Theorem mersenne 22578

Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2 ^ P - 1. This theorem shows that the P in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mersenne	|- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. Prime )

Proof of Theorem mersenne

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. ZZ )
2		2nn0 10608	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
3	2	numexp1 14118	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 1 ) = 2
4		df-2 10392	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
5	3, 4	eqtri 2463	. . . . 5 |- ( 2 ^ 1 ) = ( 1 + 1 )
6		prmuz2 13793	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
7	6	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
8		eluz2b2 10939	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. NN /\ 1 < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) ) )
9	8	simprbi 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
10	7, 9	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
11		1red 9413	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 e. RR )
12		2re 10403	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 2 e. RR )
14		2ne0 10426	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 2 =/= 0 )
16	13, 15, 1	reexpclzd 12045	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 2 ^ P ) e. RR )
17	11, 11, 16	ltaddsubd 9951	. . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ P ) <-> 1 < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) ) )
18	10, 17	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ P ) )
19	5, 18	syl5eqbr 4337	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ P ) )
20		1zzd 10689	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
21		1lt2 10500	. . . . . 6 |- 1 < 2
22	21	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 < 2 )
23	13, 20, 1, 22	ltexp2d 12049	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 1 < P <-> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ P ) ) )
24	19, 23	mpbird 232	. . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 < P )
25		eluz2b1 10938	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. ZZ /\ 1 < P ) )
26	1, 24, 25	sylanbrc 664	. 2 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
27		simpllr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime )
28		prmnn 13778	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. NN )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. NN )
30	29	nncnd 10350	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. CC )
31		2nn 10491	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
32		elfzuz 11461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
33	32	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
34		eluz2b2 10939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( k e. NN /\ 1 < k ) )
35	34	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. NN )
36	33, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. NN )
37	36	nnnn0d 10648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. NN0 )
38		nnexpcl 11890	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
39	31, 37, 38	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
40	39	nnzd 10758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. ZZ )
41		peano2zm 10700	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ^ k ) e. ZZ -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ZZ )
42	40, 41	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ZZ )
43	42	zred 10759	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. RR )
44	43	recnd 9424	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. CC )
45		0red 9399	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 e. RR )
46		1red 9413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 e. RR )
47		0lt1 9874	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 < 1 )
49	34	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < k )
50	33, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < k )
51	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 2 e. RR )
52		1zzd 10689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 e. ZZ )
53		elfzelz 11465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> k e. ZZ )
54	53	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. ZZ )
55	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < 2 )
56	51, 52, 54, 55	ltexp2d 12049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 < k <-> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ k ) ) )
57	50, 56	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ k ) )
58	5, 57	syl5eqbrr 4338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ k ) )
59	39	nnred 10349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. RR )
60	46, 46, 59	ltaddsubd 9951	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ k ) <-> 1 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
61	58, 60	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) )
62	45, 46, 43, 48, 61	lttrd 9544	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) )
63		elnnz 10668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. NN <-> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
64	42, 62, 63	sylanbrc 664	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. NN )
65	64	nnne0d 10378	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) =/= 0 )
66	30, 44, 65	divcan2d 10121	. . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
67	66, 27	eqeltrd 2517	. . . 4 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) e. Prime )
68		eluz2b2 10939	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. NN /\ 1 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
69	64, 61, 68	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
70	39	nncnd 10350	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
71		ax-1cn 9352	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
72		subeq0 9647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) = 0 <-> ( 2 ^ k ) = 1 ) )
73	70, 71, 72	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) = 0 <-> ( 2 ^ k ) = 1 ) )
74	73	necon3bid 2655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) =/= 0 <-> ( 2 ^ k ) =/= 1 ) )
75	65, 74	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) =/= 1 )
76		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k || P )
77		eluz2b2 10939	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. NN /\ 1 < P ) )
78	77	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
79	26, 78	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. NN )
80	79	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> P e. NN )
81		nndivdvds 13553	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN ) -> ( k || P <-> ( P / k ) e. NN ) )
82	80, 36, 81	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( k || P <-> ( P / k ) e. NN ) )
83	76, 82	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( P / k ) e. NN )
84	83	nnnn0d 10648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( P / k ) e. NN0 )
85	70, 75, 84	geoser 13341	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^ n ) = ( ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) / ( 1 - ( 2 ^ k ) ) ) )
86	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ P ) e. RR )
87	86	recnd 9424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ P ) e. CC )
88		negsubdi2 9680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 ^ P ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ P ) ) )
89	87, 71, 88	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ P ) ) )
90	80	nncnd 10350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> P e. CC )
91	36	nncnd 10350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. CC )
92	36	nnne0d 10378	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k =/= 0 )
93	90, 91, 92	divcan2d 10121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( k x. ( P / k ) ) = P )
94	93	oveq2d 6119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ ( k x. ( P / k ) ) ) = ( 2 ^ P ) )
95	51	recnd 9424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 2 e. CC )
96	95, 84, 37	expmuld 12023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ ( k x. ( P / k ) ) ) = ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) )
97	94, 96	eqtr3d 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ P ) = ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) )
98	97	oveq2d 6119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 - ( 2 ^ P ) ) = ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) )
99	89, 98	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) = ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) )
100		negsubdi2 9680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ k ) ) )
101	70, 71, 100	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ k ) ) )
102	99, 101	oveq12d 6121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) = ( ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) / ( 1 - ( 2 ^ k ) ) ) )
103	30, 44, 65	div2negd 10134	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) = ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
104	85, 102, 103	3eqtr2d 2481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^ n ) = ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
105		fzfid 11807	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) e. Fin )
106		elfznn0 11493	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) -> n e. NN0 )
107		zexpcl 11892	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. ZZ /\ n e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ k ) ^ n ) e. ZZ )
108	40, 106, 107	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) /\ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ) -> ( ( 2 ^ k ) ^ n ) e. ZZ )
109	105, 108	fsumzcl 13224	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^ n ) e. ZZ )
110	104, 109	eqeltrrd 2518	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ZZ )
111	44	mulid2d 9416	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ k ) - 1 ) )
112		2z 10690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
113		elfzm11 11540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 2 <_ k /\ k < P ) ) )
114	112, 1, 113	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 2 <_ k /\ k < P ) ) )
115	114	biimpa 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ 2 <_ k /\ k < P ) )
116	115	simp3d 1002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> k < P )
117	116	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k < P )
118	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> P e. ZZ )
119	51, 54, 118, 55	ltexp2d 12049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( k < P <-> ( 2 ^ k ) < ( 2 ^ P ) ) )
120	117, 119	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) < ( 2 ^ P ) )
121	59, 86, 46, 120	ltsub1dd 9963	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
122	111, 121	eqbrtrd 4324	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
123	29	nnred 10349	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. RR )
124		ltmuldiv 10214	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. RR /\ ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) -> ( ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) <-> 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) )
125	46, 123, 43, 62, 124	syl112anc 1222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) <-> 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) )
126	122, 125	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
127		eluz2b1 10938	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ZZ /\ 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) )
128	110, 126, 127	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
129		nprm 13789	. . . . 5 |- ( ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) e. Prime )
130	69, 128, 129	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -. ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) e. Prime )
131	67, 130	pm2.65da 576	. . 3 |- ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. k || P )
132	131	ralrimiva 2811	. 2 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> A. k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. k || P )
133		isprm3 13784	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. k || P ) )
134	26, 132, 133	sylanbrc 664	1 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. Prime )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2618   A.wral 2727   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295   + caddc 9297   x. cmul 9299   < clt 9430   <_ cle 9431   - cmin 9607   -ucneg 9608   / cdiv 10005   NNcn 10334   2c2 10383   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873   ...cfz 11449   ^cexp 11877   sum_csu 13175   || cdivides 13547   Primecprime 13775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-sum 13176  df-dvds 13548  df-prm 13776

This theorem is referenced by:  perfect1  22579  perfect  22582