Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendlmod Structured version   Unicode version

Theorem mendlmod 36029
 Description: The module endomorphism algebra is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendassa.a MEndo
mendassa.s Scalar
Assertion
Ref Expression
mendlmod

Proof of Theorem mendlmod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4 MEndo
21mendbas 36020 . . 3 LMHom
32a1i 11 . 2 LMHom
4 eqidd 2423 . 2
5 mendassa.s . . . 4 Scalar
61, 5mendsca 36025 . . 3 Scalar
76a1i 11 . 2 Scalar
8 eqidd 2423 . 2
9 eqidd 2423 . 2
10 eqidd 2423 . 2
11 eqidd 2423 . 2
12 eqidd 2423 . 2
13 crngring 17790 . . 3
151mendring 36028 . . . 4
17 ringgrp 17784 . . 3
1816, 17syl 17 . 2
19 eqid 2422 . . . . 5
20 eqid 2422 . . . . 5
21 eqid 2422 . . . . 5
22 eqid 2422 . . . . 5
231, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 36027 . . . 4 LMHom
24233adant1 1023 . . 3 LMHom
2521, 19, 5, 20lmhmvsca 18267 . . . 4 LMHom LMHom
26253adant1l 1256 . . 3 LMHom LMHom
2724, 26eqeltrd 2507 . 2 LMHom LMHom
28 simpr2 1012 . . . . 5 LMHom LMHom LMHom
29 simpr3 1013 . . . . 5 LMHom LMHom LMHom
30 eqid 2422 . . . . . 6
31 eqid 2422 . . . . . 6
321, 2, 30, 31mendplusg 36022 . . . . 5 LMHom LMHom
3328, 29, 32syl2anc 665 . . . 4 LMHom LMHom
3433oveq2d 6321 . . 3 LMHom LMHom
35 simpr1 1011 . . . 4 LMHom LMHom
3618adantr 466 . . . . 5 LMHom LMHom
372, 31grpcl 16678 . . . . 5 LMHom LMHom LMHom
3836, 28, 29, 37syl3anc 1264 . . . 4 LMHom LMHom LMHom
391, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 36027 . . . 4 LMHom
4035, 38, 39syl2anc 665 . . 3 LMHom LMHom
4135, 28, 23syl2anc 665 . . . . 5 LMHom LMHom
421, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 36027 . . . . . 6 LMHom
4335, 29, 42syl2anc 665 . . . . 5 LMHom LMHom
4441, 43oveq12d 6323 . . . 4 LMHom LMHom
45273adant3r3 1216 . . . . 5 LMHom LMHom LMHom
46 eleq1 2495 . . . . . . . . 9 LMHom LMHom
47463anbi3d 1341 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
48 oveq2 6313 . . . . . . . . 9
4948eleq1d 2491 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
5047, 49imbi12d 321 . . . . . . 7 LMHom LMHom LMHom LMHom
5150, 27chvarv 2072 . . . . . 6 LMHom LMHom
52513adant3r2 1215 . . . . 5 LMHom LMHom LMHom
531, 2, 30, 31mendplusg 36022 . . . . 5 LMHom LMHom
5445, 52, 53syl2anc 665 . . . 4 LMHom LMHom
55 fvex 5891 . . . . . 6
5655a1i 11 . . . . 5 LMHom LMHom
57 fconst6g 5789 . . . . . 6
5835, 57syl 17 . . . . 5 LMHom LMHom
5921, 21lmhmf 18256 . . . . . 6 LMHom
6028, 59syl 17 . . . . 5 LMHom LMHom
6121, 21lmhmf 18256 . . . . . 6 LMHom
6229, 61syl 17 . . . . 5 LMHom LMHom
63 simpll 758 . . . . . 6 LMHom LMHom
6421, 30, 5, 19, 20lmodvsdi 18113 . . . . . 6
6563, 64sylan 473 . . . . 5 LMHom LMHom
6656, 58, 60, 62, 65caofdi 6581 . . . 4 LMHom LMHom
6744, 54, 663eqtr4d 2473 . . 3 LMHom LMHom
6834, 40, 673eqtr4d 2473 . 2 LMHom LMHom
6955a1i 11 . . . 4 LMHom
70 simpr3 1013 . . . . 5 LMHom LMHom
7170, 61syl 17 . . . 4 LMHom
72 simpr1 1011 . . . . 5 LMHom
7372, 57syl 17 . . . 4 LMHom
74 simpr2 1012 . . . . 5 LMHom
75 fconst6g 5789 . . . . 5
7674, 75syl 17 . . . 4 LMHom
77 simpll 758 . . . . 5 LMHom
78 eqid 2422 . . . . . 6
7921, 30, 5, 19, 20, 78lmodvsdir 18114 . . . . 5
8077, 79sylan 473 . . . 4 LMHom
8169, 71, 73, 76, 80caofdir 6582 . . 3 LMHom
8214adantr 466 . . . . . 6 LMHom
8320, 78ringacl 17807 . . . . . 6
8482, 72, 74, 83syl3anc 1264 . . . . 5 LMHom
851, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 36027 . . . . 5 LMHom
8684, 70, 85syl2anc 665 . . . 4 LMHom
8769, 72, 74ofc12 6570 . . . . 5 LMHom
8887oveq1d 6320 . . . 4 LMHom
8986, 88eqtr4d 2466 . . 3 LMHom
90513adant3r2 1215 . . . . 5 LMHom LMHom
91 eleq1 2495 . . . . . . . . 9
92913anbi2d 1340 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
93 oveq1 6312 . . . . . . . . 9
9493eleq1d 2491 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
9592, 94imbi12d 321 . . . . . . 7 LMHom LMHom LMHom LMHom
9695, 51chvarv 2072 . . . . . 6 LMHom LMHom
97963adant3r1 1214 . . . . 5 LMHom LMHom
981, 2, 30, 31mendplusg 36022 . . . . 5 LMHom LMHom
9990, 97, 98syl2anc 665 . . . 4 LMHom
10072, 70, 42syl2anc 665 . . . . 5 LMHom
1011, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 36027 . . . . . 6 LMHom
10274, 70, 101syl2anc 665 . . . . 5 LMHom
103100, 102oveq12d 6323 . . . 4 LMHom
10499, 103eqtrd 2463 . . 3 LMHom
10581, 89, 1043eqtr4d 2473 . 2 LMHom
106 ovex 6333 . . . . 5
107106a1i 11 . . . 4 LMHom
10871ffvelrnda 6037 . . . 4 LMHom
109 fconstmpt 4897 . . . . 5
110109a1i 11 . . . 4 LMHom
11171feqmptd 5934 . . . 4 LMHom
11269, 107, 108, 110, 111offval2 6562 . . 3 LMHom
113 eqid 2422 . . . . . 6
11420, 113ringcl 17793 . . . . 5
11582, 72, 74, 114syl3anc 1264 . . . 4 LMHom
1161, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 36027 . . . 4 LMHom
117115, 70, 116syl2anc 665 . . 3 LMHom
11872adantr 466 . . . . 5 LMHom
119 ovex 6333 . . . . . 6
120119a1i 11 . . . . 5 LMHom
121 fconstmpt 4897 . . . . . 6
122121a1i 11 . . . . 5 LMHom
123 simplr2 1048 . . . . . . 7 LMHom
124 fconstmpt 4897 . . . . . . . 8
125124a1i 11 . . . . . . 7 LMHom
12669, 123, 108, 125, 111offval2 6562 . . . . . 6 LMHom
127102, 126eqtrd 2463 . . . . 5 LMHom
12869, 118, 120, 122, 127offval2 6562 . . . 4 LMHom
1291, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 36027 . . . . 5 LMHom
13072, 97, 129syl2anc 665 . . . 4 LMHom
13177adantr 466 . . . . . 6 LMHom
13221, 5, 19, 20, 113lmodvsass 18115 . . . . . 6
133131, 118, 123, 108, 132syl13anc 1266 . . . . 5 LMHom
134133mpteq2dva 4510 . . . 4 LMHom
135128, 130, 1343eqtr4d 2473 . . 3 LMHom
136112, 117, 1353eqtr4d 2473 . 2 LMHom
13714adantr 466 . . . . 5 LMHom
138 eqid 2422 . . . . . 6
13920, 138ringidcl 17800 . . . . 5
140137, 139syl 17 . . . 4 LMHom
1411, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 36027 . . . 4 LMHom
142140, 141sylancom 671 . . 3 LMHom
14355a1i 11 . . . 4 LMHom
14421, 21lmhmf 18256 . . . . 5 LMHom
145144adantl 467 . . . 4 LMHom
146 simpll 758 . . . . 5 LMHom
14721, 5, 19, 138lmodvs1 18118 . . . . 5
148146, 147sylan 473 . . . 4 LMHom
149143, 145, 140, 148caofid0l 6573 . . 3 LMHom
150142, 149eqtrd 2463 . 2 LMHom
1513, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 18, 27, 68, 105, 136, 150islmodd 18096 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  cvv 3080  csn 3998   cmpt 4482   cxp 4851  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   cof 6543  cbs 15120   cplusg 15189  cmulr 15190  Scalarcsca 15192  cvsca 15193  cgrp 16668  cur 17734  crg 17779  ccrg 17780  clmod 18090   LMHom clmhm 18241  MEndocmend 36011 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-0g 15339  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-ghm 16880  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-lmod 18092  df-lmhm 18244  df-mend 36012 This theorem is referenced by:  mendassa  36030
 Copyright terms: Public domain W3C validator