Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendmulrfval Unicode version

Theorem mendmulrfval 27363
 Description: Multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendmulrfval.a MEndo
mendmulrfval.b
Assertion
Ref Expression
mendmulrfval
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem mendmulrfval
StepHypRef Expression
1 mendmulrfval.a . . . . 5 MEndo
2 mendmulrfval.b . . . . . . 7
31mendbas 27360 . . . . . . 7 LMHom
42, 3eqtr4i 2427 . . . . . 6 LMHom
5 eqid 2404 . . . . . 6
6 eqid 2404 . . . . . 6
7 eqid 2404 . . . . . 6 Scalar Scalar
8 eqid 2404 . . . . . 6 Scalar Scalar
94, 5, 6, 7, 8mendval 27359 . . . . 5 MEndo Scalar Scalar Scalar
101, 9syl5eq 2448 . . . 4 Scalar Scalar Scalar
1110fveq2d 5691 . . 3 Scalar Scalar Scalar
12 fvex 5701 . . . . . 6
132, 12eqeltri 2474 . . . . 5
1413, 13mpt2ex 6384 . . . 4
15 eqid 2404 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
1615algmulr 13556 . . . 4 Scalar Scalar Scalar
1714, 16mp1i 12 . . 3 Scalar Scalar Scalar
1811, 17eqtr4d 2439 . 2
19 fvprc 5681 . . . . . 6 MEndo
201, 19syl5eq 2448 . . . . 5
2120fveq2d 5691 . . . 4
22 df-mulr 13498 . . . . 5 Slot
2322str0 13460 . . . 4
2421, 23syl6eqr 2454 . . 3
2520fveq2d 5691 . . . . . . 7
262, 25syl5eq 2448 . . . . . 6
27 base0 13461 . . . . . 6
2826, 27syl6eqr 2454 . . . . 5
29 mpt2eq12 6093 . . . . . 6
3029anidms 627 . . . . 5
3128, 30syl 16 . . . 4
32 mpt20 6386 . . . 4
3331, 32syl6eq 2452 . . 3
3424, 33eqtr4d 2439 . 2
3518, 34pm2.61i 158 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wceq 1649   wcel 1721  cvv 2916   cun 3278  c0 3588  csn 3774  cpr 3775  ctp 3776  cop 3777   cxp 4835   ccom 4841  cfv 5413  (class class class)co 6040   cmpt2 6042   cof 6262  c3 10006  cnx 13421  cbs 13424   cplusg 13484  cmulr 13485  Scalarcsca 13487  cvsca 13488   LMHom clmhm 16050  MEndocmend 27357 This theorem is referenced by:  mendmulr  27364 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-lmhm 16053  df-mend 27358
 Copyright terms: Public domain W3C validator