Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measxun2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem measxun2 29106
Description: The measure the union of two complementary sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measxun2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  A )  =  ( ( M `
 B ) +e ( M `  ( A  \  B ) ) ) )

Proof of Theorem measxun2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1030 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
2 simp2r 1057 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  S )
3 measbase 29093 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
41, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
5 simp2l 1056 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  A  e.  S )
6 difelsiga 29029 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  e.  S )
74, 5, 2, 6syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B )  e.  S )
8 prelpwi 4647 . . . 4  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B )  e.  S )  ->  { B ,  ( A 
\  B ) }  e.  ~P S )
92, 7, 8syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  { B ,  ( A  \  B ) }  e.  ~P S )
10 prct 28371 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B )  e.  S )  ->  { B ,  ( A 
\  B ) }  ~<_  om )
112, 7, 10syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  { B ,  ( A  \  B ) }  ~<_  om )
12 simp3 1032 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  B  C_  A )
13 disjdifprg2 28263 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  -> Disj  x  e. 
{ ( A  \  B ) ,  ( A  i^i  B ) } x )
14 prcom 4041 . . . . . . . . 9  |-  { ( A  \  B ) ,  B }  =  { B ,  ( A 
\  B ) }
15 dfss 3405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
C_  A  <->  B  =  ( B  i^i  A ) )
1615biimpi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  A  ->  B  =  ( B  i^i  A ) )
17 incom 3616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
1816, 17syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  A  ->  B  =  ( A  i^i  B ) )
1918preq2d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  A  ->  { ( A  \  B ) ,  B }  =  { ( A  \  B ) ,  ( A  i^i  B ) } )
2014, 19syl5eqr 2519 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C_  A  ->  { B ,  ( A  \  B ) }  =  { ( A  \  B ) ,  ( A  i^i  B ) } )
2120disjeq1d 4374 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  A  ->  (Disj  x  e.  { B , 
( A  \  B
) } x  <-> Disj  x  e.  {
( A  \  B
) ,  ( A  i^i  B ) } x ) )
2221biimprd 231 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  (Disj  x  e.  { ( A 
\  B ) ,  ( A  i^i  B
) } x  -> Disj  x  e.  { B , 
( A  \  B
) } x ) )
2313, 22mpan9 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  C_  A )  -> Disj  x  e.  { B , 
( A  \  B
) } x )
245, 12, 23syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  -> Disj  x  e. 
{ B ,  ( A  \  B ) } x )
2511, 24jca 541 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( { B ,  ( A 
\  B ) }  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  { B ,  ( A  \  B ) } x
) )
26 measvun 29105 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  { B ,  ( A  \  B ) }  e.  ~P S  /\  ( { B ,  ( A 
\  B ) }  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  { B ,  ( A  \  B ) } x
) )  ->  ( M `  U. { B ,  ( A  \  B ) } )  = Σ* x  e.  { B ,  ( A  \  B ) }  ( M `  x )
)
271, 9, 25, 26syl3anc 1292 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  U. { B ,  ( A  \  B ) } )  = Σ* x  e.  { B ,  ( A  \  B ) }  ( M `  x )
)
282, 7jca 541 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( B  e.  S  /\  ( A  \  B )  e.  S ) )
29 uniprg 4204 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B )  e.  S )  ->  U. { B ,  ( A  \  B ) }  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
30 undif 3839 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  =  A )
3130biimpi 199 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  =  A )
3229, 31sylan9eq 2525 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B
)  e.  S )  /\  B  C_  A
)  ->  U. { B ,  ( A  \  B ) }  =  A )
3332fveq2d 5883 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B
)  e.  S )  /\  B  C_  A
)  ->  ( M `  U. { B , 
( A  \  B
) } )  =  ( M `  A
) )
3428, 12, 33syl2anc 673 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  U. { B ,  ( A  \  B ) } )  =  ( M `  A ) )
35 simpr 468 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  x  =  B )  ->  x  =  B )
3635fveq2d 5883 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  x  =  B )  ->  ( M `  x )  =  ( M `  B ) )
37 simpr 468 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  x  =  ( A  \  B ) )  ->  x  =  ( A  \  B ) )
3837fveq2d 5883 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  x  =  ( A  \  B ) )  ->  ( M `  x )  =  ( M `  ( A 
\  B ) ) )
39 measvxrge0 29101 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
401, 2, 39syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
41 measvxrge0 29101 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  \  B )  e.  S
)  ->  ( M `  ( A  \  B
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
421, 7, 41syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  ( A  \  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
43 eqimss 3470 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  ( A  \  B )  ->  B  C_  ( A  \  B
) )
44 ssdifeq0 3841 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  ( A  \  B )  <->  B  =  (/) )
4543, 44sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( A  \  B )  ->  B  =  (/) )
4645fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( A  \  B )  ->  ( M `  B )  =  ( M `  (/) ) )
47 measvnul 29102 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
4846, 47sylan9eqr 2527 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  =  ( A  \  B ) )  ->  ( M `  B )  =  0 )
491, 48sylan 479 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  B  =  ( A  \  B ) )  ->  ( M `  B )  =  0 )
5049orcd 399 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  B  =  ( A  \  B ) )  ->  ( ( M `  B )  =  0  \/  ( M `  B )  = +oo ) )
5150ex 441 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( B  =  ( A  \  B )  ->  (
( M `  B
)  =  0  \/  ( M `  B
)  = +oo )
) )
5236, 38, 2, 7, 40, 42, 51esumpr2 28962 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  -> Σ* x  e.  { B ,  ( A  \  B ) }  ( M `  x )  =  ( ( M `
 B ) +e ( M `  ( A  \  B ) ) ) )
5327, 34, 523eqtr3d 2513 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  A )  =  ( ( M `
 B ) +e ( M `  ( A  \  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {cpr 3961   U.cuni 4190  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711    ~<_ cdom 7585   0cc0 9557   +oocpnf 9690   +ecxad 11430   [,]cicc 11663  Σ*cesum 28922  sigAlgebracsiga 29003  measurescmeas 29091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-plusf 16565  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-lmod 18171  df-scaf 18172  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tmd 21165  df-tgp 21166  df-tsms 21219  df-trg 21252  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nrg 21678  df-nlm 21679  df-ii 21987  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-esum 28923  df-siga 29004  df-meas 29092
This theorem is referenced by:  measun  29107
  Copyright terms: Public domain W3C validator