Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem0 Structured version   Unicode version

Theorem measvunilem0 28016
Description: Lemma for measvuni 28017. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.0.1  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
measvunilem0  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  = Σ* x  e.  A
( M `  B
) )
Distinct variable groups:    x, M    x, S
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem measvunilem0
StepHypRef Expression
1 simp3l 1024 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A  ~<_  om )
2 ctex 27362 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
3 measvunilem.0.1 . . . 4  |-  F/_ x A
43esum0 27892 . . 3  |-  ( A  e.  _V  -> Σ* x  e.  A
0  =  0 )
51, 2, 43syl 20 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Σ* x  e.  A 0  =  0 )
6 nfv 1683 . . . 4  |-  F/ x  M  e.  (measures `  S
)
7 nfra1 2848 . . . 4  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  { (/) }
8 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ x  ~<_
9 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ x om
103, 8, 9nfbr 4497 . . . . 5  |-  F/ x  A  ~<_  om
11 nfdisj1 4436 . . . . 5  |-  F/ xDisj  x  e.  A  B
1210, 11nfan 1875 . . . 4  |-  F/ x
( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )
136, 7, 12nf3an 1877 . . 3  |-  F/ x
( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )
14 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A  =  A )
15 simp2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  { (/) } )
1615r19.21bi 2836 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  {
(/) } )
17 elsni 4058 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { (/) }  ->  B  =  (/) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  B  =  (/) )
1918fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  B )  =  ( M `  (/) ) )
20 measvnul 28009 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
21203ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
2221adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
2319, 22eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  B )  =  0 )
2413, 14, 23esumeq12dvaf 27876 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Σ* x  e.  A ( M `  B )  = Σ* x  e.  A 0 )
2513, 3, 3, 14, 18iuneq12daf 27256 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  (/) )
26 iun0 4387 . . . . 5  |-  U_ x  e.  A  (/)  =  (/)
2725, 26syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B  =  (/) )
2827fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  =  ( M `
 (/) ) )
2928, 21eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  =  0 )
305, 24, 293eqtr4rd 2519 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  = Σ* x  e.  A
( M `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   A.wral 2817   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   {csn 4033   U_ciun 4331  Disj wdisj 4423   class class class wbr 4453   ` cfv 5594   omcom 6695    ~<_ cdom 7526   0cc0 9504  Σ*cesum 27872  measurescmeas 27998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-xadd 11331  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-ordt 14772  df-xrs 14773  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-ps 15703  df-tsr 15704  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-ntr 19387  df-nei 19465  df-cn 19594  df-haus 19682  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-tsms 20491  df-esum 27873  df-meas 27999
This theorem is referenced by:  measvuni  28017
  Copyright terms: Public domain W3C validator