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Theorem mendring 36129
Description: The module endomorphism algebra is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mendassa.a |- A = (MEndo ` M )
Assertion
Ref Expression
mendring |- ( M e. LMod -> A e. Ring )
Proof of Theorem mendring
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4 |- A = (MEndo ` M )
21mendbas 36121 . . 3 |- ( M LMHom M ) = ( Base ` A )
32a1i 11 . 2 |- ( M e. LMod -> ( M LMHom M ) = ( Base ` A ) )
4 eqidd 2472 . 2 |- ( M e. LMod -> ( +g ` A ) = ( +g ` A ) )
5 eqidd 2472 . 2 |- ( M e. LMod -> ( .r ` A ) = ( .r ` A ) )
6 eqid 2471 . . . . . 6 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
7 eqid 2471 . . . . . 6 |- ( +g ` A ) = ( +g ` A )
81, 2, 6, 7mendplusg 36123 . . . . 5 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( +g ` A ) y ) = ( x oF ( +g ` M ) y ) )
96lmhmplusg 18345 . . . . 5 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x oF ( +g ` M ) y ) e. ( M LMHom M ) )
108, 9eqeltrd 2549 . . . 4 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( +g ` A ) y ) e. ( M LMHom M ) )
11103adant1 1048 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( +g ` A ) y ) e. ( M LMHom M ) )
12 simpr1 1036 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> x e. ( M LMHom M ) )
13 simpr2 1037 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> y e. ( M LMHom M ) )
1412, 13, 9syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x oF ( +g ` M ) y ) e. ( M LMHom M ) )
15 simpr3 1038 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> z e. ( M LMHom M ) )
161, 2, 6, 7mendplusg 36123 . . . . 5 |- ( ( ( x oF ( +g ` M ) y ) e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( x oF ( +g ` M ) y ) ( +g ` A ) z ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) oF ( +g ` M ) z ) )
1714, 15, 16syl2anc 673 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x oF ( +g ` M ) y ) ( +g ` A ) z ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) oF ( +g ` M ) z ) )
1812, 13, 8syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( +g ` A ) y ) = ( x oF ( +g ` M ) y ) )
1918oveq1d 6323 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( +g ` A ) y ) ( +g ` A ) z ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) ( +g ` A ) z ) )
206lmhmplusg 18345 . . . . . . 7 |- ( ( y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( y oF ( +g ` M ) z ) e. ( M LMHom M ) )
2113, 15, 20syl2anc 673 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( y oF ( +g ` M ) z ) e. ( M LMHom M ) )
221, 2, 6, 7mendplusg 36123 . . . . . 6 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ ( y oF ( +g ` M ) z ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( +g ` A ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) = ( x oF ( +g ` M ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
2312, 21, 22syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( +g ` A ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) = ( x oF ( +g ` M ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
241, 2, 6, 7mendplusg 36123 . . . . . . 7 |- ( ( y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( y ( +g ` A ) z ) = ( y oF ( +g ` M ) z ) )
2513, 15, 24syl2anc 673 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( y ( +g ` A ) z ) = ( y oF ( +g ` M ) z ) )
2625oveq2d 6324 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( +g ` A ) ( y ( +g ` A ) z ) ) = ( x ( +g ` A ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
27 lmodgrp 18176 . . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> M e. Grp )
28 grpmnd 16756 . . . . . . . 8 |- ( M e. Grp -> M e. Mnd )
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 |- ( M e. LMod -> M e. Mnd )
3029adantr 472 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> M e. Mnd )
31 eqid 2471 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
3231, 31lmhmf 18335 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( M LMHom M ) -> x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
3312, 32syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
34 fvex 5889 . . . . . . . 8 |- ( Base ` M ) e. _V
3534, 34elmap 7518 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) <-> x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
3633, 35sylibr 217 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> x e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) )
3731, 31lmhmf 18335 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( M LMHom M ) -> y : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
3813, 37syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> y : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
3934, 34elmap 7518 . . . . . . 7 |- ( y e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) <-> y : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
4038, 39sylibr 217 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> y e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) )
4131, 31lmhmf 18335 . . . . . . . 8 |- ( z e. ( M LMHom M ) -> z : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
4215, 41syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> z : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
4334, 34elmap 7518 . . . . . . 7 |- ( z e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) <-> z : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
4442, 43sylibr 217 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> z e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) )
4531, 6mndvass 19494 . . . . . 6 |- ( ( M e. Mnd /\ ( x e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) /\ y e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) /\ z e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) ) ) -> ( ( x oF ( +g ` M ) y ) oF ( +g ` M ) z ) = ( x oF ( +g ` M ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
4630, 36, 40, 44, 45syl13anc 1294 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x oF ( +g ` M ) y ) oF ( +g ` M ) z ) = ( x oF ( +g ` M ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
4723, 26, 463eqtr4d 2515 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( +g ` A ) ( y ( +g ` A ) z ) ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) oF ( +g ` M ) z ) )
4817, 19, 473eqtr4d 2515 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( +g ` A ) y ) ( +g ` A ) z ) = ( x ( +g ` A ) ( y ( +g ` A ) z ) ) )
49 id 22 . . . 4 |- ( M e. LMod -> M e. LMod )
50 eqidd 2472 . . . 4 |- ( M e. LMod -> (Scalar ` M ) = (Scalar ` M ) )
51 eqid 2471 . . . . 5 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
52 eqid 2471 . . . . 5 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
5351, 31, 52, 520lmhm 18341 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ M e. LMod /\ (Scalar ` M ) = (Scalar ` M ) ) -> ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) e. ( M LMHom M ) )
5449, 49, 50, 53syl3anc 1292 . . 3 |- ( M e. LMod -> ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) e. ( M LMHom M ) )
551, 2, 6, 7mendplusg 36123 . . . . 5 |- ( ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) e. ( M LMHom M ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) ( +g ` A ) x ) = ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) oF ( +g ` M ) x ) )
5654, 55sylan 479 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) ( +g ` A ) x ) = ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) oF ( +g ` M ) x ) )
5732, 35sylibr 217 . . . . 5 |- ( x e. ( M LMHom M ) -> x e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) )
5831, 6, 51mndvlid 19495 . . . . 5 |- ( ( M e. Mnd /\ x e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) oF ( +g ` M ) x ) = x )
5929, 57, 58syl2an 485 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) oF ( +g ` M ) x ) = x )
6056, 59eqtrd 2505 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) ( +g ` A ) x ) = x )
61 eqid 2471 . . . . 5 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
6261invlmhm 18343 . . . 4 |- ( M e. LMod -> ( invg ` M ) e. ( M LMHom M ) )
63 lmhmco 18344 . . . 4 |- ( ( ( invg ` M ) e. ( M LMHom M ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( invg ` M ) o. x ) e. ( M LMHom M ) )
6462, 63sylan 479 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( invg ` M ) o. x ) e. ( M LMHom M ) )
651, 2, 6, 7mendplusg 36123 . . . . 5 |- ( ( ( ( invg ` M ) o. x ) e. ( M LMHom M ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( invg ` M ) o. x ) ( +g ` A ) x ) = ( ( ( invg ` M ) o. x ) oF ( +g ` M ) x ) )
6664, 65sylancom 680 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( invg ` M ) o. x ) ( +g ` A ) x ) = ( ( ( invg ` M ) o. x ) oF ( +g ` M ) x ) )
6731, 6, 61, 51grpvlinv 19497 . . . . 5 |- ( ( M e. Grp /\ x e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) ) -> ( ( ( invg ` M ) o. x ) oF ( +g ` M ) x ) = ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) )
6827, 57, 67syl2an 485 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( invg ` M ) o. x ) oF ( +g ` M ) x ) = ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) )
6966, 68eqtrd 2505 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( invg ` M ) o. x ) ( +g ` A ) x ) = ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) )
703, 4, 11, 48, 54, 60, 64, 69isgrpd 16769 . 2 |- ( M e. LMod -> A e. Grp )
71 eqid 2471 . . . . 5 |- ( .r ` A ) = ( .r ` A )
721, 2, 71mendmulr 36125 . . . 4 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) y ) = ( x o. y ) )
73 lmhmco 18344 . . . 4 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x o. y ) e. ( M LMHom M ) )
7472, 73eqeltrd 2549 . . 3 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) y ) e. ( M LMHom M ) )
75743adant1 1048 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) y ) e. ( M LMHom M ) )
76 coass 5361 . . 3 |- ( ( x o. y ) o. z ) = ( x o. ( y o. z ) )
7712, 13, 72syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) y ) = ( x o. y ) )
7877oveq1d 6323 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` A ) y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x o. y ) ( .r ` A ) z ) )
7912, 13, 73syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x o. y ) e. ( M LMHom M ) )
801, 2, 71mendmulr 36125 . . . . 5 |- ( ( ( x o. y ) e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( x o. y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x o. y ) o. z ) )
8179, 15, 80syl2anc 673 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x o. y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x o. y ) o. z ) )
8278, 81eqtrd 2505 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` A ) y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x o. y ) o. z ) )
831, 2, 71mendmulr 36125 . . . . . 6 |- ( ( y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( y ( .r ` A ) z ) = ( y o. z ) )
8413, 15, 83syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( y ( .r ` A ) z ) = ( y o. z ) )
8584oveq2d 6324 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y ( .r ` A ) z ) ) = ( x ( .r ` A ) ( y o. z ) ) )
86 lmhmco 18344 . . . . . 6 |- ( ( y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( y o. z ) e. ( M LMHom M ) )
8713, 15, 86syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( y o. z ) e. ( M LMHom M ) )
881, 2, 71mendmulr 36125 . . . . 5 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ ( y o. z ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y o. z ) ) = ( x o. ( y o. z ) ) )
8912, 87, 88syl2anc 673 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y o. z ) ) = ( x o. ( y o. z ) ) )
9085, 89eqtrd 2505 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y ( .r ` A ) z ) ) = ( x o. ( y o. z ) ) )
9176, 82, 903eqtr4a 2531 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` A ) y ) ( .r ` A ) z ) = ( x ( .r ` A ) ( y ( .r ` A ) z ) ) )
921, 2, 71mendmulr 36125 . . . 4 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ ( y oF ( +g ` M ) z ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) = ( x o. ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
9312, 21, 92syl2anc 673 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) = ( x o. ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
9425oveq2d 6324 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y ( +g ` A ) z ) ) = ( x ( .r ` A ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
95 lmhmco 18344 . . . . . 6 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( x o. z ) e. ( M LMHom M ) )
9612, 15, 95syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x o. z ) e. ( M LMHom M ) )
971, 2, 6, 7mendplusg 36123 . . . . 5 |- ( ( ( x o. y ) e. ( M LMHom M ) /\ ( x o. z ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( x o. y ) ( +g ` A ) ( x o. z ) ) = ( ( x o. y ) oF ( +g ` M ) ( x o. z ) ) )
9879, 96, 97syl2anc 673 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x o. y ) ( +g ` A ) ( x o. z ) ) = ( ( x o. y ) oF ( +g ` M ) ( x o. z ) ) )
991, 2, 71mendmulr 36125 . . . . . 6 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) z ) = ( x o. z ) )
10012, 15, 99syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) z ) = ( x o. z ) )
10177, 100oveq12d 6326 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` A ) y ) ( +g ` A ) ( x ( .r ` A ) z ) ) = ( ( x o. y ) ( +g ` A ) ( x o. z ) ) )
102 lmghm 18332 . . . . . 6 |- ( x e. ( M LMHom M ) -> x e. ( M GrpHom M ) )
103 ghmmhm 16971 . . . . . 6 |- ( x e. ( M GrpHom M ) -> x e. ( M MndHom M ) )
10412, 102, 1033syl 18 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> x e. ( M MndHom M ) )
10531, 6, 6mhmvlin 19499 . . . . 5 |- ( ( x e. ( M MndHom M ) /\ y e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) /\ z e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) ) -> ( x o. ( y oF ( +g ` M ) z ) ) = ( ( x o. y ) oF ( +g ` M ) ( x o. z ) ) )
106104, 40, 44, 105syl3anc 1292 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x o. ( y oF ( +g ` M ) z ) ) = ( ( x o. y ) oF ( +g ` M ) ( x o. z ) ) )
10798, 101, 1063eqtr4d 2515 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` A ) y ) ( +g ` A ) ( x ( .r ` A ) z ) ) = ( x o. ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
10893, 94, 1073eqtr4d 2515 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y ( +g ` A ) z ) ) = ( ( x ( .r ` A ) y ) ( +g ` A ) ( x ( .r ` A ) z ) ) )
1091, 2, 71mendmulr 36125 . . . 4 |- ( ( ( x oF ( +g ` M ) y ) e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( x oF ( +g ` M ) y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) o. z ) )
11014, 15, 109syl2anc 673 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x oF ( +g ` M ) y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) o. z ) )
11118oveq1d 6323 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( +g ` A ) y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) ( .r ` A ) z ) )
1121, 2, 6, 7mendplusg 36123 . . . . 5 |- ( ( ( x o. z ) e. ( M LMHom M ) /\ ( y o. z ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( x o. z ) ( +g ` A ) ( y o. z ) ) = ( ( x o. z ) oF ( +g ` M ) ( y o. z ) ) )
11396, 87, 112syl2anc 673 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x o. z ) ( +g ` A ) ( y o. z ) ) = ( ( x o. z ) oF ( +g ` M ) ( y o. z ) ) )
114100, 84oveq12d 6326 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` A ) z ) ( +g ` A ) ( y ( .r ` A ) z ) ) = ( ( x o. z ) ( +g ` A ) ( y o. z ) ) )
115 ffn 5739 . . . . . 6 |- ( x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) -> x Fn ( Base ` M ) )
11612, 32, 1153syl 18 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> x Fn ( Base ` M ) )
117 ffn 5739 . . . . . 6 |- ( y : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) -> y Fn ( Base ` M ) )
11813, 37, 1173syl 18 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> y Fn ( Base ` M ) )
11934a1i 11 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( Base ` M ) e. _V )
120 inidm 3632 . . . . 5 |- ( ( Base ` M ) i^i ( Base ` M ) ) = ( Base ` M )
121116, 118, 42, 119, 119, 119, 120ofco 6570 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x oF ( +g ` M ) y ) o. z ) = ( ( x o. z ) oF ( +g ` M ) ( y o. z ) ) )
122113, 114, 1213eqtr4d 2515 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` A ) z ) ( +g ` A ) ( y ( .r ` A ) z ) ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) o. z ) )
123110, 111, 1223eqtr4d 2515 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( +g ` A ) y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x ( .r ` A ) z ) ( +g ` A ) ( y ( .r ` A ) z ) ) )
12431idlmhm 18342 . 2 |- ( M e. LMod -> ( _I |` ( Base ` M ) ) e. ( M LMHom M ) )
1251, 2, 71mendmulr 36125 . . . 4 |- ( ( ( _I |` ( Base ` M ) ) e. ( M LMHom M ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` M ) ) ( .r ` A ) x ) = ( ( _I |` ( Base ` M ) ) o. x ) )
126124, 125sylan 479 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` M ) ) ( .r ` A ) x ) = ( ( _I |` ( Base ` M ) ) o. x ) )
12732adantl 473 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
128 fcoi2 5770 . . . 4 |- ( x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) -> ( ( _I |` ( Base ` M ) ) o. x ) = x )
129127, 128syl 17 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` M ) ) o. x ) = x )
130126, 129eqtrd 2505 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` M ) ) ( .r ` A ) x ) = x )
131 id 22 . . . 4 |- ( x e. ( M LMHom M ) -> x e. ( M LMHom M ) )
1321, 2, 71mendmulr 36125 . . . 4 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ ( _I |` ( Base ` M ) ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( _I |` ( Base ` M ) ) ) = ( x o. ( _I |` ( Base ` M ) ) ) )
133131, 124, 132syl2anr 486 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( _I |` ( Base ` M ) ) ) = ( x o. ( _I |` ( Base ` M ) ) ) )
134 fcoi1 5769 . . . 4 |- ( x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) -> ( x o. ( _I |` ( Base ` M ) ) ) = x )
135127, 134syl 17 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( x o. ( _I |` ( Base ` M ) ) ) = x )
136133, 135eqtrd 2505 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( _I |` ( Base ` M ) ) ) = x )
1373, 4, 5, 70, 75, 91, 108, 123, 124, 130, 136isringd 17893 1 |- ( M e. LMod -> A e. Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   {csn 3959   _I cid 4749   X. cxp 4837   |` cres 4841   o. ccom 4843   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   oFcof 6548   ^m cmap 7490   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   .rcmulr 15269  Scalarcsca 15271   0gc0g 15416   Mndcmnd 16613   MndHom cmhm 16658   Grpcgrp 16747   invgcminusg 16748   GrpHom cghm 16958   Ringcrg 17858   LModclmod 18169   LMHom clmhm 18320  MEndocmend 36112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-ghm 16959  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-lmod 18171  df-lmhm 18323  df-mend 36113
This theorem is referenced by:  mendlmod  36130  mendassa  36131
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