Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendvscafval Structured version   Unicode version

Theorem mendvscafval 31343
Description: Scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendvscafval.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendvscafval.v  |-  .x.  =  ( .s `  M )
mendvscafval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mendvscafval.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
mendvscafval.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
mendvscafval.e  |-  E  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
mendvscafval  |-  ( .s
`  A )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    x, M, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    S( x, y)    .x. ( x, y)    E( x, y)

Proof of Theorem mendvscafval
StepHypRef Expression
1 mendvscafval.a . . 3  |-  A  =  (MEndo `  M )
21fveq2i 5875 . 2  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  (MEndo `  M ) )
3 mendvscafval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
41mendbas 31337 . . . . . . 7  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
53, 4eqtr4i 2489 . . . . . 6  |-  B  =  ( M LMHom  M )
6 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M ) y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M ) y ) )
7 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) )
8 mendvscafval.s . . . . . 6  |-  S  =  (Scalar `  M )
9 mendvscafval.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  S
)
10 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  B  =  B
11 mendvscafval.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( Base `  M
)
1211xpeq1i 5028 . . . . . . . 8  |-  ( E  X.  { x }
)  =  ( (
Base `  M )  X.  { x } )
13 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  y  =  y
14 mendvscafval.v . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .s `  M )
15 ofeq 6541 . . . . . . . . 9  |-  (  .x.  =  ( .s `  M )  ->  oF  .x.  =  oF ( .s `  M
) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  oF  .x.  =  oF ( .s `  M
)
1712, 13, 16oveq123i 6310 . . . . . . 7  |-  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  oF ( .s `  M ) y )
189, 10, 17mpt2eq123i 6359 . . . . . 6  |-  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y ) )  =  ( x  e.  ( Base `  S
) ,  y  e.  B  |->  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) y ) )
195, 6, 7, 8, 18mendval 31336 . . . . 5  |-  ( M  e.  _V  ->  (MEndo `  M )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) ) >. } ) )
2019fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M
) )  =  ( .s `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) ) >. } ) ) )
21 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( Base `  S )  e.  _V
229, 21eqeltri 2541 . . . . . 6  |-  K  e. 
_V
23 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( Base `  A )  e.  _V
243, 23eqeltri 2541 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2522, 24mpt2ex 6876 . . . . 5  |-  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y ) )  e.  _V
26 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) ) >. } )  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) ) >. } )
2726algvsca 31335 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) )  =  ( .s
`  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) ) >. } ) ) )
2825, 27mp1i 12 . . . 4  |-  ( M  e.  _V  ->  (
x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) )  =  ( .s
`  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) ) >. } ) ) )
2920, 28eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M
) )  =  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) ) )
30 fvprc 5866 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (MEndo `  M )  =  (/) )
3130fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M ) )  =  ( .s `  (/) ) )
32 df-vsca 14729 . . . . . 6  |-  .s  = Slot  6
3332str0 14684 . . . . 5  |-  (/)  =  ( .s `  (/) )
3431, 33syl6eqr 2516 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M ) )  =  (/) )
35 fvprc 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (Scalar `  M )  =  (/) )
368, 35syl5eq 2510 . . . . . . . 8  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  S  =  (/) )
3736fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (
Base `  S )  =  ( Base `  (/) ) )
38 base0 14685 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
3937, 9, 383eqtr4g 2523 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  K  =  (/) )
40 mpt2eq12 6356 . . . . . 6  |-  ( ( K  =  (/)  /\  B  =  B )  ->  (
x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x }
)  oF  .x.  y ) ) )
4139, 10, 40sylancl 662 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x }
)  oF  .x.  y ) ) )
42 mpt20 6366 . . . . 5  |-  ( x  e.  (/) ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x }
)  oF  .x.  y ) )  =  (/)
4341, 42syl6eq 2514 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) )  =  (/) )
4434, 43eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M ) )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) ) )
4529, 44pm2.61i 164 . 2  |-  ( .s
`  (MEndo `  M
) )  =  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  oF  .x.  y ) )
462, 45eqtri 2486 1  |-  ( .s
`  A )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  oF  .x.  y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    u. cun 3469   (/)c0 3793   {csn 4032   {cpr 4034   {ctp 4036   <.cop 4038    X. cxp 5006    o. ccom 5012   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    oFcof 6537   6c6 10610   ndxcnx 14641   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   .rcmulr 14713  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   LMHom clmhm 17792  MEndocmend 31328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-lmhm 17795  df-mend 31329
This theorem is referenced by:  mendvsca  31344
  Copyright terms: Public domain W3C validator