11391 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR+ )
17091, 169rpdivcld 11381 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR+ )
171 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( K `  n )  =  ( K `  m ) )
172 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( K `  n ) )
173 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K `
 m )  e. 
_V
174171, 172, 173fvmpt 5963 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 m )  =  ( K `  m
) )
175174adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 m )  =  ( K `  m
) )
176 nn0ex 10899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  e.  _V
177176mptex 6152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) )  e.  _V
178177a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( K `  n ) )  e.  _V )
179 elnn0uz 11220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  <->  j  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
180 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  ( K `  n )  =  ( K `  j ) )
181 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K `
 j )  e. 
_V
182180, 172, 181fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  =  ( K `  j
) )
183182adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  =  ( K `  j
) )
184179, 183sylan2br 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  =  ( K `  j
) )
1856, 184seqfeq 12276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( K `  n ) ) )  =  seq 0 (  +  ,  K ) )
186185, 12eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( K `  n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
187183, 8eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  =  ( abs `  A
) )
188187, 10eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  e.  RR )
189188recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  e.  CC )
1905, 6, 178, 186, 189serf0 13824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( K `  n ) )  ~~>  0 )
191190adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( K `  n ) )  ~~>  0 )
1925, 86, 170, 175, 191climi0 13653 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. t  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  t ) ( abs `  ( K `  m
) )  <  (
( ( E  / 
2 )  /  s
)  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
193 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t )
)  ->  ph )
194 eluznn0 11251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t ) )  ->  m  e.  NN0 )
195194adantll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t )
)  ->  m  e.  NN0 )
19611, 15absidd 13561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( K `  j
) )  =  ( K `  j ) )
197196ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN0  ( abs `  ( K `
 j ) )  =  ( K `  j ) )
198 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  m  ->  ( K `  j )  =  ( K `  m ) )
199198fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  m  ->  ( abs `  ( K `  j ) )  =  ( abs `  ( K `  m )
) )
200199, 198eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  m  ->  (
( abs `  ( K `  j )
)  =  ( K `
 j )  <->  ( abs `  ( K `  m
) )  =  ( K `  m ) ) )
201200rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. j  e.  NN0  ( abs `  ( K `
 j ) )  =  ( K `  j )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( K `  m ) )  =  ( K `  m
) )
202197, 201sylan 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( K `  m
) )  =  ( K `  m ) )
203193, 195, 202syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t )
)  ->  ( abs `  ( K `  m
) )  =  ( K `  m ) )
204203breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t )
)  ->  ( ( abs `  ( K `  m ) )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  ( K `  m )  <  (
( ( E  / 
2 )  /  s
)  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
205204ralbidva 2828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( abs `  ( K `  m )
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  t ) ( K `  m )  <  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
206171breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  ( K `  m )  <  (
( ( E  / 
2 )  /  s
)  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
207206cbvralv 3005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  m
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
208205, 207syl6bbr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( abs `  ( K `  m )
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  A. n  e.  (
ZZ>= `  t ) ( K `  n )  <  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
209 simpll 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
210 mertens.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
211209, 210sylan 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
212209, 8sylan 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
213209, 9sylan 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
214209, 20sylan 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
215209, 21sylan 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
216 mertens.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
217209, 216sylan 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
21812ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  ->  seq 0 (  +  ,  K )  e.  dom  ~~>  )
21922ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  ->  seq 0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
2203ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  ->  E  e.  RR+ )
221207anbi2i 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )  <->  ( t  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  m
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
222221anbi2i 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ps  /\  ( t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  <->  ( ps  /\  ( t  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  t ) ( K `  m )  <  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) ) )
223222biimpi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ps  /\  ( t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  -> 
( ps  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 m )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) ) )
224223adantll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  -> 
( ps  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 m )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) ) )
225168, 165jca 541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( 0  <_  sup ( T ,  RR ,  <  )  /\  ( T 
C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  T  w  <_  z
) ) )
226225adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  -> 
( 0  <_  sup ( T ,  RR ,  <  )  /\  ( T 
C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  T  w  <_  z
) ) )
227211, 212, 213, 214, 215, 217, 218, 219, 220, 92, 85, 224, 226mertenslem1 14017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E )
228227expr 626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
229208, 228sylbid 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( abs `  ( K `  m )
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
230229rexlimdva 2871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( E. t  e. 
NN0  A. m  e.  (
ZZ>= `  t ) ( abs `  ( K `
 m ) )  <  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E ) )
231192, 230mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E )
232231ex 441 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ps  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
23385, 232syl5bir 226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
234233expdimp 444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
23584, 234sylbid 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  (
( E  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E ) )
236235rexlimdva 2871 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
23724, 236mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    Or wor 4759   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810    seqcseq 12251   abscabs 13374    ~~> cli 13625   sum_csu 13829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830
This theorem is referenced by:  mertens  14019
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