Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measxun2 Structured version   Unicode version

Theorem measxun2 28418
Description: The measure the union of two complementary sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measxun2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  A )  =  ( ( M `
 B ) +e ( M `  ( A  \  B ) ) ) )

Proof of Theorem measxun2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 994 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
2 simp2r 1021 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  S )
3 measbase 28405 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
41, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
5 simp2l 1020 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  A  e.  S )
6 difelsiga 28363 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  e.  S )
74, 5, 2, 6syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B )  e.  S )
8 prelpwi 4684 . . . 4  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B )  e.  S )  ->  { B ,  ( A 
\  B ) }  e.  ~P S )
92, 7, 8syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  { B ,  ( A  \  B ) }  e.  ~P S )
10 prct 27765 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B )  e.  S )  ->  { B ,  ( A 
\  B ) }  ~<_  om )
112, 7, 10syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  { B ,  ( A  \  B ) }  ~<_  om )
12 simp3 996 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  B  C_  A )
13 disjdifprg2 27647 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  -> Disj  x  e. 
{ ( A  \  B ) ,  ( A  i^i  B ) } x )
14 prcom 4094 . . . . . . . . 9  |-  { ( A  \  B ) ,  B }  =  { B ,  ( A 
\  B ) }
15 dfss 3476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
C_  A  <->  B  =  ( B  i^i  A ) )
1615biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  A  ->  B  =  ( B  i^i  A ) )
17 incom 3677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
1816, 17syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  A  ->  B  =  ( A  i^i  B ) )
1918preq2d 4102 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  A  ->  { ( A  \  B ) ,  B }  =  { ( A  \  B ) ,  ( A  i^i  B ) } )
2014, 19syl5eqr 2509 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C_  A  ->  { B ,  ( A  \  B ) }  =  { ( A  \  B ) ,  ( A  i^i  B ) } )
2120disjeq1d 4418 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  A  ->  (Disj  x  e.  { B , 
( A  \  B
) } x  <-> Disj  x  e.  {
( A  \  B
) ,  ( A  i^i  B ) } x ) )
2221biimprd 223 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  (Disj  x  e.  { ( A 
\  B ) ,  ( A  i^i  B
) } x  -> Disj  x  e.  { B , 
( A  \  B
) } x ) )
2313, 22mpan9 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  C_  A )  -> Disj  x  e.  { B , 
( A  \  B
) } x )
245, 12, 23syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  -> Disj  x  e. 
{ B ,  ( A  \  B ) } x )
2511, 24jca 530 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( { B ,  ( A 
\  B ) }  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  { B ,  ( A  \  B ) } x
) )
26 measvun 28417 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  { B ,  ( A  \  B ) }  e.  ~P S  /\  ( { B ,  ( A 
\  B ) }  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  { B ,  ( A  \  B ) } x
) )  ->  ( M `  U. { B ,  ( A  \  B ) } )  = Σ* x  e.  { B ,  ( A  \  B ) }  ( M `  x )
)
271, 9, 25, 26syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  U. { B ,  ( A  \  B ) } )  = Σ* x  e.  { B ,  ( A  \  B ) }  ( M `  x )
)
282, 7jca 530 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( B  e.  S  /\  ( A  \  B )  e.  S ) )
29 uniprg 4249 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B )  e.  S )  ->  U. { B ,  ( A  \  B ) }  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
30 undif 3896 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  =  A )
3130biimpi 194 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  =  A )
3229, 31sylan9eq 2515 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B
)  e.  S )  /\  B  C_  A
)  ->  U. { B ,  ( A  \  B ) }  =  A )
3332fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B
)  e.  S )  /\  B  C_  A
)  ->  ( M `  U. { B , 
( A  \  B
) } )  =  ( M `  A
) )
3428, 12, 33syl2anc 659 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  U. { B ,  ( A  \  B ) } )  =  ( M `  A ) )
35 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  x  =  B )  ->  x  =  B )
3635fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  x  =  B )  ->  ( M `  x )  =  ( M `  B ) )
37 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  x  =  ( A  \  B ) )  ->  x  =  ( A  \  B ) )
3837fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  x  =  ( A  \  B ) )  ->  ( M `  x )  =  ( M `  ( A 
\  B ) ) )
39 measvxrge0 28413 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
401, 2, 39syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
41 measvxrge0 28413 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  \  B )  e.  S
)  ->  ( M `  ( A  \  B
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
421, 7, 41syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  ( A  \  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
43 eqimss 3541 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  ( A  \  B )  ->  B  C_  ( A  \  B
) )
44 ssdifeq0 3898 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  ( A  \  B )  <->  B  =  (/) )
4543, 44sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( A  \  B )  ->  B  =  (/) )
4645fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( A  \  B )  ->  ( M `  B )  =  ( M `  (/) ) )
47 measvnul 28414 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
4846, 47sylan9eqr 2517 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  =  ( A  \  B ) )  ->  ( M `  B )  =  0 )
491, 48sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  B  =  ( A  \  B ) )  ->  ( M `  B )  =  0 )
5049orcd 390 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  B  =  ( A  \  B ) )  ->  ( ( M `  B )  =  0  \/  ( M `  B )  = +oo ) )
5150ex 432 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( B  =  ( A  \  B )  ->  (
( M `  B
)  =  0  \/  ( M `  B
)  = +oo )
) )
5236, 38, 2, 7, 40, 42, 51esumpr2 28296 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  -> Σ* x  e.  { B ,  ( A  \  B ) }  ( M `  x )  =  ( ( M `
 B ) +e ( M `  ( A  \  B ) ) ) )
5327, 34, 523eqtr3d 2503 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  A )  =  ( ( M `
 B ) +e ( M `  ( A  \  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {cpr 4018   U.cuni 4235  Disj wdisj 4410   class class class wbr 4439   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   omcom 6673    ~<_ cdom 7507   0cc0 9481   +oocpnf 9614   +ecxad 11319   [,]cicc 11535  Σ*cesum 28256  sigAlgebracsiga 28337  measurescmeas 28403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-ac 8488  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-ordt 14990  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-ps 16029  df-tsr 16030  df-plusf 16070  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-subrg 17622  df-abv 17661  df-lmod 17709  df-scaf 17710  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-tmd 20737  df-tgp 20738  df-tsms 20791  df-trg 20828  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-nm 21269  df-ngp 21270  df-nrg 21272  df-nlm 21273  df-ii 21547  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-esum 28257  df-siga 28338  df-meas 28404
This theorem is referenced by:  measun  28419
  Copyright terms: Public domain W3C validator