Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem0 Structured version   Unicode version

Theorem measvunilem0 28345
Description: Lemma for measvuni 28346. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.0.1  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
measvunilem0  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  = Σ* x  e.  A
( M `  B
) )
Distinct variable groups:    x, M    x, S
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem measvunilem0
StepHypRef Expression
1 simp3l 1024 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A  ~<_  om )
2 ctex 27681 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
3 measvunilem.0.1 . . . 4  |-  F/_ x A
43esum0 28215 . . 3  |-  ( A  e.  _V  -> Σ* x  e.  A
0  =  0 )
51, 2, 43syl 20 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Σ* x  e.  A 0  =  0 )
6 nfv 1708 . . . 4  |-  F/ x  M  e.  (measures `  S
)
7 nfra1 2838 . . . 4  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  { (/) }
8 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ x  ~<_
9 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ x om
103, 8, 9nfbr 4500 . . . . 5  |-  F/ x  A  ~<_  om
11 nfdisj1 4440 . . . . 5  |-  F/ xDisj  x  e.  A  B
1210, 11nfan 1929 . . . 4  |-  F/ x
( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )
136, 7, 12nf3an 1931 . . 3  |-  F/ x
( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )
14 eqidd 2458 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A  =  A )
15 simp2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  { (/) } )
1615r19.21bi 2826 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  {
(/) } )
17 elsni 4057 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { (/) }  ->  B  =  (/) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  B  =  (/) )
1918fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  B )  =  ( M `  (/) ) )
20 measvnul 28338 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
21203ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
2221adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
2319, 22eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  B )  =  0 )
2413, 14, 23esumeq12dvaf 28197 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Σ* x  e.  A ( M `  B )  = Σ* x  e.  A 0 )
2513, 3, 3, 14, 18iuneq12daf 27559 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  (/) )
26 iun0 4388 . . . . 5  |-  U_ x  e.  A  (/)  =  (/)
2725, 26syl6eq 2514 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B  =  (/) )
2827fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  =  ( M `
 (/) ) )
2928, 21eqtrd 2498 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  =  0 )
305, 24, 293eqtr4rd 2509 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  = Σ* x  e.  A
( M `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   F/_wnfc 2605   A.wral 2807   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   {csn 4032   U_ciun 4332  Disj wdisj 4427   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   omcom 6699    ~<_ cdom 7533   0cc0 9509  Σ*cesum 28193  measurescmeas 28327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-ordt 14917  df-xrs 14918  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-ps 15956  df-tsr 15957  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-ntr 19647  df-nei 19725  df-cn 19854  df-haus 19942  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-tsms 20750  df-esum 28194  df-meas 28328
This theorem is referenced by:  measvuni  28346
  Copyright terms: Public domain W3C validator