MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  meetdm Structured version   Unicode version

Theorem meetdm 15846
Description: Domain of meet function for a poset-type structure. (Contributed by NM, 16-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
meetfval.u  |-  G  =  ( glb `  K
)
meetfval.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
meetdm  |-  ( K  e.  V  ->  dom  ./\  =  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y }  e.  dom  G }
)
Distinct variable group:    x, y, K
Allowed substitution hints:    G( x, y)    ./\ (
x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem meetdm
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meetfval.u . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
2 meetfval.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2meetfval2 15845 . . 3  |-  ( K  e.  V  ->  ./\  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) } )
43dmeqd 5194 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  dom  ./\  =  dom  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) } )
5 dmoprab 6356 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) }
6 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( G `
 { x ,  y } )  e. 
_V
76isseti 3112 . . . . 5  |-  E. z 
z  =  ( G `
 { x ,  y } )
8 19.42v 1780 . . . . 5  |-  ( E. z ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  {
x ,  y } ) )  <->  ( {
x ,  y }  e.  dom  G  /\  E. z  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) )
97, 8mpbiran2 917 . . . 4  |-  ( E. z ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  {
x ,  y } ) )  <->  { x ,  y }  e.  dom  G )
109opabbii 4503 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  {
x ,  y } ) ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  { x ,  y }  e.  dom  G }
115, 10eqtri 2483 . 2  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( { x ,  y }  e.  dom  G  /\  z  =  ( G `  { x ,  y } ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  { x ,  y }  e.  dom  G }
124, 11syl6eq 2511 1  |-  ( K  e.  V  ->  dom  ./\  =  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y }  e.  dom  G }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   {cpr 4018   {copab 4496   dom cdm 4988   ` cfv 5570   {coprab 6271   glbcglb 15771   meetcmee 15773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-oprab 6274  df-glb 15804  df-meet 15806
This theorem is referenced by:  meetdef  15847  meetdmss  15850
  Copyright terms: Public domain W3C validator