Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendplusgfval Structured version   Unicode version

Theorem mendplusgfval 29467
Description: Addition in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendplusgfval.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendplusgfval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mendplusgfval.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
mendplusgfval  |-  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, M, y    x,  .+ , y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem mendplusgfval
StepHypRef Expression
1 mendplusgfval.a . . . . 5  |-  A  =  (MEndo `  M )
2 mendplusgfval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
31mendbas 29466 . . . . . . 7  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
42, 3eqtr4i 2464 . . . . . 6  |-  B  =  ( M LMHom  M )
5 mendplusgfval.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  M )
6 ofeq 6321 . . . . . . . . . 10  |-  (  .+  =  ( +g  `  M
)  ->  oF  .+  =  oF
( +g  `  M ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  oF  .+  =  oF ( +g  `  M
)
87oveqi 6103 . . . . . . . 8  |-  ( x  oF  .+  y
)  =  ( x  oF ( +g  `  M ) y )
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  oF  .+  y )  =  ( x  oF ( +g  `  M
) y ) )
109mpt2eq3ia 6150 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y
) )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF ( +g  `  M ) y ) )
11 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) )
12 eqid 2441 . . . . . 6  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
13 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )  =  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
144, 10, 11, 12, 13mendval 29465 . . . . 5  |-  ( M  e.  _V  ->  (MEndo `  M )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
>. } ) )
151, 14syl5eq 2485 . . . 4  |-  ( M  e.  _V  ->  A  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
>. } ) )
1615fveq2d 5692 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
>. } ) ) )
17 fvex 5698 . . . . . 6  |-  ( Base `  A )  e.  _V
182, 17eqeltri 2511 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
1918, 18mpt2ex 6649 . . . 4  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y
) )  e.  _V
20 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
>. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
>. } )
2120algaddg 29461 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )  e. 
_V  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
>. } ) ) )
2219, 21mp1i 12 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y ) )
>. } ) ) )
2316, 22eqtr4d 2476 . 2  |-  ( M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) ) )
24 fvprc 5682 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (MEndo `  M )  =  (/) )
251, 24syl5eq 2485 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  A  =  (/) )
2625fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  (/) ) )
27 df-plusg 14247 . . . . 5  |-  +g  = Slot  2
2827str0 14208 . . . 4  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
2926, 28syl6eqr 2491 . . 3  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  (/) )
3025fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (
Base `  A )  =  ( Base `  (/) ) )
31 base0 14209 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
3230, 2, 313eqtr4g 2498 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  B  =  (/) )
33 mpt2eq12 6145 . . . . . 6  |-  ( ( B  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  oF  .+  y
) ) )
3433anidms 640 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y
) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  oF  .+  y ) ) )
3532, 34syl 16 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  oF  .+  y
) ) )
36 mpt20 6155 . . . 4  |-  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  oF  .+  y ) )  =  (/)
3735, 36syl6eq 2489 . . 3  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )  =  (/) )
3829, 37eqtr4d 2476 . 2  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) ) )
3923, 38pm2.61i 164 1  |-  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  oF  .+  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    u. cun 3323   (/)c0 3634   {csn 3874   {cpr 3876   {ctp 3878   <.cop 3880    X. cxp 4834    o. ccom 4840   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092    oFcof 6317   2c2 10367   ndxcnx 14167   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   LMHom clmhm 17078  MEndocmend 29457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-lmhm 17081  df-mend 29458
This theorem is referenced by:  mendplusg  29468
  Copyright terms: Public domain W3C validator