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Theorem mendrng 30737
Description: The module endomorphism algebra is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mendassa.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
Assertion
Ref Expression
mendrng  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Ring )

Proof of Theorem mendrng
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4  |-  A  =  (MEndo `  M )
21mendbas 30729 . . 3  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
32a1i 11 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
)
4 eqidd 2463 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A ) )
5 eqidd 2463 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
) )
6 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
7 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A )
81, 2, 6, 7mendplusg 30731 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) y )  =  ( x  oF ( +g  `  M ) y ) )
96lmhmplusg 17468 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x  oF ( +g  `  M ) y )  e.  ( M LMHom  M
) )
108, 9eqeltrd 2550 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
11103adant1 1009 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( +g  `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
12 simpr1 997 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( M LMHom  M ) )
13 simpr2 998 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( M LMHom  M ) )
1412, 13, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x  oF ( +g  `  M ) y )  e.  ( M LMHom  M
) )
15 simpr3 999 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( M LMHom  M ) )
161, 2, 6, 7mendplusg 30731 . . . . 5  |-  ( ( ( x  oF ( +g  `  M
) y )  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( x  oF ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  A
) z )  =  ( ( x  oF ( +g  `  M
) y )  oF ( +g  `  M
) z ) )
1714, 15, 16syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  oF ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  A ) z )  =  ( ( x  oF ( +g  `  M ) y )  oF ( +g  `  M ) z ) )
1812, 13, 8syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) y )  =  ( x  oF ( +g  `  M ) y ) )
1918oveq1d 6292 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( +g  `  A ) z )  =  ( ( x  oF ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  A ) z ) )
206lmhmplusg 17468 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y  oF ( +g  `  M ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
2113, 15, 20syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( y  oF ( +g  `  M ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
221, 2, 6, 7mendplusg 30731 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y  oF ( +g  `  M ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( +g  `  A ) ( y  oF ( +g  `  M
) z ) )  =  ( x  oF ( +g  `  M
) ( y  oF ( +g  `  M
) z ) ) )
2312, 21, 22syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) ( y  oF ( +g  `  M
) z ) )  =  ( x  oF ( +g  `  M
) ( y  oF ( +g  `  M
) z ) ) )
241, 2, 6, 7mendplusg 30731 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  =  ( y  oF ( +g  `  M ) z ) )
2513, 15, 24syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  =  ( y  oF ( +g  `  M ) z ) )
2625oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( x ( +g  `  A
) ( y  oF ( +g  `  M
) z ) ) )
27 lmodgrp 17297 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
28 grpmnd 15858 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  Grp  ->  M  e.  Mnd )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Mnd )
3029adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  M  e.  Mnd )
31 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
3231, 31lmhmf 17458 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
3312, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
34 fvex 5869 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  M )  e.  _V
3534, 34elmap 7439 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M ) )  <-> 
x : ( Base `  M ) --> ( Base `  M ) )
3633, 35sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) ) )
3731, 31lmhmf 17458 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M LMHom  M
)  ->  y :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
3813, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
3934, 34elmap 7439 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M ) )  <-> 
y : ( Base `  M ) --> ( Base `  M ) )
4038, 39sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) ) )
4131, 31lmhmf 17458 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( M LMHom  M
)  ->  z :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
4215, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
4334, 34elmap 7439 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M ) )  <-> 
z : ( Base `  M ) --> ( Base `  M ) )
4442, 43sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) ) )
4531, 6mndvass 18656 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  (
( Base `  M )  ^m  ( Base `  M
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) )  /\  z  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M )
) ) )  -> 
( ( x  oF ( +g  `  M
) y )  oF ( +g  `  M
) z )  =  ( x  oF ( +g  `  M
) ( y  oF ( +g  `  M
) z ) ) )
4630, 36, 40, 44, 45syl13anc 1225 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  oF ( +g  `  M ) y )  oF ( +g  `  M
) z )  =  ( x  oF ( +g  `  M
) ( y  oF ( +g  `  M
) z ) ) )
4723, 26, 463eqtr4d 2513 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( x  oF ( +g  `  M ) y )  oF ( +g  `  M
) z ) )
4817, 19, 473eqtr4d 2513 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( +g  `  A ) z )  =  ( x ( +g  `  A
) ( y ( +g  `  A ) z ) ) )
49 id 22 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
LMod )
50 eqidd 2463 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M ) )
51 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
52 eqid 2462 . . . . 5  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
5351, 31, 52, 520lmhm 17464 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  M  e.  LMod  /\  (Scalar `  M
)  =  (Scalar `  M ) )  -> 
( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } )  e.  ( M LMHom  M ) )
5449, 49, 50, 53syl3anc 1223 . . 3  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( (
Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } )  e.  ( M LMHom  M
) )
551, 2, 6, 7mendplusg 30731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } )  e.  ( M LMHom  M )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } ) ( +g  `  A ) x )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } )  oF ( +g  `  M ) x ) )
5654, 55sylan 471 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } ) ( +g  `  A
) x )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
( 0g `  M
) } )  oF ( +g  `  M
) x ) )
5732, 35sylibr 212 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) ) )
5831, 6, 51mndvlid 18657 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M )
) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } )  oF ( +g  `  M
) x )  =  x )
5929, 57, 58syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } )  oF ( +g  `  M ) x )  =  x )
6056, 59eqtrd 2503 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } ) ( +g  `  A
) x )  =  x )
61 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( invg `  M )  =  ( invg `  M )
6261invlmhm 17466 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( invg `  M )  e.  ( M LMHom  M
) )
63 lmhmco 17467 . . . 4  |-  ( ( ( invg `  M )  e.  ( M LMHom  M )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( invg `  M )  o.  x
)  e.  ( M LMHom 
M ) )
6462, 63sylan 471 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( invg `  M )  o.  x )  e.  ( M LMHom  M ) )
651, 2, 6, 7mendplusg 30731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( invg `  M )  o.  x
)  e.  ( M LMHom 
M )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( invg `  M )  o.  x
) ( +g  `  A
) x )  =  ( ( ( invg `  M )  o.  x )  oF ( +g  `  M
) x ) )
6664, 65sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( invg `  M )  o.  x
) ( +g  `  A
) x )  =  ( ( ( invg `  M )  o.  x )  oF ( +g  `  M
) x ) )
6731, 6, 61, 51grpvlinv 18659 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M )
) )  ->  (
( ( invg `  M )  o.  x
)  oF ( +g  `  M ) x )  =  ( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } ) )
6827, 57, 67syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( invg `  M )  o.  x
)  oF ( +g  `  M ) x )  =  ( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } ) )
6966, 68eqtrd 2503 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( invg `  M )  o.  x
) ( +g  `  A
) x )  =  ( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } ) )
703, 4, 11, 48, 54, 60, 64, 69isgrpd 15871 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Grp )
71 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
721, 2, 71mendmulr 30733 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) y )  =  ( x  o.  y
) )
73 lmhmco 17467 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x  o.  y )  e.  ( M LMHom  M ) )
7472, 73eqeltrd 2550 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
75743adant1 1009 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .r `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
76 coass 5519 . . 3  |-  ( ( x  o.  y )  o.  z )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) )
7712, 13, 72syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) y )  =  ( x  o.  y
) )
7877oveq1d 6292 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  o.  y ) ( .r
`  A ) z ) )
7912, 13, 73syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x  o.  y )  e.  ( M LMHom  M ) )
801, 2, 71mendmulr 30733 . . . . 5  |-  ( ( ( x  o.  y
)  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
x  o.  y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  o.  y )  o.  z
) )
8179, 15, 80syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o.  y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  o.  y )  o.  z
) )
8278, 81eqtrd 2503 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  o.  y )  o.  z
) )
831, 2, 71mendmulr 30733 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( .r `  A
) z )  =  ( y  o.  z
) )
8413, 15, 83syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( y
( .r `  A
) z )  =  ( y  o.  z
) )
8584oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( x ( .r
`  A ) ( y  o.  z ) ) )
86 lmhmco 17467 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y  o.  z )  e.  ( M LMHom  M ) )
8713, 15, 86syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( y  o.  z )  e.  ( M LMHom  M ) )
881, 2, 71mendmulr 30733 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y  o.  z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
x ( .r `  A ) ( y  o.  z ) )  =  ( x  o.  ( y  o.  z
) ) )
8912, 87, 88syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y  o.  z ) )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) ) )
9085, 89eqtrd 2503 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) ) )
9176, 82, 903eqtr4a 2529 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( x ( .r
`  A ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
921, 2, 71mendmulr 30733 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y  oF ( +g  `  M ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .r `  A ) ( y  oF ( +g  `  M
) z ) )  =  ( x  o.  ( y  oF ( +g  `  M
) z ) ) )
9312, 21, 92syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y  oF ( +g  `  M
) z ) )  =  ( x  o.  ( y  oF ( +g  `  M
) z ) ) )
9425oveq2d 6293 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( x ( .r
`  A ) ( y  oF ( +g  `  M ) z ) ) )
95 lmhmco 17467 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x  o.  z )  e.  ( M LMHom  M ) )
9612, 15, 95syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x  o.  z )  e.  ( M LMHom  M ) )
971, 2, 6, 7mendplusg 30731 . . . . 5  |-  ( ( ( x  o.  y
)  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
x  o.  z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
( x  o.  y
) ( +g  `  A
) ( x  o.  z ) )  =  ( ( x  o.  y )  oF ( +g  `  M
) ( x  o.  z ) ) )
9879, 96, 97syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o.  y ) ( +g  `  A
) ( x  o.  z ) )  =  ( ( x  o.  y )  oF ( +g  `  M
) ( x  o.  z ) ) )
991, 2, 71mendmulr 30733 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) z )  =  ( x  o.  z
) )
10012, 15, 99syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) z )  =  ( x  o.  z
) )
10177, 100oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .r `  A ) z ) )  =  ( ( x  o.  y ) ( +g  `  A ) ( x  o.  z ) ) )
102 lmghm 17455 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x  e.  ( M  GrpHom  M ) )
103 ghmmhm 16067 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M  GrpHom  M )  ->  x  e.  ( M MndHom  M ) )
10412, 102, 1033syl 20 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( M MndHom  M ) )
10531, 6, 6mhmvlin 18661 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( M MndHom  M )  /\  y  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) )  /\  z  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M )
) )  ->  (
x  o.  ( y  oF ( +g  `  M ) z ) )  =  ( ( x  o.  y )  oF ( +g  `  M ) ( x  o.  z ) ) )
106104, 40, 44, 105syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x  o.  ( y  oF ( +g  `  M
) z ) )  =  ( ( x  o.  y )  oF ( +g  `  M
) ( x  o.  z ) ) )
10798, 101, 1063eqtr4d 2513 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .r `  A ) z ) )  =  ( x  o.  (
y  oF ( +g  `  M ) z ) ) )
10893, 94, 1073eqtr4d 2513 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .r `  A ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( .r `  A
) z ) ) )
1091, 2, 71mendmulr 30733 . . . 4  |-  ( ( ( x  oF ( +g  `  M
) y )  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( x  oF ( +g  `  M ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  oF ( +g  `  M
) y )  o.  z ) )
11014, 15, 109syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  oF ( +g  `  M ) y ) ( .r
`  A ) z )  =  ( ( x  oF ( +g  `  M ) y )  o.  z
) )
11118oveq1d 6292 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( ( x  oF ( +g  `  M
) y ) ( .r `  A ) z ) )
1121, 2, 6, 7mendplusg 30731 . . . . 5  |-  ( ( ( x  o.  z
)  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y  o.  z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
( x  o.  z
) ( +g  `  A
) ( y  o.  z ) )  =  ( ( x  o.  z )  oF ( +g  `  M
) ( y  o.  z ) ) )
11396, 87, 112syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o.  z ) ( +g  `  A
) ( y  o.  z ) )  =  ( ( x  o.  z )  oF ( +g  `  M
) ( y  o.  z ) ) )
114100, 84oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( ( x  o.  z ) ( +g  `  A ) ( y  o.  z ) ) )
115 ffn 5724 . . . . . 6  |-  ( x : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
)  ->  x  Fn  ( Base `  M )
)
11612, 32, 1153syl 20 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  Fn  ( Base `  M )
)
117 ffn 5724 . . . . . 6  |-  ( y : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
)  ->  y  Fn  ( Base `  M )
)
11813, 37, 1173syl 20 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  Fn  ( Base `  M )
)
11934a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( Base `  M )  e.  _V )
120 inidm 3702 . . . . 5  |-  ( (
Base `  M )  i^i  ( Base `  M
) )  =  (
Base `  M )
121116, 118, 42, 119, 119, 119, 120ofco 6537 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  oF ( +g  `  M ) y )  o.  z
)  =  ( ( x  o.  z )  oF ( +g  `  M ) ( y  o.  z ) ) )
122113, 114, 1213eqtr4d 2513 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( ( x  oF ( +g  `  M
) y )  o.  z ) )
123110, 111, 1223eqtr4d 2513 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( ( x ( .r
`  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
12431idlmhm 17465 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  (  _I  |`  ( Base `  M
) )  e.  ( M LMHom  M ) )
1251, 2, 71mendmulr 30733 . . . 4  |-  ( ( (  _I  |`  ( Base `  M ) )  e.  ( M LMHom  M
)  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) ) ( .r
`  A ) x )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  M ) )  o.  x ) )
126124, 125sylan 471 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) ) ( .r
`  A ) x )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  M ) )  o.  x ) )
12732adantl 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  x :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
128 fcoi2 5753 . . . 4  |-  ( x : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) )  o.  x
)  =  x )
129127, 128syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) )  o.  x
)  =  x )
130126, 129eqtrd 2503 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) ) ( .r
`  A ) x )  =  x )
131 id 22 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x  e.  ( M LMHom  M ) )
1321, 2, 71mendmulr 30733 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (  _I  |`  ( Base `  M
) )  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .r `  A ) (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  ( x  o.  (  _I  |`  ( Base `  M ) ) ) )
133131, 124, 132syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  ( x  o.  (  _I  |`  ( Base `  M ) ) ) )
134 fcoi1 5752 . . . 4  |-  ( x : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
)  ->  ( x  o.  (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  x )
135127, 134syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x  o.  (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  x )
136133, 135eqtrd 2503 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  x )
1373, 4, 5, 70, 75, 91, 108, 123, 124, 130, 136isrngd 17015 1  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   {csn 4022    _I cid 4785    X. cxp 4992    |` cres 4996    o. ccom 4998    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    oFcof 6515    ^m cmap 7412   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   .rcmulr 14547  Scalarcsca 14549   0gc0g 14686   Mndcmnd 15717   Grpcgrp 15718   invgcminusg 15719   MndHom cmhm 15770    GrpHom cghm 16054   Ringcrg 16981   LModclmod 17290   LMHom clmhm 17443  MEndocmend 30720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-ghm 16055  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-lmod 17292  df-lmhm 17446  df-mend 30721
This theorem is referenced by:  mendlmod  30738  mendassa  30739
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