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Theorem meet0 16461
Description: Lemma for odujoin 16466. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.) TODO (df-riota 6270 update): This proof increased from 152 bytes to 547 bytes after the df-riota 6270 change. Any way to shorten it? join0 16462 also.
Assertion
Ref Expression
meet0  |-  ( meet `  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem meet0
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4528 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 eqid 2471 . . . 4  |-  ( glb `  (/) )  =  ( glb `  (/) )
3 eqid 2471 . . . 4  |-  ( meet `  (/) )  =  (
meet `  (/) )
42, 3meetfval 16339 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( meet `  (/) )  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  { x ,  y }  ( glb `  (/) ) z } )
51, 4ax-mp 5 . 2  |-  ( meet `  (/) )  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  { x ,  y }  ( glb `  (/) ) z }
6 df-oprab 6312 . . 3  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  {
x ,  y }  ( glb `  (/) ) z }  =  { w  |  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
{ x ,  y }  ( glb `  (/) ) z ) }
7 br0 4442 . . . . . . . . 9  |-  -.  {
x ,  y }
(/) z
8 base0 15240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
9 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( le
`  (/) )  =  ( le `  (/) )
10 biid 244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) )  <->  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) )
11 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (/)  e.  _V )
128, 9, 2, 10, 11glbfval 16315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( glb `  (/) )  =  (
( x  e.  ~P (/)  |->  ( iota_ y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) ) )  |`  { x  |  E! y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y
( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w ( le
`  (/) ) z  ->  w ( le `  (/) ) y ) ) } ) )
131, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( glb `  (/) )  =  ( ( x  e.  ~P (/)  |->  ( iota_ y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) ) )  |`  { x  |  E! y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y
( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w ( le
`  (/) ) z  ->  w ( le `  (/) ) y ) ) } )
14 rex0 3737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  E. y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y
( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w ( le
`  (/) ) z  ->  w ( le `  (/) ) y ) )
15 reurex 2995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E! y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y
( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w ( le
`  (/) ) z  ->  w ( le `  (/) ) y ) )  ->  E. y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) )
1614, 15mto 181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  E! y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y
( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w ( le
`  (/) ) z  ->  w ( le `  (/) ) y ) )
1716abf 3772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  |  E! y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) }  =  (/)
1817reseq2i 5108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P (/)  |->  ( iota_ y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) ) )  |`  { x  |  E! y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y
( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w ( le
`  (/) ) z  ->  w ( le `  (/) ) y ) ) } )  =  ( ( x  e.  ~P (/)  |->  ( iota_ y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) ) )  |`  (/) )
19 res0 5115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P (/)  |->  ( iota_ y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) ) )  |`  (/) )  =  (/)
2018, 19eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P (/)  |->  ( iota_ y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y ( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w
( le `  (/) ) z  ->  w ( le
`  (/) ) y ) ) ) )  |`  { x  |  E! y  e.  (/)  ( A. z  e.  x  y
( le `  (/) ) z  /\  A. w  e.  (/)  ( A. z  e.  x  w ( le
`  (/) ) z  ->  w ( le `  (/) ) y ) ) } )  =  (/)
2113, 20eqtri 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( glb `  (/) )  =  (/)
2221breqi 4401 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y }  ( glb `  (/) ) z  <->  { x ,  y } (/) z )
237, 22mtbir 306 . . . . . . . 8  |-  -.  {
x ,  y }  ( glb `  (/) ) z
2423intnan 928 . . . . . . 7  |-  -.  (
w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  { x ,  y }  ( glb `  (/) ) z )
2524nex 1686 . . . . . 6  |-  -.  E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
{ x ,  y }  ( glb `  (/) ) z )
2625nex 1686 . . . . 5  |-  -.  E. y E. z ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
{ x ,  y }  ( glb `  (/) ) z )
2726nex 1686 . . . 4  |-  -.  E. x E. y E. z
( w  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  {
x ,  y }  ( glb `  (/) ) z )
2827abf 3772 . . 3  |-  { w  |  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
{ x ,  y }  ( glb `  (/) ) z ) }  =  (/)
296, 28eqtri 2493 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  {
x ,  y }  ( glb `  (/) ) z }  =  (/)
305, 29eqtri 2493 1  |-  ( meet `  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   E!wreu 2758   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {cpr 3961   <.cop 3965   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    |` cres 4841   ` cfv 5589   iota_crio 6269   {coprab 6309   lecple 15275   glbcglb 16266   meetcmee 16268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-oprab 6312  df-slot 15203  df-base 15204  df-glb 16299  df-meet 16301
This theorem is referenced by:  odumeet  16464
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