Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  meetfval Structured version   Unicode version

Theorem meetfval 15519
 Description: Value of meet function for a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.) TODO: prove meetfval2 15520 first to reduce net proof size (existence part)?
Hypotheses
Ref Expression
meetfval.u
meetfval.m
Assertion
Ref Expression
meetfval
Distinct variable groups:   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem meetfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3104 . 2
2 meetfval.m . . 3
3 fvex 5866 . . . . . . 7
4 moeq 3261 . . . . . . . 8
54a1i 11 . . . . . . 7
6 eqid 2443 . . . . . . 7
73, 3, 5, 6oprabex 6773 . . . . . 6
87a1i 11 . . . . 5
9 meetfval.u . . . . . . . . . . . 12
109glbfun 15497 . . . . . . . . . . 11
11 funbrfv2b 5902 . . . . . . . . . . 11
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
13 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14
14 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14
15 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
1713, 14, 9, 15, 16glbelss 15499 . . . . . . . . . . . . 13
1817ex 434 . . . . . . . . . . . 12
19 vex 3098 . . . . . . . . . . . . 13
20 vex 3098 . . . . . . . . . . . . 13
2119, 20prss 4169 . . . . . . . . . . . 12
2218, 21syl6ibr 227 . . . . . . . . . . 11
23 eqcom 2452 . . . . . . . . . . . . 13
2423biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11
2622, 25anim12d 563 . . . . . . . . . 10
2712, 26syl5bi 217 . . . . . . . . 9
2827alrimiv 1706 . . . . . . . 8
2928alrimiv 1706 . . . . . . 7
3029alrimiv 1706 . . . . . 6
31 ssoprab2 6338 . . . . . 6
3230, 31syl 16 . . . . 5
338, 32ssexd 4584 . . . 4
34 fveq2 5856 . . . . . . . 8
3534, 9syl6eqr 2502 . . . . . . 7
3635breqd 4448 . . . . . 6
3736oprabbidv 6336 . . . . 5
38 df-meet 15481 . . . . 5
3937, 38fvmptg 5939 . . . 4
4033, 39mpdan 668 . . 3
412, 40syl5eq 2496 . 2
421, 41syl 16 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369  wal 1381   wceq 1383   wcel 1804  wmo 2269  cvv 3095   wss 3461  cpr 4016   class class class wbr 4437   cdm 4989   wfun 5572  cfv 5578  coprab 6282  cbs 14509  cple 14581  cglb 15446  cmee 15448 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-oprab 6285  df-glb 15479  df-meet 15481 This theorem is referenced by:  meetfval2  15520  meet0  15641  odumeet  15644  odujoin  15646
 Copyright terms: Public domain W3C validator