Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendvscafval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mendvscafval 36068
 Description: Scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendvscafval.a MEndo
mendvscafval.v
mendvscafval.b
mendvscafval.s Scalar
mendvscafval.k
mendvscafval.e
Assertion
Ref Expression
mendvscafval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem mendvscafval
StepHypRef Expression
1 mendvscafval.a . . 3 MEndo
21fveq2i 5873 . 2 MEndo
3 mendvscafval.b . . . . . . 7
41mendbas 36062 . . . . . . 7 LMHom
53, 4eqtr4i 2478 . . . . . 6 LMHom
6 eqid 2453 . . . . . 6
7 eqid 2453 . . . . . 6
8 mendvscafval.s . . . . . 6 Scalar
9 mendvscafval.k . . . . . . 7
10 eqid 2453 . . . . . . 7
11 mendvscafval.e . . . . . . . . 9
1211xpeq1i 4857 . . . . . . . 8
13 eqid 2453 . . . . . . . 8
14 mendvscafval.v . . . . . . . . 9
15 ofeq 6538 . . . . . . . . 9
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8
1712, 13, 16oveq123i 6309 . . . . . . 7
189, 10, 17mpt2eq123i 6359 . . . . . 6
195, 6, 7, 8, 18mendval 36061 . . . . 5 MEndo Scalar
2019fveq2d 5874 . . . 4 MEndo Scalar
21 fvex 5880 . . . . . . 7
229, 21eqeltri 2527 . . . . . 6
23 fvex 5880 . . . . . . 7
243, 23eqeltri 2527 . . . . . 6
2522, 24mpt2ex 6875 . . . . 5
26 eqid 2453 . . . . . 6 Scalar Scalar
2726algvsca 36060 . . . . 5 Scalar
2825, 27mp1i 13 . . . 4 Scalar
2920, 28eqtr4d 2490 . . 3 MEndo
30 fvprc 5864 . . . . . 6 MEndo
3130fveq2d 5874 . . . . 5 MEndo
32 df-vsca 15219 . . . . . 6 Slot
3332str0 15173 . . . . 5
3431, 33syl6eqr 2505 . . . 4 MEndo
35 fvprc 5864 . . . . . . . . 9 Scalar
368, 35syl5eq 2499 . . . . . . . 8
3736fveq2d 5874 . . . . . . 7
38 base0 15174 . . . . . . 7
3937, 9, 383eqtr4g 2512 . . . . . 6
40 mpt2eq12 6356 . . . . . 6
4139, 10, 40sylancl 669 . . . . 5
42 mpt20 6366 . . . . 5
4341, 42syl6eq 2503 . . . 4
4434, 43eqtr4d 2490 . . 3 MEndo
4529, 44pm2.61i 168 . 2 MEndo
462, 45eqtri 2475 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wceq 1446   wcel 1889  cvv 3047   cun 3404  c0 3733  csn 3970  cpr 3972  ctp 3974  cop 3976   cxp 4835   ccom 4841  cfv 5585  (class class class)co 6295   cmpt2 6297   cof 6534  c6 10670  cnx 15130  cbs 15133   cplusg 15202  cmulr 15203  Scalarcsca 15205  cvsca 15206   LMHom clmhm 18254  MEndocmend 36053 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-lmhm 18257  df-mend 36054 This theorem is referenced by:  mendvsca  36069
 Copyright terms: Public domain W3C validator