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Theorem meet0 16383
Description: Lemma for odujoin 16388. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.) TODO (df-riota 6252 update): This proof increased from 152 bytes to 547 bytes after the df-riota 6252 change. Any way to shorten it? join0 16384 also.
Assertion
Ref Expression
meet0  |-  ( meet `  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem meet0
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4535 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 eqid 2451 . . . 4  |-  ( glb `  (/) )  =  ( glb `  (/) )
3 eqid 2451 . . . 4  |-  ( meet `  (/) )  =  (
meet `  (/) )
42, 3meetfval 16261 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( meet `  (/) )  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  { x ,  y }  ( glb `  (/) ) z } )
51, 4ax-mp 5 . 2  |-  ( meet `  (/) )  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  { x ,  y }  ( glb `  (/) ) z }
6 df-oprab 6294 . . 3  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  {
x ,  y }  ( glb `  (/) ) z }  =  { w  |  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
{ x ,  y }  ( glb `  (/) ) z ) }
7 br0 4449 . . . . . . . . 9  |-  -.  {
x ,  y }
(/) z
8 base0 15162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
9 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( le
`  (/) )  =  ( le `  (/) )
10 biid 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) )  <->  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) )
11 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (/)  e.  _V )
128, 9, 2, 10, 11glbfval 16237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( glb `  (/) )  =  (
( x  e.  ~P (/)  |->  ( iota_ y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) ) )  |`  { x  |  E! y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y
( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w ( le
`  (/) ) z  ->  w ( le `  (/) ) y ) ) } ) )
131, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( glb `  (/) )  =  ( ( x  e.  ~P (/)  |->  ( iota_ y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) ) )  |`  { x  |  E! y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y
( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w ( le
`  (/) ) z  ->  w ( le `  (/) ) y ) ) } )
14 rex0 3746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  E. y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y
( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w ( le
`  (/) ) z  ->  w ( le `  (/) ) y ) )
15 reurex 3009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E! y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y
( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w ( le
`  (/) ) z  ->  w ( le `  (/) ) y ) )  ->  E. y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) )
1614, 15mto 180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  E! y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y
( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w ( le
`  (/) ) z  ->  w ( le `  (/) ) y ) )
1716abf 3768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  |  E! y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) }  =  (/)
1817reseq2i 5102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P (/)  |->  ( iota_ y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) ) )  |`  { x  |  E! y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y
( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w ( le
`  (/) ) z  ->  w ( le `  (/) ) y ) ) } )  =  ( ( x  e.  ~P (/)  |->  ( iota_ y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) ) )  |`  (/) )
19 res0 5109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P (/)  |->  ( iota_ y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) ) )  |`  (/) )  =  (/)
2018, 19eqtri 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P (/)  |->  ( iota_ y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) ) )  |`  { x  |  E! y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y
( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w ( le
`  (/) ) z  ->  w ( le `  (/) ) y ) ) } )  =  (/)
2113, 20eqtri 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( glb `  (/) )  =  (/)
2221breqi 4408 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y }  ( glb `  (/) ) z  <->  { x ,  y } (/) z )
237, 22mtbir 301 . . . . . . . 8  |-  -.  {
x ,  y }  ( glb `  (/) ) z
2423intnan 925 . . . . . . 7  |-  -.  (
w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  { x ,  y }  ( glb `  (/) ) z )
2524nex 1678 . . . . . 6  |-  -.  E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
{ x ,  y }  ( glb `  (/) ) z )
2625nex 1678 . . . . 5  |-  -.  E. y E. z ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
{ x ,  y }  ( glb `  (/) ) z )
2726nex 1678 . . . 4  |-  -.  E. x E. y E. z
( w  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  {
x ,  y }  ( glb `  (/) ) z )
2827abf 3768 . . 3  |-  { w  |  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
{ x ,  y }  ( glb `  (/) ) z ) }  =  (/)
296, 28eqtri 2473 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  {
x ,  y }  ( glb `  (/) ) z }  =  (/)
305, 29eqtri 2473 1  |-  ( meet `  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   {cab 2437   A.wral 2737   E.wrex 2738   E!wreu 2739   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {cpr 3970   <.cop 3974   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    |` cres 4836   ` cfv 5582   iota_crio 6251   {coprab 6291   lecple 15197   glbcglb 16188   meetcmee 16190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-oprab 6294  df-slot 15125  df-base 15126  df-glb 16221  df-meet 16223
This theorem is referenced by:  odumeet  16386
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