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Theorem mersenne 22578
Description: A Mersenne prime is a prime number of the form  2 ^ P  - 
1. This theorem shows that the  P in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mersenne  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )

Proof of Theorem mersenne
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  ZZ )
2 2nn0 10608 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
32numexp1 14118 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
4 df-2 10392 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
53, 4eqtri 2463 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 1 )  =  ( 1  +  1 )
6 prmuz2 13793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime  ->  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
76adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
8 eluz2b2 10939 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  NN  /\  1  < 
( ( 2 ^ P )  -  1 ) ) )
98simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( ( 2 ^ P
)  -  1 ) )
107, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  <  ( ( 2 ^ P )  -  1 ) )
11 1red 9413 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  e.  RR )
12 2re 10403 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
1312a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  2  e.  RR )
14 2ne0 10426 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
1514a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  2  =/=  0 )
1613, 15, 1reexpclzd 12045 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 2 ^ P
)  e.  RR )
1711, 11, 16ltaddsubd 9951 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( 1  +  1 )  <  (
2 ^ P )  <->  1  <  ( ( 2 ^ P )  -  1 ) ) )
1810, 17mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 1  +  1 )  <  ( 2 ^ P ) )
195, 18syl5eqbr 4337 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ P ) )
20 1zzd 10689 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  e.  ZZ )
21 1lt2 10500 . . . . . 6  |-  1  <  2
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  <  2 )
2313, 20, 1, 22ltexp2d 12049 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 1  <  P  <->  ( 2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ P ) ) )
2419, 23mpbird 232 . . 3  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  <  P )
25 eluz2b1 10938 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  ZZ  /\  1  < 
P ) )
261, 24, 25sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
27 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime )
28 prmnn 13778 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime  ->  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  NN )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  NN )
3029nncnd 10350 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  CC )
31 2nn 10491 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
32 elfzuz 11461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
34 eluz2b2 10939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( k  e.  NN  /\  1  < 
k ) )
3534simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  NN )
3633, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  NN )
3736nnnn0d 10648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  NN0 )
38 nnexpcl 11890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
3931, 37, 38sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN )
4039nnzd 10758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  ZZ )
41 peano2zm 10700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ k )  e.  ZZ  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ZZ )
4240, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ZZ )
4342zred 10759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  RR )
4443recnd 9424 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  CC )
45 0red 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  0  e.  RR )
46 1red 9413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  e.  RR )
47 0lt1 9874 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
4847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  0  <  1 )
4934simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  k )
5033, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  k )
5112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  2  e.  RR )
52 1zzd 10689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  e.  ZZ )
53 elfzelz 11465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
5453ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  ZZ )
5521a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  2 )
5651, 52, 54, 55ltexp2d 12049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  <  k  <->  ( 2 ^ 1 )  < 
( 2 ^ k
) ) )
5750, 56mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ k ) )
585, 57syl5eqbrr 4338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  +  1 )  <  ( 2 ^ k ) )
5939nnred 10349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR )
6046, 46, 59ltaddsubd 9951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 1  +  1 )  <  ( 2 ^ k )  <->  1  <  ( ( 2 ^ k
)  -  1 ) ) )
6158, 60mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )
6245, 46, 43, 48, 61lttrd 9544 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  0  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )
63 elnnz 10668 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )
6442, 62, 63sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  NN )
6564nnne0d 10378 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  =/=  0 )
6630, 44, 65divcan2d 10121 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  x.  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ P )  - 
1 ) )
6766, 27eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  x.  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) ) )  e.  Prime )
68 eluz2b2 10939 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( 2 ^ k )  -  1 )  e.  NN  /\  1  < 
( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )
6964, 61, 68sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
7039nncnd 10350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
71 ax-1cn 9352 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
72 subeq0 9647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  =  0  <-> 
( 2 ^ k
)  =  1 ) )
7370, 71, 72sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  =  0  <->  (
2 ^ k )  =  1 ) )
7473necon3bid 2655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  =/=  0  <->  (
2 ^ k )  =/=  1 ) )
7565, 74mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  =/=  1 )
76 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  ||  P )
77 eluz2b2 10939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
7877simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
7926, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  NN )
8079ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  P  e.  NN )
81 nndivdvds 13553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ||  P  <->  ( P  /  k )  e.  NN ) )
8280, 36, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
k  ||  P  <->  ( P  /  k )  e.  NN ) )
8376, 82mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( P  /  k )  e.  NN )
8483nnnn0d 10648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( P  /  k )  e. 
NN0 )
8570, 75, 84geoser 13341 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^
n )  =  ( ( 1  -  (
( 2 ^ k
) ^ ( P  /  k ) ) )  /  ( 1  -  ( 2 ^ k ) ) ) )
8616ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ P )  e.  RR )
8786recnd 9424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ P )  e.  CC )
88 negsubdi2 9680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ P ) ) )
8987, 71, 88sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -u (
( 2 ^ P
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ P
) ) )
9080nncnd 10350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  P  e.  CC )
9136nncnd 10350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  CC )
9236nnne0d 10378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  =/=  0 )
9390, 91, 92divcan2d 10121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
k  x.  ( P  /  k ) )  =  P )
9493oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ ( k  x.  ( P  / 
k ) ) )  =  ( 2 ^ P ) )
9551recnd 9424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  2  e.  CC )
9695, 84, 37expmuld 12023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ ( k  x.  ( P  / 
k ) ) )  =  ( ( 2 ^ k ) ^
( P  /  k
) ) )
9794, 96eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ P )  =  ( ( 2 ^ k ) ^
( P  /  k
) ) )
9897oveq2d 6119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  -  ( 2 ^ P ) )  =  ( 1  -  ( ( 2 ^ k ) ^ ( P  /  k ) ) ) )
9989, 98eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -u (
( 2 ^ P
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( ( 2 ^ k ) ^ ( P  /  k ) ) ) )
100 negsubdi2 9680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ k ) ) )
10170, 71, 100sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -u (
( 2 ^ k
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ k
) ) )
10299, 101oveq12d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( -u ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  -u (
( 2 ^ k
)  -  1 ) )  =  ( ( 1  -  ( ( 2 ^ k ) ^ ( P  / 
k ) ) )  /  ( 1  -  ( 2 ^ k
) ) ) )
10330, 44, 65div2negd 10134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( -u ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  -u (
( 2 ^ k
)  -  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) ) )
10485, 102, 1033eqtr2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^
n )  =  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )
105 fzfid 11807 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
0 ... ( ( P  /  k )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
106 elfznn0 11493 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( ( P  / 
k )  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
107 zexpcl 11892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  ZZ  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ k ) ^ n
)  e.  ZZ )
10840, 106, 107syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) )  ->  (
( 2 ^ k
) ^ n )  e.  ZZ )
109105, 108fsumzcl 13224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^
n )  e.  ZZ )
110104, 109eqeltrrd 2518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ZZ )
11144mulid2d 9416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  x.  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) )
112 2z 10690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
113 elfzm11 11540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  2  <_  k  /\  k  <  P ) ) )
114112, 1, 113sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  2  <_  k  /\  k  <  P ) ) )
115114biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  2  <_ 
k  /\  k  <  P ) )
116115simp3d 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  k  <  P
)
117116adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  <  P )
1181ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  P  e.  ZZ )
11951, 54, 118, 55ltexp2d 12049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
k  <  P  <->  ( 2 ^ k )  < 
( 2 ^ P
) ) )
120117, 119mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  <  ( 2 ^ P ) )
12159, 86, 46, 120ltsub1dd 9963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  <  ( ( 2 ^ P )  - 
1 ) )
122111, 121eqbrtrd 4324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  x.  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  <  ( ( 2 ^ P )  - 
1 ) )
12329nnred 10349 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  RR )
124 ltmuldiv 10214 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  RR  /\  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  x.  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  <  ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  <->  1  <  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) ) )
12546, 123, 43, 62, 124syl112anc 1222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 1  x.  (
( 2 ^ k
)  -  1 ) )  <  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  <->  1  <  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) ) )
126122, 125mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  ( ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  /  (
( 2 ^ k
)  -  1 ) ) )
127 eluz2b1 10938 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) )  e.  ZZ  /\  1  < 
( ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  /  (
( 2 ^ k
)  -  1 ) ) ) )
128110, 126, 127sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
129 nprm 13789 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2 ^ k )  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) )  ->  -.  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  x.  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )  e.  Prime )
13069, 128, 129syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -.  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  x.  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )  e.  Prime )
13167, 130pm2.65da 576 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  -.  k  ||  P )
132131ralrimiva 2811 . 2  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  k  ||  P
)
133 isprm3 13784 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  k  ||  P
) )
13426, 132, 133sylanbrc 664 1  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299    < clt 9430    <_ cle 9431    - cmin 9607   -ucneg 9608    / cdiv 10005   NNcn 10334   2c2 10383   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873   ...cfz 11449   ^cexp 11877   sum_csu 13175    || cdivides 13547   Primecprime 13775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-sum 13176  df-dvds 13548  df-prm 13776
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