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Theorem mendlmod 31310
Description: The module endomorphism algebra is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendassa.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendassa.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
Assertion
Ref Expression
mendlmod  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  LMod )

Proof of Theorem mendlmod
Dummy variables  x  y  z  u  k 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4  |-  A  =  (MEndo `  M )
21mendbas 31301 . . 3  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( M LMHom  M )  =  (
Base `  A )
)
4 eqidd 2383 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A
) )
5 mendassa.s . . . 4  |-  S  =  (Scalar `  M )
61, 5mendsca 31306 . . 3  |-  S  =  (Scalar `  A )
76a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  =  (Scalar `  A )
)
8 eqidd 2383 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .s `  A )  =  ( .s `  A
) )
9 eqidd 2383 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( Base `  S )  =  ( Base `  S
) )
10 eqidd 2383 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S
) )
11 eqidd 2383 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .r `  S )  =  ( .r `  S
) )
12 eqidd 2383 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( 1r `  S )  =  ( 1r `  S
) )
13 crngring 17322 . . 3  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
1413adantl 464 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  e.  Ring )
151mendring 31309 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Ring )
1615adantr 463 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  Ring )
17 ringgrp 17316 . . 3  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  e. 
Grp )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  Grp )
19 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
20 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
21 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
22 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
231, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 31308 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) y )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  oF ( .s `  M ) y ) )
24233adant1 1012 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) y )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  oF ( .s `  M ) y ) )
2521, 19, 5, 20lmhmvsca 17804 . . . 4  |-  ( ( S  e.  CRing  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) y )  e.  ( M LMHom 
M ) )
26253adant1l 1218 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) y )  e.  ( M LMHom 
M ) )
2724, 26eqeltrd 2470 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
28 simpr2 1001 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( M LMHom  M ) )
29 simpr3 1002 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( M LMHom  M ) )
30 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
31 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A )
321, 2, 30, 31mendplusg 31303 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  =  ( y  oF ( +g  `  M ) z ) )
3328, 29, 32syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( +g  `  A
) z )  =  ( y  oF ( +g  `  M
) z ) )
3433oveq2d 6212 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  oF ( .s `  M ) ( y  oF ( +g  `  M ) z ) ) )
35 simpr1 1000 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
3618adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  A  e.  Grp )
372, 31grpcl 16180 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Grp  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
3836, 28, 29, 37syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( +g  `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
391, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 31308 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  (
y ( +g  `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  oF ( .s `  M ) ( y ( +g  `  A
) z ) ) )
4035, 38, 39syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( +g  `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) ( y ( +g  `  A
) z ) ) )
4135, 28, 23syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) y ) )
421, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 31308 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  oF ( .s `  M ) z ) )
4335, 29, 42syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) z ) )
4441, 43oveq12d 6214 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  oF ( +g  `  M ) ( x ( .s
`  A ) z ) )  =  ( ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  oF ( .s `  M ) y )  oF ( +g  `  M ) ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) z ) ) )
45273adant3r3 1205 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M
) )
46 eleq1 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( M LMHom 
M )  <->  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )
47463anbi3d 1303 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  (
Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  <->  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) ) )
48 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( x ( .s `  A ) z ) )
4948eleq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  e.  ( M LMHom 
M )  <->  ( x
( .s `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) ) )
5047, 49imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )  <-> 
( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) ) ) )
5150, 27chvarv 2021 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
52513adant3r2 1204 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
531, 2, 30, 31mendplusg 31303 . . . . 5  |-  ( ( ( x ( .s
`  A ) y )  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A ) y )  oF ( +g  `  M
) ( x ( .s `  A ) z ) ) )
5445, 52, 53syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A ) y )  oF ( +g  `  M
) ( x ( .s `  A ) z ) ) )
55 fvex 5784 . . . . . 6  |-  ( Base `  M )  e.  _V
5655a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
57 fconst6g 5682 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  ( ( Base `  M )  X. 
{ x } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
5835, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
5921, 21lmhmf 17793 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( M LMHom  M
)  ->  y :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
6028, 59syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
6121, 21lmhmf 17793 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( M LMHom  M
)  ->  z :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
6229, 61syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
63 simpll 751 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  M  e.  LMod )
6421, 30, 5, 19, 20lmodvsdi 17648 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
w  e.  ( Base `  S )  /\  v  e.  ( Base `  M
)  /\  u  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
w ( .s `  M ) ( v ( +g  `  M
) u ) )  =  ( ( w ( .s `  M
) v ) ( +g  `  M ) ( w ( .s
`  M ) u ) ) )
6563, 64sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  ( w  e.  ( Base `  S )  /\  v  e.  ( Base `  M )  /\  u  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( w ( .s
`  M ) ( v ( +g  `  M
) u ) )  =  ( ( w ( .s `  M
) v ) ( +g  `  M ) ( w ( .s
`  M ) u ) ) )
6656, 58, 60, 62, 65caofdi 6475 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) ( y  oF ( +g  `  M
) z ) )  =  ( ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y )  oF ( +g  `  M
) ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) z ) ) )
6744, 54, 663eqtr4d 2433 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  oF ( .s `  M ) ( y  oF ( +g  `  M ) z ) ) )
6834, 40, 673eqtr4d 2433 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( +g  `  A
) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A
) y ) ( +g  `  A ) ( x ( .s
`  A ) z ) ) )
6955a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
70 simpr3 1002 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( M LMHom  M ) )
7170, 61syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
72 simpr1 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
7372, 57syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
74 simpr2 1001 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  S
) )
75 fconst6g 5682 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( Base `  S
)  ->  ( ( Base `  M )  X. 
{ y } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
7674, 75syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { y } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
77 simpll 751 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  M  e.  LMod )
78 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
7921, 30, 5, 19, 20, 78lmodvsdir 17649 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
w  e.  ( Base `  S )  /\  v  e.  ( Base `  S
)  /\  u  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( w ( +g  `  S ) v ) ( .s `  M
) u )  =  ( ( w ( .s `  M ) u ) ( +g  `  M ) ( v ( .s `  M
) u ) ) )
8077, 79sylan 469 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  ( w  e.  ( Base `  S
)  /\  v  e.  ( Base `  S )  /\  u  e.  ( Base `  M ) ) )  ->  ( (
w ( +g  `  S
) v ) ( .s `  M ) u )  =  ( ( w ( .s
`  M ) u ) ( +g  `  M
) ( v ( .s `  M ) u ) ) )
8169, 71, 73, 76, 80caofdir 6476 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  oF ( +g  `  S
) ( ( Base `  M )  X.  {
y } ) )  oF ( .s
`  M ) z )  =  ( ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) z )  oF ( +g  `  M
) ( ( (
Base `  M )  X.  { y } )  oF ( .s
`  M ) z ) ) )
8214adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  S  e.  Ring )
8320, 78ringacl 17339 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( x
( +g  `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
8482, 72, 74, 83syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( +g  `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
851, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 31308 . . . . 5  |-  ( ( ( x ( +g  `  S ) y )  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( x ( +g  `  S
) y ) ( .s `  A ) z )  =  ( ( ( Base `  M
)  X.  { ( x ( +g  `  S
) y ) } )  oF ( .s `  M ) z ) )
8684, 70, 85syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( +g  `  S ) y ) ( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
( x ( +g  `  S ) y ) } )  oF ( .s `  M
) z ) )
8769, 72, 74ofc12 6464 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( +g  `  S
) ( ( Base `  M )  X.  {
y } ) )  =  ( ( Base `  M )  X.  {
( x ( +g  `  S ) y ) } ) )
8887oveq1d 6211 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  oF ( +g  `  S
) ( ( Base `  M )  X.  {
y } ) )  oF ( .s
`  M ) z )  =  ( ( ( Base `  M
)  X.  { ( x ( +g  `  S
) y ) } )  oF ( .s `  M ) z ) )
8986, 88eqtr4d 2426 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( +g  `  S ) y ) ( .s `  A
) z )  =  ( ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( +g  `  S ) ( (
Base `  M )  X.  { y } ) )  oF ( .s `  M ) z ) )
90513adant3r2 1204 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
91 eleq1 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( Base `  S )  <->  y  e.  ( Base `  S )
) )
92913anbi2d 1302 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  (
Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  <->  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  y  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) ) )
93 oveq1 6203 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( y ( .s `  A ) z ) )
9493eleq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( .s
`  A ) z )  e.  ( M LMHom 
M )  <->  ( y
( .s `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) ) )
9592, 94imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )  <-> 
( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
CRing )  /\  y  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) ) ) )
9695, 51chvarv 2021 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( .s `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
97963adant3r1 1203 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
981, 2, 30, 31mendplusg 31303 . . . . 5  |-  ( ( ( x ( .s
`  A ) z )  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A ) z )  oF ( +g  `  M
) ( y ( .s `  A ) z ) ) )
9990, 97, 98syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A ) z )  oF ( +g  `  M
) ( y ( .s `  A ) z ) ) )
10072, 70, 42syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) z ) )
1011, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 31308 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
y } )  oF ( .s `  M ) z ) )
10274, 70, 101syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { y } )  oF ( .s
`  M ) z ) )
103100, 102oveq12d 6214 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) z )  oF ( +g  `  M ) ( y ( .s
`  A ) z ) )  =  ( ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  oF ( .s `  M ) z )  oF ( +g  `  M ) ( ( ( Base `  M
)  X.  { y } )  oF ( .s `  M
) z ) ) )
10499, 103eqtrd 2423 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) z )  oF ( +g  `  M ) ( ( ( Base `  M )  X.  {
y } )  oF ( .s `  M ) z ) ) )
10581, 89, 1043eqtr4d 2433 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( +g  `  S ) y ) ( .s `  A
) z )  =  ( ( x ( .s `  A ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( .s `  A
) z ) ) )
106 ovex 6224 . . . . 5  |-  ( x ( .r `  S
) y )  e. 
_V
107106a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( x
( .r `  S
) y )  e. 
_V )
10871ffvelrnda 5933 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( z `  k )  e.  (
Base `  M )
)
109 fconstmpt 4957 . . . . 5  |-  ( (
Base `  M )  X.  { ( x ( .r `  S ) y ) } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .r `  S ) y ) )
110109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { ( x ( .r `  S ) y ) } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .r `  S ) y ) ) )
11171feqmptd 5827 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( z `  k ) ) )
11269, 107, 108, 110, 111offval2 6455 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { ( x ( .r `  S ) y ) } )  oF ( .s `  M
) z )  =  ( k  e.  (
Base `  M )  |->  ( ( x ( .r `  S ) y ) ( .s
`  M ) ( z `  k ) ) ) )
113 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
11420, 113ringcl 17325 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( x
( .r `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
11582, 72, 74, 114syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .r `  S ) y )  e.  ( Base `  S
) )
1161, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 31308 . . . 4  |-  ( ( ( x ( .r
`  S ) y )  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
x ( .r `  S ) y ) ( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
( x ( .r
`  S ) y ) } )  oF ( .s `  M ) z ) )
117115, 70, 116syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .r
`  S ) y ) ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { ( x ( .r `  S ) y ) } )  oF ( .s
`  M ) z ) )
11872adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  x  e.  ( Base `  S )
)
119 ovex 6224 . . . . . 6  |-  ( y ( .s `  M
) ( z `  k ) )  e. 
_V
120119a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( y
( .s `  M
) ( z `  k ) )  e. 
_V )
121 fconstmpt 4957 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  M )  X.  { x } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  x )
122121a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  x ) )
123 simplr2 1037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
124 fconstmpt 4957 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  M )  X.  { y } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  y )
125124a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { y } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  y ) )
12669, 123, 108, 125, 111offval2 6455 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { y } )  oF ( .s `  M
) z )  =  ( k  e.  (
Base `  M )  |->  ( y ( .s
`  M ) ( z `  k ) ) ) )
127102, 126eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .s `  A ) z )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y ( .s `  M ) ( z `  k
) ) ) )
12869, 118, 120, 122, 127offval2 6455 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) ( y ( .s `  A ) z ) )  =  ( k  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( y ( .s `  M ) ( z `
 k ) ) ) ) )
1291, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 31308 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  (
y ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .s `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) ( y ( .s `  A ) z ) ) )
13072, 97, 129syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .s `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) ( y ( .s `  A ) z ) ) )
13177adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  M  e.  LMod )
13221, 5, 19, 20, 113lmodvsass 17650 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
)  /\  ( z `  k )  e.  (
Base `  M )
) )  ->  (
( x ( .r
`  S ) y ) ( .s `  M ) ( z `
 k ) )  =  ( x ( .s `  M ) ( y ( .s
`  M ) ( z `  k ) ) ) )
133131, 118, 123, 108, 132syl13anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( (
x ( .r `  S ) y ) ( .s `  M
) ( z `  k ) )  =  ( x ( .s
`  M ) ( y ( .s `  M ) ( z `
 k ) ) ) )
134133mpteq2dva 4453 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
k  e.  ( Base `  M )  |->  ( ( x ( .r `  S ) y ) ( .s `  M
) ( z `  k ) ) )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y ( .s
`  M ) ( z `  k ) ) ) ) )
135128, 130, 1343eqtr4d 2433 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .s `  A
) z ) )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( ( x ( .r `  S
) y ) ( .s `  M ) ( z `  k
) ) ) )
136112, 117, 1353eqtr4d 2433 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .r
`  S ) y ) ( .s `  A ) z )  =  ( x ( .s `  A ) ( y ( .s
`  A ) z ) ) )
13714adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  S  e.  Ring )
138 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
13920, 138ringidcl 17332 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
140137, 139syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( 1r `  S )  e.  ( Base `  S
) )
1411, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 31308 . . . 4  |-  ( ( ( 1r `  S
)  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  A ) x )  =  ( ( ( Base `  M
)  X.  { ( 1r `  S ) } )  oF ( .s `  M
) x ) )
142140, 141sylancom 665 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( 1r `  S
) ( .s `  A ) x )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { ( 1r `  S ) } )  oF ( .s
`  M ) x ) )
14355a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
14421, 21lmhmf 17793 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
145144adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  x : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
146 simpll 751 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  M  e.  LMod )
14721, 5, 19, 138lmodvs1 17653 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( 1r `  S
) ( .s `  M ) y )  =  y )
148146, 147sylan 469 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  /\  y  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  M ) y )  =  y )
149143, 145, 140, 148caofid0l 6467 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { ( 1r `  S ) } )  oF ( .s `  M
) x )  =  x )
150142, 149eqtrd 2423 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( 1r `  S
) ( .s `  A ) x )  =  x )
1513, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 18, 27, 68, 105, 136, 150islmodd 17631 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034   {csn 3944    |-> cmpt 4425    X. cxp 4911   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    oFcof 6437   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   .rcmulr 14703  Scalarcsca 14705   .scvsca 14706   Grpcgrp 16170   1rcur 17266   Ringcrg 17311   CRingccrg 17312   LModclmod 17625   LMHom clmhm 17778  MEndocmend 31292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-ghm 16382  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-lmod 17627  df-lmhm 17781  df-mend 31293
This theorem is referenced by:  mendassa  31311
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