Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measxun2 Structured version   Unicode version

Theorem measxun2 26789
Description: The measure the union of two complementary sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measxun2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  A )  =  ( ( M `
 B ) +e ( M `  ( A  \  B ) ) ) )

Proof of Theorem measxun2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
2 simp2r 1015 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  S )
3 measbase 26776 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
41, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
5 simp2l 1014 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  A  e.  S )
6 difelsiga 26741 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  e.  S )
74, 5, 2, 6syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B )  e.  S )
8 prelpwi 4650 . . . 4  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B )  e.  S )  ->  { B ,  ( A 
\  B ) }  e.  ~P S )
92, 7, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  { B ,  ( A  \  B ) }  e.  ~P S )
10 prct 26183 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B )  e.  S )  ->  { B ,  ( A 
\  B ) }  ~<_  om )
112, 7, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  { B ,  ( A  \  B ) }  ~<_  om )
12 simp3 990 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  B  C_  A )
13 disjdifprg2 26091 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  -> Disj  x  e. 
{ ( A  \  B ) ,  ( A  i^i  B ) } x )
14 prcom 4064 . . . . . . . . 9  |-  { ( A  \  B ) ,  B }  =  { B ,  ( A 
\  B ) }
15 dfss 3454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
C_  A  <->  B  =  ( B  i^i  A ) )
1615biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  A  ->  B  =  ( B  i^i  A ) )
17 incom 3654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
1816, 17syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  A  ->  B  =  ( A  i^i  B ) )
1918preq2d 4072 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  A  ->  { ( A  \  B ) ,  B }  =  { ( A  \  B ) ,  ( A  i^i  B ) } )
2014, 19syl5eqr 2509 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C_  A  ->  { B ,  ( A  \  B ) }  =  { ( A  \  B ) ,  ( A  i^i  B ) } )
2120disjeq1d 4381 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  A  ->  (Disj  x  e.  { B , 
( A  \  B
) } x  <-> Disj  x  e.  {
( A  \  B
) ,  ( A  i^i  B ) } x ) )
2221biimprd 223 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  (Disj  x  e.  { ( A 
\  B ) ,  ( A  i^i  B
) } x  -> Disj  x  e.  { B , 
( A  \  B
) } x ) )
2313, 22mpan9 469 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  C_  A )  -> Disj  x  e.  { B , 
( A  \  B
) } x )
245, 12, 23syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  -> Disj  x  e. 
{ B ,  ( A  \  B ) } x )
2511, 24jca 532 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( { B ,  ( A 
\  B ) }  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  { B ,  ( A  \  B ) } x
) )
26 measvun 26788 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  { B ,  ( A  \  B ) }  e.  ~P S  /\  ( { B ,  ( A 
\  B ) }  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  { B ,  ( A  \  B ) } x
) )  ->  ( M `  U. { B ,  ( A  \  B ) } )  = Σ* x  e.  { B ,  ( A  \  B ) }  ( M `  x )
)
271, 9, 25, 26syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  U. { B ,  ( A  \  B ) } )  = Σ* x  e.  { B ,  ( A  \  B ) }  ( M `  x )
)
282, 7jca 532 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( B  e.  S  /\  ( A  \  B )  e.  S ) )
29 uniprg 4216 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B )  e.  S )  ->  U. { B ,  ( A  \  B ) }  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
30 undif 3870 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  =  A )
3130biimpi 194 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  =  A )
3229, 31sylan9eq 2515 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B
)  e.  S )  /\  B  C_  A
)  ->  U. { B ,  ( A  \  B ) }  =  A )
3332fveq2d 5806 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  S  /\  ( A  \  B
)  e.  S )  /\  B  C_  A
)  ->  ( M `  U. { B , 
( A  \  B
) } )  =  ( M `  A
) )
3428, 12, 33syl2anc 661 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  U. { B ,  ( A  \  B ) } )  =  ( M `  A ) )
35 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  x  =  B )  ->  x  =  B )
3635fveq2d 5806 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  x  =  B )  ->  ( M `  x )  =  ( M `  B ) )
37 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  x  =  ( A  \  B ) )  ->  x  =  ( A  \  B ) )
3837fveq2d 5806 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  x  =  ( A  \  B ) )  ->  ( M `  x )  =  ( M `  ( A 
\  B ) ) )
39 measvxrge0 26784 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
401, 2, 39syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
41 measvxrge0 26784 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  \  B )  e.  S
)  ->  ( M `  ( A  \  B
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
421, 7, 41syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  ( A  \  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
43 eqimss 3519 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  ( A  \  B )  ->  B  C_  ( A  \  B
) )
44 ssdifeq0 3872 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  ( A  \  B )  <->  B  =  (/) )
4543, 44sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( A  \  B )  ->  B  =  (/) )
4645fveq2d 5806 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( A  \  B )  ->  ( M `  B )  =  ( M `  (/) ) )
47 measvnul 26785 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
4846, 47sylan9eqr 2517 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  =  ( A  \  B ) )  ->  ( M `  B )  =  0 )
491, 48sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  B  =  ( A  \  B ) )  ->  ( M `  B )  =  0 )
5049orcd 392 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  /\  B  =  ( A  \  B ) )  ->  ( ( M `  B )  =  0  \/  ( M `  B )  = +oo ) )
5150ex 434 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( B  =  ( A  \  B )  ->  (
( M `  B
)  =  0  \/  ( M `  B
)  = +oo )
) )
5236, 38, 2, 7, 40, 42, 51esumpr2 26682 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  -> Σ* x  e.  { B ,  ( A  \  B ) }  ( M `  x )  =  ( ( M `
 B ) +e ( M `  ( A  \  B ) ) ) )
5327, 34, 523eqtr3d 2503 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  A )  ->  ( M `  A )  =  ( ( M `
 B ) +e ( M `  ( A  \  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3436    u. cun 3437    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   {cpr 3990   U.cuni 4202  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4403   ran crn 4952   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   omcom 6589    ~<_ cdom 7421   0cc0 9396   +oocpnf 9529   +ecxad 11201   [,]cicc 11417  Σ*cesum 26648  sigAlgebracsiga 26715  measurescmeas 26774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-ac2 8746  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-disj 4374  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-acn 8226  df-ac 8400  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ioc 11419  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-fac 12172  df-bc 12199  df-hash 12224  df-shft 12677  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-limsup 13070  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-ef 13474  df-sin 13476  df-cos 13477  df-pi 13479  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-ordt 14561  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-ps 15492  df-tsr 15493  df-mnd 15537  df-plusf 15538  df-mhm 15586  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-mulg 15670  df-subg 15800  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-cring 16774  df-subrg 16989  df-abv 17028  df-lmod 17076  df-scaf 17077  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-lp 18875  df-perf 18876  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-tmd 19778  df-tgp 19779  df-tsms 19832  df-trg 19869  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-nm 20310  df-ngp 20311  df-nrg 20313  df-nlm 20314  df-ii 20588  df-cncf 20589  df-limc 21477  df-dv 21478  df-log 22144  df-esum 26649  df-siga 26716  df-meas 26775
This theorem is referenced by:  measun  26790
  Copyright terms: Public domain W3C validator