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Theorem mendassa 31119
Description: The module endomorphism algebra is an algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendassa.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendassa.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
Assertion
Ref Expression
mendassa  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e. AssAlg )

Proof of Theorem mendassa
Dummy variables  x  y  z  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4  |-  A  =  (MEndo `  M )
21mendbas 31109 . . 3  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( M LMHom  M )  =  (
Base `  A )
)
4 mendassa.s . . . 4  |-  S  =  (Scalar `  M )
51, 4mendsca 31114 . . 3  |-  S  =  (Scalar `  A )
65a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  =  (Scalar `  A )
)
7 eqidd 2444 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( Base `  S )  =  ( Base `  S
) )
8 eqidd 2444 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .s `  A )  =  ( .s `  A
) )
9 eqidd 2444 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .r `  A )  =  ( .r `  A
) )
101, 4mendlmod 31118 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  LMod )
111mendring 31117 . . 3  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Ring )
1211adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  Ring )
13 simpr 461 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  e.  CRing )
14 simpr3 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( M LMHom  M ) )
15 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
1615, 15lmhmf 17554 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( M LMHom  M
)  ->  z :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
1714, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
1817ffvelrnda 6016 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( z `  v
)  e.  ( Base `  M ) )
1917feqmptd 5911 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( z `  v ) ) )
20 simpr1 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
21 simpr2 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( M LMHom  M ) )
22 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
23 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
24 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
251, 22, 2, 4, 23, 15, 24mendvsca 31116 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) y )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  oF ( .s `  M ) y ) )
2620, 21, 25syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) y ) )
27 fvex 5866 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  M )  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
29 simplr1 1039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  M ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
30 fvex 5866 . . . . . . . 8  |-  ( y `
 w )  e. 
_V
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  w
)  e.  _V )
32 fconstmpt 5033 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  M )  X.  { x } )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  x )
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  x ) )
3415, 15lmhmf 17554 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( M LMHom  M
)  ->  y :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
3521, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
3635feqmptd 5911 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  w ) ) )
3728, 29, 31, 33, 36offval2 6541 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) y )  =  ( w  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( y `  w ) ) ) )
3826, 37eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  w
) ) ) )
39 fveq2 5856 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( z `  v )  ->  (
y `  w )  =  ( y `  ( z `  v
) ) )
4039oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( w  =  ( z `  v )  ->  (
x ( .s `  M ) ( y `
 w ) )  =  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) )
4118, 19, 38, 40fmptco 6049 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) ) )
42 simplr1 1039 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
43 fvex 5866 . . . . . 6  |-  ( y `
 ( z `  v ) )  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  (
z `  v )
)  e.  _V )
45 fconstmpt 5033 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  M )  X.  { x } )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  x )
4645a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  x ) )
47 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
481, 2, 47mendmulr 31113 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( .r `  A
) z )  =  ( y  o.  z
) )
4921, 14, 48syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  =  ( y  o.  z ) )
50 fcompt 6052 . . . . . . 7  |-  ( ( y : ( Base `  M ) --> ( Base `  M )  /\  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )  ->  (
y  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5135, 17, 50syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5249, 51eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5328, 42, 44, 46, 52offval2 6541 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( v  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( y `  ( z `
 v ) ) ) ) )
5441, 53eqtr4d 2487 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  o.  z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
5510adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  A  e.  LMod )
562, 5, 24, 23lmodvscl 17403 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
5755, 20, 21, 56syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M
) )
581, 2, 47mendmulr 31113 . . . 4  |-  ( ( ( x ( .s
`  A ) y )  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
x ( .s `  A ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x ( .s `  A ) y )  o.  z
) )
5957, 14, 58syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( ( x ( .s `  A
) y )  o.  z ) )
6012adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  A  e.  Ring )
612, 47ringcl 17086 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
6260, 21, 14, 61syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
631, 22, 2, 4, 23, 15, 24mendvsca 31116 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  (
y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .r `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
6420, 62, 63syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .r `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
6554, 59, 643eqtr4d 2494 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( x ( .s `  A ) ( y ( .r
`  A ) z ) ) )
66 simplr2 1040 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
y  e.  ( M LMHom 
M ) )
674, 23, 15, 22, 22lmhmlin 17555 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( z `  v )  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) )  =  ( x ( .s `  M ) ( y `
 ( z `  v ) ) ) )
6866, 42, 18, 67syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  (
x ( .s `  M ) ( z `
 v ) ) )  =  ( x ( .s `  M
) ( y `  ( z `  v
) ) ) )
6968mpteq2dva 4523 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
v  e.  ( Base `  M )  |->  ( y `
 ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) ) ) )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) ) )
70 simplll 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  ->  M  e.  LMod )
7115, 4, 22, 23lmodvscl 17403 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( z `  v )  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( x
( .s `  M
) ( z `  v ) )  e.  ( Base `  M
) )
7270, 42, 18, 71syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) )  e.  ( Base `  M ) )
731, 22, 2, 4, 23, 15, 24mendvsca 31116 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  oF ( .s `  M ) z ) )
7420, 14, 73syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) z ) )
75 fvex 5866 . . . . . . . 8  |-  ( z `
 v )  e. 
_V
7675a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( z `  v
)  e.  _V )
7728, 42, 76, 46, 19offval2 6541 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  oF ( .s `  M
) z )  =  ( v  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) )
7874, 77eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) ) ) )
79 fveq2 5856 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) )  ->  (
y `  w )  =  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) )
8072, 78, 36, 79fmptco 6049 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) ) )
8169, 80, 533eqtr4d 2494 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  oF ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
822, 5, 24, 23lmodvscl 17403 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
8355, 20, 14, 82syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
841, 2, 47mendmulr 31113 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( y  o.  ( x ( .s
`  A ) z ) ) )
8521, 83, 84syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( y  o.  ( x ( .s
`  A ) z ) ) )
8681, 85, 643eqtr4d 2494 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( x ( .s `  A ) ( y ( .r
`  A ) z ) ) )
873, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 65, 86isassad 17846 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e. AssAlg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   {csn 4014    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987    o. ccom 4993   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523   Basecbs 14509   .rcmulr 14575  Scalarcsca 14577   .scvsca 14578   Ringcrg 17072   CRingccrg 17073   LModclmod 17386   LMHom clmhm 17539  AssAlgcasa 17832  MEndocmend 31100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-ghm 16139  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-cring 17075  df-lmod 17388  df-lmhm 17542  df-assa 17835  df-mend 31101
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