Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendplusgfval Structured version   Unicode version

Theorem mendplusgfval 29545
Description: Addition in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendplusgfval.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendplusgfval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mendplusgfval.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
mendplusgfval  |-  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, M, y    x,  .+ , y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem mendplusgfval
StepHypRef Expression
1 mendplusgfval.a . . . . 5  |-  A  =  (MEndo `  M )
2 mendplusgfval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
31mendbas 29544 . . . . . . 7  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
42, 3eqtr4i 2466 . . . . . 6  |-  B  =  ( M LMHom  M )
5 mendplusgfval.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  M )
6 ofeq 6325 . . . . . . . . . 10  |-  (  .+  =  ( +g  `  M
)  ->  oF  .+  =  oF
( +g  `  M ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  oF  .+  =  oF ( +g  `  M
)
87oveqi 6107 . . . . . . . 8  |-  ( x  oF  .+  y
)  =  ( x  oF ( +g  `  M ) y )
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  oF  .+  y )  =  ( x  oF ( +g  `  M
) y ) )
109mpt2eq3ia 6154 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y
) )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M ) y ) )
11 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) )
12 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
13 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )  =  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
144, 10, 11, 12, 13mendval 29543 . . . . 5  |-  ( M  e.  _V  ->  (MEndo `  M )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
>. } ) )
151, 14syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( M  e.  _V  ->  A  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
>. } ) )
1615fveq2d 5698 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
>. } ) ) )
17 fvex 5704 . . . . . 6  |-  ( Base `  A )  e.  _V
182, 17eqeltri 2513 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
1918, 18mpt2ex 6653 . . . 4  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y
) )  e.  _V
20 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
>. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
>. } )
2120algaddg 29539 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )  e. 
_V  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
>. } ) ) )
2219, 21mp1i 12 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
>. } ) ) )
2316, 22eqtr4d 2478 . 2  |-  ( M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) ) )
24 fvprc 5688 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (MEndo `  M )  =  (/) )
251, 24syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  A  =  (/) )
2625fveq2d 5698 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  (/) ) )
27 df-plusg 14254 . . . . 5  |-  +g  = Slot  2
2827str0 14215 . . . 4  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
2926, 28syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  (/) )
3025fveq2d 5698 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (
Base `  A )  =  ( Base `  (/) ) )
31 base0 14216 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
3230, 2, 313eqtr4g 2500 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  B  =  (/) )
33 mpt2eq12 6149 . . . . . 6  |-  ( ( B  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  oF  .+  y
) ) )
3433anidms 645 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y
) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  oF  .+  y ) ) )
3532, 34syl 16 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  oF  .+  y
) ) )
36 mpt20 6159 . . . 4  |-  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  oF  .+  y ) )  =  (/)
3735, 36syl6eq 2491 . . 3  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )  =  (/) )
3829, 37eqtr4d 2478 . 2  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) ) )
3923, 38pm2.61i 164 1  |-  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2975    u. cun 3329   (/)c0 3640   {csn 3880   {cpr 3882   {ctp 3884   <.cop 3886    X. cxp 4841    o. ccom 4847   ` cfv 5421  (class class class)co 6094    e. cmpt2 6096    oFcof 6321   2c2 10374   ndxcnx 14174   Basecbs 14177   +g cplusg 14241   .rcmulr 14242  Scalarcsca 14244   .scvsca 14245   LMHom clmhm 17103  MEndocmend 29535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-fz 11441  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-lmhm 17106  df-mend 29536
This theorem is referenced by:  mendplusg  29546
  Copyright terms: Public domain W3C validator