Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem0 Structured version   Unicode version

Theorem measvunilem0 29044
Description: Lemma for measvuni 29045. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.0.1  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
measvunilem0  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  = Σ* x  e.  A
( M `  B
) )
Distinct variable groups:    x, M    x, S
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem measvunilem0
StepHypRef Expression
1 simp3l 1033 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A  ~<_  om )
2 ctex 28299 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
3 measvunilem.0.1 . . . 4  |-  F/_ x A
43esum0 28879 . . 3  |-  ( A  e.  _V  -> Σ* x  e.  A
0  =  0 )
51, 2, 43syl 18 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Σ* x  e.  A 0  =  0 )
6 nfv 1755 . . . 4  |-  F/ x  M  e.  (measures `  S
)
7 nfra1 2803 . . . 4  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  { (/) }
8 nfcv 2580 . . . . . 6  |-  F/_ x  ~<_
9 nfcv 2580 . . . . . 6  |-  F/_ x om
103, 8, 9nfbr 4468 . . . . 5  |-  F/ x  A  ~<_  om
11 nfdisj1 4407 . . . . 5  |-  F/ xDisj  x  e.  A  B
1210, 11nfan 1988 . . . 4  |-  F/ x
( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )
136, 7, 12nf3an 1990 . . 3  |-  F/ x
( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )
14 eqidd 2423 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A  =  A )
15 simp2 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  { (/) } )
1615r19.21bi 2791 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  {
(/) } )
17 elsni 4023 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { (/) }  ->  B  =  (/) )
1816, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  B  =  (/) )
1918fveq2d 5886 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  B )  =  ( M `  (/) ) )
20 measvnul 29037 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
21203ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
2221adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
2319, 22eqtrd 2463 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  { (/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  B )  =  0 )
2413, 14, 23esumeq12dvaf 28861 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Σ* x  e.  A ( M `  B )  = Σ* x  e.  A 0 )
2513, 3, 3, 14, 18iuneq12daf 28173 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  (/) )
26 iun0 4355 . . . . 5  |-  U_ x  e.  A  (/)  =  (/)
2725, 26syl6eq 2479 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B  =  (/) )
2827fveq2d 5886 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  =  ( M `
 (/) ) )
2928, 21eqtrd 2463 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  =  0 )
305, 24, 293eqtr4rd 2474 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  {
(/) }  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B
)  = Σ* x  e.  A
( M `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   F/_wnfc 2566   A.wral 2771   _Vcvv 3080   (/)c0 3761   {csn 3998   U_ciun 4299  Disj wdisj 4394   class class class wbr 4423   ` cfv 5601   omcom 6707    ~<_ cdom 7579   0cc0 9547  Σ*cesum 28857  measurescmeas 29026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-fi 7935  df-sup 7966  df-inf 7967  df-oi 8035  df-card 8382  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-q 11273  df-xadd 11418  df-ioo 11647  df-ioc 11648  df-ico 11649  df-icc 11650  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-ordt 15399  df-xrs 15400  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-ps 16446  df-tsr 16447  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19920  df-bases 19921  df-topon 19922  df-topsp 19923  df-ntr 20034  df-nei 20113  df-cn 20242  df-haus 20330  df-fil 20860  df-fm 20952  df-flim 20953  df-flf 20954  df-tsms 21140  df-esum 28858  df-meas 29027
This theorem is referenced by:  measvuni  29045
  Copyright terms: Public domain W3C validator