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Theorem mertens 12618
Description: Mertens' thoerem. If  A (
j ) is an absolutely convergent series and  B ( k ) is convergent, then  ( sum_ j  e.  NN0 A ( j )  x.  sum_ k  e.  NN0 B ( k ) )  =  sum_ k  e. 
NN0 sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A ( j )  x.  B ( k  -  j ) ) (and this latter series is convergent). This latter sum is commonly known as the Cauchy product of the sequences. The proof follows the outline at http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product#Proof_of_Mertens.27_theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
mertens.2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
mertens.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
mertens.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
mertens.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
mertens.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
mertens.7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  K )  e. 
dom 
~~>  )
mertens.8  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
mertens  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( sum_ j  e.  NN0  A  x.  sum_ k  e.  NN0  B
) )
Distinct variable groups:    B, j    j, k, G    ph, j, k    A, k    j, K, k   
j, F    k, H
Allowed substitution hints:    A( j)    B( k)    F( k)    H( j)

Proof of Theorem mertens
Dummy variables  m  n  s  x  y 
z  i  l  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10476 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10249 . . 3  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 seqex 11280 . . 3  |-  seq  0
(  +  ,  H
)  e.  _V
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e. 
_V )
6 mertens.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
7 fzfid 11267 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... k )  e. 
Fin )
8 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ph )
9 elfznn0 11039 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  j  e.  NN0 )
10 mertens.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
118, 9, 10syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  A  e.  CC )
12 fznn0sub 11041 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  (
k  -  j )  e.  NN0 )
1312adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  j )  e.  NN0 )
14 mertens.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
15 mertens.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
1614, 15eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
1716ralrimiva 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( G `  k )  e.  CC )
18 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  ( G `  k )  =  ( G `  i ) )
1918eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  (
( G `  k
)  e.  CC  <->  ( G `  i )  e.  CC ) )
2019cbvralv 2892 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN0  ( G `
 k )  e.  CC  <->  A. i  e.  NN0  ( G `  i )  e.  CC )
2117, 20sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN0  ( G `  i )  e.  CC )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  A. i  e.  NN0  ( G `  i )  e.  CC )
23 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( k  -  j )  ->  ( G `  i )  =  ( G `  ( k  -  j
) ) )
2423eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( k  -  j )  ->  (
( G `  i
)  e.  CC  <->  ( G `  ( k  -  j
) )  e.  CC ) )
2524rspcv 3008 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  -  j )  e.  NN0  ->  ( A. i  e.  NN0  ( G `
 i )  e.  CC  ->  ( G `  ( k  -  j
) )  e.  CC ) )
2613, 22, 25sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  ( k  -  j ) )  e.  CC )
2711, 26mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( A  x.  ( G `  ( k  -  j
) ) )  e.  CC )
287, 27fsumcl 12482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) )  e.  CC )
296, 28eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
301, 3, 29serf 11306 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H ) : NN0 --> CC )
3130ffvelrnda 5829 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
)  e.  CC )
32 mertens.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
3332adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
34 mertens.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
3534adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A
) )
3610adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
3714adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
3815adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
396adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
40 mertens.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  K )  e. 
dom 
~~>  )
4140adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  seq  0
(  +  ,  K
)  e.  dom  ~~>  )
42 mertens.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
4342adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
44 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
45 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  ( G `  l )  =  ( G `  k ) )
4645cbvsumv 12445 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ l  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  k
)
47 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  n  ->  (
i  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
4847fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  ( ZZ>=
`  ( i  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
4948sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  n  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
5046, 49syl5eq 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  sum_ l  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
5150fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  ( abs `  sum_ l  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
5251eqeq2d 2415 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  (
u  =  ( abs `  sum_ l  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l ) )  <->  u  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) ) )
5352cbvrexv 2893 . . . . . . 7  |-  ( E. i  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ l  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `
 l ) )  <->  E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) )
54 eqeq1 2410 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <->  z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) ) ) )
5554rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( u  =  z  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <->  E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) ) )
5653, 55syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( u  =  z  ->  ( E. i  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ l  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `
 l ) )  <->  E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) ) )
5756cbvabv 2523 . . . . 5  |-  { u  |  E. i  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ l  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l ) ) }  =  {
z  |  E. n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) ) }
58 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  ( K `  i )  =  ( K `  j ) )
5958cbvsumv 12445 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  =  sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )
6059oveq1i 6050 . . . . . . . . . 10  |-  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `
 i )  +  1 )  =  (
sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 )
6160oveq2i 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  /  2 )  /  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  +  1 ) )  =  ( ( x  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) )
6261breq2i 4180 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  i
) )  <  (
( x  /  2
)  /  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `
 i )  +  1 ) )  <->  ( abs ` 
sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) ( G `  i ) )  <  ( ( x  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) )
63 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  ( G `  i )  =  ( G `  k ) )
6463cbvsumv 12445 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  i
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  k
)
65 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  n  ->  (
u  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
6665fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  n  ->  ( ZZ>=
`  ( u  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
6766sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  n  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
6864, 67syl5eq 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  n  ->  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  i
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
6968fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  n  ->  ( abs `  sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) ( G `  i ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
7069breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  n  ->  (
( abs `  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1
) ) ( G `
 i ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7162, 70syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( u  =  n  ->  (
( abs `  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1
) ) ( G `
 i ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7271cbvralv 2892 . . . . . 6  |-  ( A. u  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) ( G `  i ) )  <  ( ( x  /  2 )  /  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  +  1 ) )  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) )
7372anbi2i 676 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  NN  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) ( G `  i ) )  <  ( ( x  /  2 )  /  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  +  1 ) ) )  <->  ( s  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7433, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 57, 73mertenslem2 12617 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
x )
75 eluznn0 10502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  y ) )  ->  m  e.  NN0 )
76 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... m )  e. 
Fin )
77 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ph )
78 elfznn0 11039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 0 ... m )  ->  j  e.  NN0 )
7978adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  j  e.  NN0 )
801, 3, 14, 15, 42isumcl 12500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  B  e.  CC )
8180adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e. 
NN0  B  e.  CC )
8232, 10eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
8381, 82mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  e.  CC )
8477, 79, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j
) )  e.  CC )
85 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
0 ... ( m  -  j ) )  e. 
Fin )
86 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  ph )
8778ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  j  e.  NN0 )
8886, 87, 10syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  A  e.  CC )
89 elfznn0 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( m  -  j
) )  ->  k  e.  NN0 )
9089adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
9186, 90, 16syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
9288, 91mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  ( A  x.  ( G `  k
) )  e.  CC )
9385, 92fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k ) )  e.  CC )
9476, 84, 93fsumsub 12526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `
 k ) ) ) )
9577, 79, 10syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  A  e.  CC )
9680ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  e.  CC )
9785, 91fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( G `  k )  e.  CC )
9895, 96, 97subdid 9445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( A  x.  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) )  =  ( ( A  x.  sum_ k  e.  NN0  B )  -  ( A  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) ) )
99 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) )
100 fznn0sub 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 0 ... m )  ->  (
m  -  j )  e.  NN0 )
101100adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
m  -  j )  e.  NN0 )
102 peano2nn0 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  -  j )  e.  NN0  ->  ( ( m  -  j )  +  1 )  e. 
NN0 )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( m  -  j
)  +  1 )  e.  NN0 )
10477, 14sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
10577, 15sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
10642ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
1071, 99, 103, 104, 105, 106isumsplit 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( ( m  -  j
)  +  1 )  -  1 ) ) B  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
108101nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
m  -  j )  e.  CC )
109 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
110 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( m  -  j
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( m  -  j )  +  1 )  -  1 )  =  ( m  -  j ) )
111108, 109, 110sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( ( m  -  j )  +  1 )  -  1 )  =  ( m  -  j ) )
112111oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
0 ... ( ( ( m  -  j )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
m  -  j ) ) )
113112sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( ( m  -  j )  +  1 )  -  1 ) ) B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) B )
11486, 90, 14syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  ( G `  k )  =  B )
115114sumeq2dv 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( G `  k )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) B )
116113, 115eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( ( m  -  j )  +  1 )  -  1 ) ) B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) )
117116oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( ( m  -  j )  +  1 )  - 
1 ) ) B  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
118107, 117eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
119118oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) )
120103nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( m  -  j
)  +  1 )  e.  ZZ )
121 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  ->  ph )
122 eluznn0 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( m  -  j )  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
123103, 122sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
124121, 123, 14syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  =  B )
125121, 123, 15syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
126104, 105eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
1271, 103, 126iserex 12405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq  ( ( m  -  j )  +  1 ) (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  ) )
128106, 127mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  seq  ( ( m  -  j )  +  1 ) (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
12999, 120, 124, 125, 128isumcl 12500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B  e.  CC )
13097, 129pncan2d 9369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B )
131119, 130eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B )
132131oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( A  x.  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) )  =  ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
13310, 81mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( A  x.  sum_ k  e.  NN0  B )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  A ) )
13432oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  A ) )
135133, 134eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( A  x.  sum_ k  e.  NN0  B )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
13677, 79, 135syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( A  x.  sum_ k  e. 
NN0  B )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
13785, 95, 91fsummulc2 12522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( A  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( G `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k )
) )
138136, 137oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( A  x.  sum_ k  e.  NN0  B )  -  ( A  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) )  =  ( ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `
 k ) ) ) )
13998, 132, 1383eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `
 k ) ) )  =  ( A  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
140139sumeq2dv 12452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
141 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  ( F `  n )  =  ( F `  j ) )
142141oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n
) )  =  (
sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
143 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) )
144 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  e.  _V
145142, 143, 144fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) `  j
)  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
14679, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) `
 j )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
147 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
148147, 1syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
149146, 148, 84fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j )
)  =  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m ) )
150 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
151150oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( A  x.  ( G `  n ) )  =  ( A  x.  ( G `  k )
) )
152 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  -  j )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( k  -  j
) ) )
153152oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  -  j )  ->  ( A  x.  ( G `  n ) )  =  ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
15492anasss 629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
j  e.  ( 0 ... m )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( G `  k
) )  e.  CC )
155151, 153, 154fsum0diag2 12521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k )
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
156 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ph )
157 elfznn0 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... m )  ->  k  e.  NN0 )
158157adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... m
) )  ->  k  e.  NN0 )
159156, 158, 6syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
160156, 158, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) )  e.  CC )
161159, 148, 160fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) )  =  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) )
162155, 161eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k )
)  =  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) )
163149, 162oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... m ) (
sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `
 k ) ) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )
16494, 140, 1633eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0
(  +  ,  H
) `  m )
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
165164fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  =  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) ) )
166165breq1d 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0
(  +  ,  H
) `  m )
) )  <  x  <->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
16775, 166sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  y )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
x ) )
168167anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( ( abs `  ( (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0
(  +  ,  H
) `  m )
) )  <  x  <->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
169168ralbidva 2682 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
170169rexbidva 2683 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
NN0  A. m  e.  (
ZZ>= `  y ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x  <->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
171170adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x  <->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
17274, 171mpbird 224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x )
173172ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x )
17432fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  =  ( abs `  A ) )
17534, 174eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  ( F `
 j ) ) )
1761, 3, 175, 82, 40abscvgcvg 12553 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
1771, 3, 32, 10, 176isumclim2 12497 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  F )  ~~>  sum_ j  e.  NN0  A )
17882ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN0  ( F `  j )  e.  CC )
179 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  ( F `  j )  =  ( F `  m ) )
180179eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  <->  ( F `  m )  e.  CC ) )
181180rspccva 3011 . . . . 5  |-  ( ( A. j  e.  NN0  ( F `  j )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
182178, 181sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
183 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
184183oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n
) )  =  (
sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  m ) ) )
185 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  m ) )  e.  _V
186184, 143, 185fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) `  m
)  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  m ) ) )
187186adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) `  m
)  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  m ) ) )
1881, 3, 80, 177, 182, 187isermulc2 12406 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) )  ~~>  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  sum_ j  e.  NN0  A
) )
1891, 3, 32, 10, 176isumcl 12500 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  A  e.  CC )
19080, 189mulcomd 9065 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  sum_ j  e.  NN0  A )  =  ( sum_ j  e.  NN0  A  x.  sum_ k  e.  NN0  B
) )
191188, 190breqtrd 4196 . 2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) )  ~~>  ( sum_ j  e.  NN0  A  x.  sum_ k  e.  NN0  B
) )
1921, 3, 5, 31, 173, 1912clim 12321 1  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( sum_ j  e.  NN0  A  x.  sum_ k  e.  NN0  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999    seq cseq 11278   abscabs 11994    ~~> cli 12233   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  efaddlem  12650
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435
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