Theorem meet0 16383

Description: Lemma for odujoin 16388. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.) TODO (df-riota 6252 update): This proof increased from 152 bytes to 547 bytes after the df-riota 6252 change. Any way to shorten it? join0 16384 also.

Assertion

Ref	Expression
meet0	|- ( meet ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem meet0

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4535	. . 3 |- (/) e. _V
2		eqid 2451	. . . 4 |- ( glb ` (/) ) = ( glb ` (/) )
3		eqid 2451	. . . 4 |- ( meet ` (/) ) = ( meet ` (/) )
4	2, 3	meetfval 16261	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( meet ` (/) ) = { <. <. x , y >. , z >. | { x , y } ( glb ` (/) ) z } )
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 |- ( meet ` (/) ) = { <. <. x , y >. , z >. | { x , y } ( glb ` (/) ) z }
6		df-oprab 6294	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | { x , y } ( glb ` (/) ) z } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( glb ` (/) ) z ) }
7		br0 4449	. . . . . . . . 9 |- -. { x , y } (/) z
8		base0 15162	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) = ( Base ` (/) )
9		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( le ` (/) ) = ( le ` (/) )
10		biid 240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) <-> ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) )
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. _V -> (/) e. _V )
12	8, 9, 2, 10, 11	glbfval 16237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. _V -> ( glb ` (/) ) = ( ( x e. ~P (/) |-> ( iota_ y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` { x | E! y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) } ) )
13	1, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( glb ` (/) ) = ( ( x e. ~P (/) |-> ( iota_ y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` { x | E! y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) } )
14		rex0 3746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. E. y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) )
15		reurex 3009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E! y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) -> E. y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) )
16	14, 15	mto 180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. E! y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) )
17	16	abf 3768	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x | E! y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) } = (/)
18	17	reseq2i 5102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P (/) |-> ( iota_ y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` { x | E! y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) } ) = ( ( x e. ~P (/) |-> ( iota_ y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` (/) )
19		res0 5109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P (/) |-> ( iota_ y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` (/) ) = (/)
20	18, 19	eqtri 2473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P (/) |-> ( iota_ y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` { x | E! y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) } ) = (/)
21	13, 20	eqtri 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( glb ` (/) ) = (/)
22	21	breqi 4408	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } ( glb ` (/) ) z <-> { x , y } (/) z )
23	7, 22	mtbir 301	. . . . . . . 8 |- -. { x , y } ( glb ` (/) ) z
24	23	intnan 925	. . . . . . 7 |- -. ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( glb ` (/) ) z )
25	24	nex 1678	. . . . . 6 |- -. E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( glb ` (/) ) z )
26	25	nex 1678	. . . . 5 |- -. E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( glb ` (/) ) z )
27	26	nex 1678	. . . 4 |- -. E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( glb ` (/) ) z )
28	27	abf 3768	. . 3 |- { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( glb ` (/) ) z ) } = (/)
29	6, 28	eqtri 2473	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | { x , y } ( glb ` (/) ) z } = (/)
30	5, 29	eqtri 2473	1 |- ( meet ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   {cab 2437   A.wral 2737   E.wrex 2738   E!wreu 2739   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {cpr 3970   <.cop 3974   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   |` cres 4836   ` cfv 5582   iota_crio 6251   {coprab 6291   lecple 15197   glbcglb 16188   meetcmee 16190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-oprab 6294  df-slot 15125  df-base 15126  df-glb 16221  df-meet 16223

This theorem is referenced by:  odumeet  16386