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Theorem mertenslem2 12617
Description: Lemma for mertens 12618. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
mertens.2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
mertens.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
mertens.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
mertens.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
mertens.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
mertens.7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  K )  e. 
dom 
~~>  )
mertens.8  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
mertens.9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
mertens.10  |-  T  =  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) }
mertens.11  |-  ( ps  <->  ( s  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
mertenslem2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E )
Distinct variable groups:    j, m, n, s, y, z, B   
j, k, G, m, n, s, y, z    ph, j, k, m, y, z    A, k, m, n, s, y    j, E, k, m, n, s, y, z    j, K, k, m, n, s, y, z    j, F, m, n, y    ps, j, k, m, n, y, z    T, j, k, m, n, y, z    k, H, m, y    ph, n, s
Allowed substitution hints:    ps( s)    A( z, j)    B( k)    T( s)    F( z, k, s)    H( z, j, n, s)

Proof of Theorem mertenslem2
Dummy variables  t  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 mertens.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
54rphalfcld 10616 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  /  2
)  e.  RR+ )
6 nn0uz 10476 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
7 0z 10249 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
9 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( K `  j ) )
10 mertens.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
11 mertens.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
1211abscld 12193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1310, 12eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  e.  RR )
14 mertens.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  K )  e. 
dom 
~~>  )
156, 8, 9, 13, 14isumrecl 12504 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  e.  RR )
1611absge0d 12201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
1716, 10breqtrrd 4198 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( K `  j ) )
186, 8, 9, 13, 14, 17isumge0 12505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ j  e. 
NN0  ( K `  j ) )
1915, 18ge0p1rpd 10630 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 )  e.  RR+ )
205, 19rpdivcld 10621 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E  / 
2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  e.  RR+ )
21 eqidd 2405 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m
)  =  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m
) )
22 mertens.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
23 mertens.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
24 mertens.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
256, 8, 22, 23, 24isumclim2 12497 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  NN0  B )
261, 3, 20, 21, 25climi2 12260 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  (
( E  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) ) )
271uztrn2 10459 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  s ) )  ->  m  e.  NN )
2822, 23eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
296, 8, 28serf 11306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  G ) : NN0 --> CC )
30 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
31 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) : NN0 --> CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m
)  e.  CC )
3229, 30, 31syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m
)  e.  CC )
336, 8, 22, 23, 24isumcl 12500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  B  e.  CC )
3433adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  e.  CC )
3532, 34abssubd 12210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  =  ( abs `  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
36 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) )
3730adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e. 
NN0 )
38 peano2nn0 10216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
4039nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  ZZ )
41 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  ph )
42 eluznn0 10502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
4339, 42sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
4441, 43, 22syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  =  B )
4541, 43, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
4624adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
4728adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
486, 39, 47iserex 12405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq  ( m  +  1
) (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  ) )
4946, 48mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  seq  (
m  +  1 ) (  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
5036, 40, 44, 45, 49isumcl 12500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) B  e.  CC )
5132, 50pncan2d 9369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (  seq  0 (  +  ,  G ) `
 m )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) B )  -  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m
) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) B )
5222adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
5323adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
546, 36, 39, 52, 53, 46isumsplit 12575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  -  1 ) ) B  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) B ) )
55 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
5655adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
57 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
58 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( m  + 
1 )  -  1 )  =  m )
5956, 57, 58sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  1 )  -  1 )  =  m )
6059oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... m
) )
6160sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( m  +  1 )  -  1 ) ) B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) B )
62 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ph )
63 elfznn0 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 0 ... m )  ->  k  e.  NN0 )
6462, 63, 22syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( G `  k )  =  B )
6537, 6syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
6662, 63, 23syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... m
) )  ->  B  e.  CC )
6764, 65, 66fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) B  =  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m ) )
6861, 67eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( m  +  1 )  -  1 ) ) B  =  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m ) )
6968oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  - 
1 ) ) B  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) B )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) B ) )
7054, 69eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  =  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) `
 m )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) B ) )
7170oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m ) )  =  ( ( (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) B )  -  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m
) ) )
7244sumeq2dv 12452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) B )
7351, 71, 723eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m ) )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )
7473fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  m )
) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( G `  k
) ) )
7535, 74eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( G `  k
) ) )
7675breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <->  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7727, 76sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  s )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 m )  -  sum_ k  e.  NN0  B
) )  <  (
( E  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) )  <->  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7877anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  s )
)  ->  ( ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) `  m
)  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7978ralbidva 2682 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  (
( E  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) )  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
80 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
m  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
8180fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( ZZ>=
`  ( m  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
8281sumeq1d 12450 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
8382fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
8483breq1d 4182 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
8584cbvralv 2892 . . . . 5  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) )
8679, 85syl6bb 253 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  (
( E  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) )  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
87 mertens.11 . . . . . 6  |-  ( ps  <->  ( s  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
887a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  e.  ZZ )
895adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( E  /  2
)  e.  RR+ )
9087simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  s  e.  NN )
9190adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  s  e.  NN )
9291nnrpd 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  s  e.  RR+ )
9389, 92rpdivcld 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( E  / 
2 )  /  s
)  e.  RR+ )
94 mertens.10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) }
95 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) )
96 elfznn0 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
9796adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
98 peano2nn0 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
10099nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
101 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
102 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ph )
103 eluznn0 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
10499, 103sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
105102, 104, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
10624ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
107 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  ph )
108107, 28sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
1096, 99, 108iserex 12405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq  ( n  +  1
) (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  ) )
110106, 109mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  seq  ( n  +  1 ) (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
11195, 100, 101, 105, 110isumcl 12500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
)  e.  CC )
112111abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  e.  RR )
113 eleq1a 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )  e.  RR  ->  ( z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )  ->  z  e.  RR ) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  ( z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  ->  z  e.  RR ) )
115114rexlimdva 2790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )  ->  z  e.  RR ) )
116115abssdv 3377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) }  C_  RR )
11794, 116syl5eqss 3352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  T  C_  RR )
118 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( 0 ... (
s  -  1 ) )  e.  Fin )
119 abrexfi 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0 ... ( s  -  1 ) )  e.  Fin  ->  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) ) }  e.  Fin )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) }  e.  Fin )
12194, 120syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  T  e.  Fin )
122 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  -  1 )  e.  NN0 )
12391, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( s  -  1 )  e.  NN0 )
124123, 6syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( s  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
125 eluzfz1 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )
126124, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) )
127 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
128127, 22sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  B )
129128sumeq2dv 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( G `  k )  =  sum_ k  e.  NN  B )
130129adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( G `  k )  =  sum_ k  e.  NN  B )
131130fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  ( G `  k )
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B ) )
132131eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  ( G `  k ) ) )
133 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  0  ->  (
n  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
134 0p1e1 10049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  +  1 )  =  1
135133, 134syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  0  ->  (
n  +  1 )  =  1 )
136135fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  0  ->  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  1 )
)
137136, 1syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  0  ->  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) )  =  NN )
138137sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  0  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( G `  k ) )
139138fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  0  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  ( G `  k ) ) )
140139eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  ( G `  k ) ) ) )
141140rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) )  /\  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  ( G `  k )
) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
142126, 132, 141syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
143 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  e.  _V
144 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  ->  ( z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) ) )
145144rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <->  E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) ) )
146143, 145, 94elab2 3045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  e.  T  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
147142, 146sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  e.  T )
148 ne0i 3594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
149147, 148syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  T  =/=  (/) )
150 ltso 9112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <  Or  RR
151 fisupcl 7428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( T  e.  Fin  /\  T  =/=  (/)  /\  T  C_  RR ) )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  e.  T
)
152150, 151mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Fin  /\  T  =/=  (/)  /\  T  C_  RR )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  e.  T )
153121, 149, 117, 152syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  e.  T )
154117, 153sseldd 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
155 0re 9047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
156155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  e.  RR )
157127, 23sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
158 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN0
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
1606, 159, 28iserex 12405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq  1
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  ) )
16124, 160mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
1621, 3, 128, 157, 161isumcl 12500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  B  e.  CC )
163162adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  B  e.  CC )
164163abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  e.  RR )
165163absge0d 12201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  NN  B ) )
166 fimaxre2 9912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  C_  RR  /\  T  e.  Fin )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  T  w  <_  z
)
167117, 121, 166syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  T  w  <_  z )
168117, 149, 1673jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  T  w  <_  z ) )
169 suprub 9925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  T  w  <_  z )  /\  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  e.  T
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  NN  B )  <_  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
170168, 147, 169syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  <_  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
171156, 164, 154, 165, 170letrd 9183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  <_  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
172154, 171ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 )  e.  RR+ )
17393, 172rpdivcld 10621 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  e.  RR+ )
174 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( K `  n )  =  ( K `  m ) )
175 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( K `  n ) )
176 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K `
 m )  e. 
_V
177174, 175, 176fvmpt 5765 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 m )  =  ( K `  m
) )
178177adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 m )  =  ( K `  m
) )
179 nn0ex 10183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  e.  _V
180179mptex 5925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) )  e.  _V
181180a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( K `  n ) )  e.  _V )
182 elnn0uz 10479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  <->  j  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
183 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  ( K `  n )  =  ( K `  j ) )
184 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K `
 j )  e. 
_V
185183, 175, 184fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  =  ( K `  j
) )
186185adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  =  ( K `  j
) )
187182, 186sylan2br 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  =  ( K `  j
) )
1888, 187seqfeq 11303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( K `  n ) ) )  =  seq  0 (  +  ,  K ) )
189188, 14eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( K `  n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
190186, 10eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  =  ( abs `  A
) )
191190, 12eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  e.  RR )
192191recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  e.  CC )
1936, 8, 181, 189, 192serf0 12429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( K `  n ) )  ~~>  0 )
194193adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( K `  n ) )  ~~>  0 )
1956, 88, 173, 178, 194climi0 12261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. t  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  t ) ( abs `  ( K `  m
) )  <  (
( ( E  / 
2 )  /  s
)  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
196 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t )
)  ->  ph )
197 eluznn0 10502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t ) )  ->  m  e.  NN0 )
198197adantll 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t )
)  ->  m  e.  NN0 )
19913, 17absidd 12180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( K `  j
) )  =  ( K `  j ) )
200199ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN0  ( abs `  ( K `
 j ) )  =  ( K `  j ) )
201 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  m  ->  ( K `  j )  =  ( K `  m ) )
202201fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  m  ->  ( abs `  ( K `  j ) )  =  ( abs `  ( K `  m )
) )
203202, 201eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  m  ->  (
( abs `  ( K `  j )
)  =  ( K `
 j )  <->  ( abs `  ( K `  m
) )  =  ( K `  m ) ) )
204203rspccva 3011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. j  e.  NN0  ( abs `  ( K `
 j ) )  =  ( K `  j )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( K `  m ) )  =  ( K `  m
) )
205200, 204sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( K `  m
) )  =  ( K `  m ) )
206196, 198, 205syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t )
)  ->  ( abs `  ( K `  m
) )  =  ( K `  m ) )
207206breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t )
)  ->  ( ( abs `  ( K `  m ) )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  ( K `  m )  <  (
( ( E  / 
2 )  /  s
)  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
208207ralbidva 2682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( abs `  ( K `  m )
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  t ) ( K `  m )  <  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
209174breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  ( K `  m )  <  (
( ( E  / 
2 )  /  s
)  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
210209cbvralv 2892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  m
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )
211208, 210syl6bbr 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( abs `  ( K `  m )
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  <->  A. n  e.  (
ZZ>= `  t ) ( K `  n )  <  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
212 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
213 mertens.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
214212, 213sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
215212, 10sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
216212, 11sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
217212, 22sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
218212, 23sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
219 mertens.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
220212, 219sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
22114ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  ->  seq  0 (  +  ,  K )  e.  dom  ~~>  )
22224ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
2234ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  ->  E  e.  RR+ )
224210anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) )  <->  ( t  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  m
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )
225224anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ps  /\  ( t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  <->  ( ps  /\  ( t  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  t ) ( K `  m )  <  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) ) )
226225biimpi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ps  /\  ( t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  -> 
( ps  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 m )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) ) )
227226adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  -> 
( ps  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 m )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) ) )
228171, 168jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( 0  <_  sup ( T ,  RR ,  <  )  /\  ( T 
C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  T  w  <_  z
) ) )
229228adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  -> 
( 0  <_  sup ( T ,  RR ,  <  )  /\  ( T 
C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  T  w  <_  z
) ) )
230214, 215, 216, 217, 218, 220, 221, 222, 223, 94, 87, 227, 229mertenslem1 12616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E )
231230expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
232211, 231sylbid 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( abs `  ( K `  m )
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
233232rexlimdva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( E. t  e. 
NN0  A. m  e.  (
ZZ>= `  t ) ( abs `  ( K `
 m ) )  <  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sup ( T ,  RR ,  <  )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E ) )
234195, 233mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E )
235234ex 424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ps  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
23687, 235syl5bir 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
237236expdimp 427 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
23886, 237sylbid 207 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  (
( E  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E ) )
239238rexlimdva 2790 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 m )  -  sum_ k  e.  NN0  B
) )  <  (
( E  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E ) )
24026, 239mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    Or wor 4462   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999    seq cseq 11278   abscabs 11994    ~~> cli 12233   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  mertens  12618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435
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