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Theorem meetfval 15184
Description: Value of meet function for a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.) TODO: prove meetfval2 15185 first to reduce net proof size (existence part)?
Hypotheses
Ref Expression
meetfval.u  |-  G  =  ( glb `  K
)
meetfval.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
meetfval  |-  ( K  e.  V  ->  ./\  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  { x ,  y } G z } )
Distinct variable groups:    x, y,
z, K    z, G
Allowed substitution hints:    G( x, y)    ./\ (
x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem meetfval
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2980 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  K  e.  _V )
2 meetfval.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
3 fvex 5700 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
4 moeq 3134 . . . . . . . 8  |-  E* z 
z  =  ( G `
 { x ,  y } )
54a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  E* z  z  =  ( G `  { x ,  y } ) )
6 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  (
Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) )  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) }
73, 3, 5, 6oprabex 6564 . . . . . 6  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  (
Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) )  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) }  e.  _V
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( K  e.  _V  ->  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  (
Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) )  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) }  e.  _V )
9 meetfval.u . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( glb `  K
)
109glbfun 15162 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  G
11 funbrfv2b 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
G  ->  ( {
x ,  y } G z  <->  ( {
x ,  y }  e.  dom  G  /\  ( G `  { x ,  y } )  =  z ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } G z  <->  ( {
x ,  y }  e.  dom  G  /\  ( G `  { x ,  y } )  =  z ) )
13 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
14 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
15 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  _V  /\  { x ,  y }  e.  dom  G )  ->  K  e.  _V )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  _V  /\  { x ,  y }  e.  dom  G )  ->  { x ,  y }  e.  dom  G )
1713, 14, 9, 15, 16glbelss 15164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  _V  /\  { x ,  y }  e.  dom  G )  ->  { x ,  y }  C_  ( Base `  K ) )
1817ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  _V  ->  ( { x ,  y }  e.  dom  G  ->  { x ,  y }  C_  ( Base `  K ) ) )
19 vex 2974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
20 vex 2974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
2119, 20prss 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  <->  { x ,  y }  C_  ( Base `  K )
)
2218, 21syl6ibr 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  _V  ->  ( { x ,  y }  e.  dom  G  ->  ( x  e.  (
Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) ) ) )
23 eqcom 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  { x ,  y } )  =  z  <->  z  =  ( G `  { x ,  y } ) )
2423biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  { x ,  y } )  =  z  ->  z  =  ( G `  { x ,  y } ) )
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  _V  ->  (
( G `  {
x ,  y } )  =  z  -> 
z  =  ( G `
 { x ,  y } ) ) )
2622, 25anim12d 563 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  _V  ->  (
( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  ( G `  { x ,  y } )  =  z )  ->  ( (
x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) ) )
2712, 26syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  _V  ->  ( { x ,  y } G z  -> 
( ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) ) )
2827alrimiv 1685 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  _V  ->  A. z
( { x ,  y } G z  ->  ( ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) ) )
2928alrimiv 1685 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  _V  ->  A. y A. z ( { x ,  y } G
z  ->  ( (
x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) ) )
3029alrimiv 1685 . . . . . 6  |-  ( K  e.  _V  ->  A. x A. y A. z ( { x ,  y } G z  -> 
( ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) ) )
31 ssoprab2 6141 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y A. z
( { x ,  y } G z  ->  ( ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) )  ->  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  {
x ,  y } G z }  C_  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) } )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( K  e.  _V  ->  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  {
x ,  y } G z }  C_  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) } )
338, 32ssexd 4438 . . . 4  |-  ( K  e.  _V  ->  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  {
x ,  y } G z }  e.  _V )
34 fveq2 5690 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  ( glb `  p )  =  ( glb `  K
) )
3534, 9syl6eqr 2492 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( glb `  p )  =  G )
3635breqd 4302 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ( { x ,  y }  ( glb `  p
) z  <->  { x ,  y } G
z ) )
3736oprabbidv 6139 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  {
x ,  y }  ( glb `  p
) z }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  { x ,  y } G z } )
38 df-meet 15146 . . . . 5  |-  meet  =  ( p  e.  _V  |->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  { x ,  y }  ( glb `  p
) z } )
3937, 38fvmptg 5771 . . . 4  |-  ( ( K  e.  _V  /\  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  { x ,  y } G z }  e.  _V )  -> 
( meet `  K )  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  { x ,  y } G z } )
4033, 39mpdan 668 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( meet `  K )  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  { x ,  y } G z } )
412, 40syl5eq 2486 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  ./\  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  { x ,  y } G z } )
421, 41syl 16 1  |-  ( K  e.  V  ->  ./\  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  { x ,  y } G z } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   E*wmo 2254   _Vcvv 2971    C_ wss 3327   {cpr 3878   class class class wbr 4291   dom cdm 4839   Fun wfun 5411   ` cfv 5417   {coprab 6091   Basecbs 14173   lecple 14244   glbcglb 15112   meetcmee 15114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-oprab 6094  df-glb 15144  df-meet 15146
This theorem is referenced by:  meetfval2  15185  meet0  15306  odumeet  15309  odujoin  15311
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