Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendvscafval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mendvscafval 36068
Description: Scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendvscafval.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendvscafval.v  |-  .x.  =  ( .s `  M )
mendvscafval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mendvscafval.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
mendvscafval.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
mendvscafval.e  |-  E  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
mendvscafval  |-  ( .s
`  A )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    x, M, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    S( x, y)    .x. ( x, y)    E( x, y)

Proof of Theorem mendvscafval
StepHypRef Expression
1 mendvscafval.a . . 3  |-  A  =  (MEndo `  M )
21fveq2i 5873 . 2  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  (MEndo `  M ) )
3 mendvscafval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
41mendbas 36062 . . . . . . 7  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
53, 4eqtr4i 2478 . . . . . 6  |-  B  =  ( M LMHom  M )
6 eqid 2453 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M ) y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M ) y ) )
7 eqid 2453 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) )
8 mendvscafval.s . . . . . 6  |-  S  =  (Scalar `  M )
9 mendvscafval.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  S
)
10 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  B  =  B
11 mendvscafval.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( Base `  M
)
1211xpeq1i 4857 . . . . . . . 8  |-  ( E  X.  { x }
)  =  ( (
Base `  M )  X.  { x } )
13 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  y  =  y
14 mendvscafval.v . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .s `  M )
15 ofeq 6538 . . . . . . . . 9  |-  (  .x.  =  ( .s `  M )  ->  oF  .x.  =  oF ( .s `  M
) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  oF  .x.  =  oF ( .s `  M
)
1712, 13, 16oveq123i 6309 . . . . . . 7  |-  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  oF ( .s `  M ) y )
189, 10, 17mpt2eq123i 6359 . . . . . 6  |-  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y ) )  =  ( x  e.  ( Base `  S
) ,  y  e.  B  |->  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) y ) )
195, 6, 7, 8, 18mendval 36061 . . . . 5  |-  ( M  e.  _V  ->  (MEndo `  M )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) ) >. } ) )
2019fveq2d 5874 . . . 4  |-  ( M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M
) )  =  ( .s `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) ) >. } ) ) )
21 fvex 5880 . . . . . . 7  |-  ( Base `  S )  e.  _V
229, 21eqeltri 2527 . . . . . 6  |-  K  e. 
_V
23 fvex 5880 . . . . . . 7  |-  ( Base `  A )  e.  _V
243, 23eqeltri 2527 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2522, 24mpt2ex 6875 . . . . 5  |-  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y ) )  e.  _V
26 eqid 2453 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) ) >. } )  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) ) >. } )
2726algvsca 36060 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) )  =  ( .s
`  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) ) >. } ) ) )
2825, 27mp1i 13 . . . 4  |-  ( M  e.  _V  ->  (
x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) )  =  ( .s
`  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) ) >. } ) ) )
2920, 28eqtr4d 2490 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M
) )  =  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) ) )
30 fvprc 5864 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (MEndo `  M )  =  (/) )
3130fveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M ) )  =  ( .s `  (/) ) )
32 df-vsca 15219 . . . . . 6  |-  .s  = Slot  6
3332str0 15173 . . . . 5  |-  (/)  =  ( .s `  (/) )
3431, 33syl6eqr 2505 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M ) )  =  (/) )
35 fvprc 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (Scalar `  M )  =  (/) )
368, 35syl5eq 2499 . . . . . . . 8  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  S  =  (/) )
3736fveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (
Base `  S )  =  ( Base `  (/) ) )
38 base0 15174 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
3937, 9, 383eqtr4g 2512 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  K  =  (/) )
40 mpt2eq12 6356 . . . . . 6  |-  ( ( K  =  (/)  /\  B  =  B )  ->  (
x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x }
)  oF  .x.  y ) ) )
4139, 10, 40sylancl 669 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x }
)  oF  .x.  y ) ) )
42 mpt20 6366 . . . . 5  |-  ( x  e.  (/) ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x }
)  oF  .x.  y ) )  =  (/)
4341, 42syl6eq 2503 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) )  =  (/) )
4434, 43eqtr4d 2490 . . 3  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M ) )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) ) )
4529, 44pm2.61i 168 . 2  |-  ( .s
`  (MEndo `  M
) )  =  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) )
462, 45eqtri 2475 1  |-  ( .s
`  A )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1446    e. wcel 1889   _Vcvv 3047    u. cun 3404   (/)c0 3733   {csn 3970   {cpr 3972   {ctp 3974   <.cop 3976    X. cxp 4835    o. ccom 4841   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297    oFcof 6534   6c6 10670   ndxcnx 15130   Basecbs 15133   +g cplusg 15202   .rcmulr 15203  Scalarcsca 15205   .scvsca 15206   LMHom clmhm 18254  MEndocmend 36053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-lmhm 18257  df-mend 36054
This theorem is referenced by:  mendvsca  36069
  Copyright terms: Public domain W3C validator