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Theorem meetval 15776
Description: Meet value. Since both sides evaluate to  (/) when they don't exist, for convenience we drop the  { X ,  Y }  e.  dom  G requirement. (Contributed by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
meetdef.u  |-  G  =  ( glb `  K
)
meetdef.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
meetdef.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
meetdef.x  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
meetdef.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  Z )
Assertion
Ref Expression
meetval  |-  ( ph  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( G `
 { X ,  Y } ) )

Proof of Theorem meetval
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meetdef.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
2 meetdef.u . . . . . . 7  |-  G  =  ( glb `  K
)
3 meetdef.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
42, 3meetfval2 15773 . . . . . 6  |-  ( K  e.  V  ->  ./\  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) } )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
./\  =  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) } )
65oveqd 6313 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( X { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) } Y ) )
76adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  { X ,  Y }  e.  dom  G )  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( {
x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) } Y ) )
8 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  { X ,  Y }  e.  dom  G )  ->  { X ,  Y }  e.  dom  G )
9 eqidd 2458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  { X ,  Y }  e.  dom  G )  ->  ( G `  { X ,  Y } )  =  ( G `  { X ,  Y } ) )
10 meetdef.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
11 meetdef.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  Z )
12 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( G `
 { X ,  Y } )  e.  _V
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  { X ,  Y }
)  e.  _V )
14 preq12 4113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y } )
1514eleq1d 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( { x ,  y }  e.  dom  G  <->  { X ,  Y }  e.  dom  G ) )
16153adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y  /\  z  =  ( G `  { X ,  Y } ) )  -> 
( { x ,  y }  e.  dom  G  <->  { X ,  Y }  e.  dom  G ) )
17 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y  /\  z  =  ( G `  { X ,  Y } ) )  -> 
z  =  ( G `
 { X ,  Y } ) )
1814fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( G `  {
x ,  y } )  =  ( G `
 { X ,  Y } ) )
19183adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y  /\  z  =  ( G `  { X ,  Y } ) )  -> 
( G `  {
x ,  y } )  =  ( G `
 { X ,  Y } ) )
2017, 19eqeq12d 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y  /\  z  =  ( G `  { X ,  Y } ) )  -> 
( z  =  ( G `  { x ,  y } )  <-> 
( G `  { X ,  Y }
)  =  ( G `
 { X ,  Y } ) ) )
2116, 20anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y  /\  z  =  ( G `  { X ,  Y } ) )  -> 
( ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  {
x ,  y } ) )  <->  ( { X ,  Y }  e.  dom  G  /\  ( G `  { X ,  Y } )  =  ( G `  { X ,  Y }
) ) ) )
22 moeq 3275 . . . . . . . 8  |-  E* z 
z  =  ( G `
 { x ,  y } )
2322moani 2346 . . . . . . 7  |-  E* z
( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) )
24 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) }
2521, 23, 24ovigg 6422 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  W  /\  Y  e.  Z  /\  ( G `  { X ,  Y } )  e. 
_V )  ->  (
( { X ,  Y }  e.  dom  G  /\  ( G `  { X ,  Y }
)  =  ( G `
 { X ,  Y } ) )  -> 
( X { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) } Y )  =  ( G `  { X ,  Y }
) ) )
2610, 11, 13, 25syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( { X ,  Y }  e.  dom  G  /\  ( G `  { X ,  Y }
)  =  ( G `
 { X ,  Y } ) )  -> 
( X { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) } Y )  =  ( G `  { X ,  Y }
) ) )
2726adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  { X ,  Y }  e.  dom  G )  ->  ( ( { X ,  Y }  e.  dom  G  /\  ( G `  { X ,  Y } )  =  ( G `  { X ,  Y }
) )  ->  ( X { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) } Y )  =  ( G `  { X ,  Y }
) ) )
288, 9, 27mp2and 679 . . 3  |-  ( (
ph  /\  { X ,  Y }  e.  dom  G )  ->  ( X { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) } Y )  =  ( G `  { X ,  Y }
) )
297, 28eqtrd 2498 . 2  |-  ( (
ph  /\  { X ,  Y }  e.  dom  G )  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( G `  { X ,  Y } ) )
302, 3, 1, 10, 11meetdef 15775 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  dom  ./\  <->  { X ,  Y }  e.  dom  G ) )
3130notbid 294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  <. X ,  Y >.  e.  dom  ./\  <->  -.  { X ,  Y }  e.  dom  G ) )
32 df-ov 6299 . . . . . 6  |-  ( X 
./\  Y )  =  (  ./\  `  <. X ,  Y >. )
33 ndmfv 5896 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. X ,  Y >.  e. 
dom  ./\  ->  (  ./\  ` 
<. X ,  Y >. )  =  (/) )
3432, 33syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( -. 
<. X ,  Y >.  e. 
dom  ./\  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  (/) )
3531, 34syl6bir 229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  { X ,  Y }  e.  dom  G  ->  ( X  ./\  Y )  =  (/) ) )
3635imp 429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  { X ,  Y }  e.  dom  G )  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  (/) )
37 ndmfv 5896 . . . 4  |-  ( -. 
{ X ,  Y }  e.  dom  G  -> 
( G `  { X ,  Y }
)  =  (/) )
3837adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  { X ,  Y }  e.  dom  G )  ->  ( G `  { X ,  Y } )  =  (/) )
3936, 38eqtr4d 2501 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  { X ,  Y }  e.  dom  G )  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( G `  { X ,  Y } ) )
4029, 39pm2.61dan 791 1  |-  ( ph  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( G `
 { X ,  Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   {cpr 4034   <.cop 4038   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   {coprab 6297   glbcglb 15699   meetcmee 15701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-glb 15732  df-meet 15734
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