Theorem meet0 16461

Description: Lemma for odujoin 16466. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.) TODO (df-riota 6270 update): This proof increased from 152 bytes to 547 bytes after the df-riota 6270 change. Any way to shorten it? join0 16462 also.

Assertion

Ref	Expression
meet0	|- ( meet ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem meet0

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4528	. . 3 |- (/) e. _V
2		eqid 2471	. . . 4 |- ( glb ` (/) ) = ( glb ` (/) )
3		eqid 2471	. . . 4 |- ( meet ` (/) ) = ( meet ` (/) )
4	2, 3	meetfval 16339	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( meet ` (/) ) = { <. <. x , y >. , z >. | { x , y } ( glb ` (/) ) z } )
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 |- ( meet ` (/) ) = { <. <. x , y >. , z >. | { x , y } ( glb ` (/) ) z }
6		df-oprab 6312	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | { x , y } ( glb ` (/) ) z } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( glb ` (/) ) z ) }
7		br0 4442	. . . . . . . . 9 |- -. { x , y } (/) z
8		base0 15240	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) = ( Base ` (/) )
9		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( le ` (/) ) = ( le ` (/) )
10		biid 244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) <-> ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) )
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. _V -> (/) e. _V )
12	8, 9, 2, 10, 11	glbfval 16315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. _V -> ( glb ` (/) ) = ( ( x e. ~P (/) |-> ( iota_ y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` { x | E! y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) } ) )
13	1, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( glb ` (/) ) = ( ( x e. ~P (/) |-> ( iota_ y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` { x | E! y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) } )
14		rex0 3737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. E. y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) )
15		reurex 2995	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E! y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) -> E. y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) )
16	14, 15	mto 181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. E! y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) )
17	16	abf 3772	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x | E! y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) } = (/)
18	17	reseq2i 5108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P (/) |-> ( iota_ y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` { x | E! y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) } ) = ( ( x e. ~P (/) |-> ( iota_ y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` (/) )
19		res0 5115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P (/) |-> ( iota_ y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` (/) ) = (/)
20	18, 19	eqtri 2493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P (/) |-> ( iota_ y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` { x | E! y e. (/) ( A. z e. x y ( le ` (/) ) z /\ A. w e. (/) ( A. z e. x w ( le ` (/) ) z -> w ( le ` (/) ) y ) ) } ) = (/)
21	13, 20	eqtri 2493	. . . . . . . . . 10 |- ( glb ` (/) ) = (/)
22	21	breqi 4401	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } ( glb ` (/) ) z <-> { x , y } (/) z )
23	7, 22	mtbir 306	. . . . . . . 8 |- -. { x , y } ( glb ` (/) ) z
24	23	intnan 928	. . . . . . 7 |- -. ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( glb ` (/) ) z )
25	24	nex 1686	. . . . . 6 |- -. E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( glb ` (/) ) z )
26	25	nex 1686	. . . . 5 |- -. E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( glb ` (/) ) z )
27	26	nex 1686	. . . 4 |- -. E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( glb ` (/) ) z )
28	27	abf 3772	. . 3 |- { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( glb ` (/) ) z ) } = (/)
29	6, 28	eqtri 2493	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | { x , y } ( glb ` (/) ) z } = (/)
30	5, 29	eqtri 2493	1 |- ( meet ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   E!wreu 2758   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {cpr 3961   <.cop 3965   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   |` cres 4841   ` cfv 5589   iota_crio 6269   {coprab 6309   lecple 15275   glbcglb 16266   meetcmee 16268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-oprab 6312  df-slot 15203  df-base 15204  df-glb 16299  df-meet 16301

This theorem is referenced by:  odumeet  16464