Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem0 Structured version   Unicode version

Theorem measvunilem0 26639
Description: Lemma for measvuni 26640. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.0.1  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
measvunilem0  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  = Σ* x  e.  A
( M `  B
) )
Distinct variable groups:    x, M    x, S
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem measvunilem0
StepHypRef Expression
1 simp3l 1016 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A  ~<_  om )
2 ctex 26020 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
3 measvunilem.0.1 . . . 4  |-  F/_ x A
43esum0 26515 . . 3  |-  ( A  e.  _V  -> Σ* x  e.  A
0  =  0 )
51, 2, 43syl 20 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Σ* x  e.  A 0  =  0 )
6 nfv 1673 . . . 4  |-  F/ x  M  e.  (measures `  S
)
7 nfra1 2778 . . . 4  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  { (/) }
8 nfcv 2589 . . . . . 6  |-  F/_ x  ~<_
9 nfcv 2589 . . . . . 6  |-  F/_ x om
103, 8, 9nfbr 4348 . . . . 5  |-  F/ x  A  ~<_  om
11 nfdisj1 4287 . . . . 5  |-  F/ xDisj  x  e.  A  B
1210, 11nfan 1861 . . . 4  |-  F/ x
( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )
136, 7, 12nf3an 1863 . . 3  |-  F/ x
( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )
14 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A  =  A )
15 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  { (/) } )
1615r19.21bi 2826 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  {
(/) } )
17 elsni 3914 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { (/) }  ->  B  =  (/) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  B  =  (/) )
1918fveq2d 5707 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  B )  =  ( M `  (/) ) )
20 measvnul 26632 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
21203ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
2221adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
2319, 22eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  B )  =  0 )
2413, 14, 23esumeq12dvaf 26499 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Σ* x  e.  A ( M `  B )  = Σ* x  e.  A 0 )
2513, 3, 3, 14, 18iuneq12daf 25920 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  (/) )
26 iun0 4238 . . . . 5  |-  U_ x  e.  A  (/)  =  (/)
2725, 26syl6eq 2491 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B  =  (/) )
2827fveq2d 5707 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  =  ( M `
 (/) ) )
2928, 21eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  =  0 )
305, 24, 293eqtr4rd 2486 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  = Σ* x  e.  A
( M `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   F/_wnfc 2575   A.wral 2727   _Vcvv 2984   (/)c0 3649   {csn 3889   U_ciun 4183  Disj wdisj 4274   class class class wbr 4304   ` cfv 5430   omcom 6488    ~<_ cdom 7320   0cc0 9294  Σ*cesum 26495  measurescmeas 26621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-disj 4275  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-xadd 11102  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-hash 12116  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-ordt 14451  df-xrs 14452  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-ps 15382  df-tsr 15383  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-ntr 18636  df-nei 18714  df-cn 18843  df-haus 18931  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-tsms 19709  df-esum 26496  df-meas 26622
This theorem is referenced by:  measvuni  26640
  Copyright terms: Public domain W3C validator