Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem Structured version   Unicode version

Theorem measvunilem 29042
Description: Lemma for measvuni 29044 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.1  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
measvunilem  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `  B )
)
Distinct variable groups:    x, M    x, S
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem measvunilem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  M  e.  (measures `  S
) )
2 simp3l 1033 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A  ~<_  om )
3 measvunilem.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x A
43abrexctf 28312 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om )
52, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om )
6 ctex 28298 . . . . 5  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
8 simp2 1006 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
9 eldifi 3587 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( S  \  { (/) } )  ->  B  e.  S )
109ralimi 2815 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  A. x  e.  A  B  e.  S )
11 nfcv 2580 . . . . . . 7  |-  F/_ x S
1211abrexss 28145 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  S  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S )
1310, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S )
148, 13syl 17 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S
)
15 elpwg 3989 . . . . 5  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V  ->  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S  <->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S ) )
1615biimpar 487 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V  /\ 
{ y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S
)  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S )
177, 14, 16syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S )
18 simp3r 1034 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Disj  x  e.  A  B )
193disjabrexf 28195 . . . 4  |-  (Disj  x  e.  A  B  -> Disj  z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } z )
2018, 19syl 17 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Disj  z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
z )
21 measvun 29039 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S  /\  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
z ) )  -> 
( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )  = Σ* z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } 
( M `  z
) )
221, 17, 5, 20, 21syl112anc 1268 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> 
( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )  = Σ* z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } 
( M `  z
) )
23 dfiun2g 4331 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
2423fveq2d 5885 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } ) )
258, 24syl 17 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } ) )
26 nfcv 2580 . . 3  |-  F/_ x
( M `  z
)
27 nfv 1755 . . . 4  |-  F/ x  M  e.  (measures `  S
)
28 nfra1 2803 . . . 4  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )
29 nfcv 2580 . . . . . 6  |-  F/_ x  ~<_
30 nfcv 2580 . . . . . 6  |-  F/_ x om
313, 29, 30nfbr 4468 . . . . 5  |-  F/ x  A  ~<_  om
32 nfdisj1 4407 . . . . 5  |-  F/ xDisj  x  e.  A  B
3331, 32nfan 1988 . . . 4  |-  F/ x
( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )
3427, 28, 33nf3an 1990 . . 3  |-  F/ x
( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )
35 fveq2 5881 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  ( M `  z )  =  ( M `  B ) )
36 ctex 28298 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
372, 36syl 17 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A  e.  _V )
388r19.21bi 2791 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
3934, 3, 38, 18disjdsct 28285 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  Fun  `' ( x  e.  A  |->  B ) )
40 simpl1 1008 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  M  e.  (measures `  S ) )
41 measvxrge0 29035 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
429, 41sylan2 476 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4340, 38, 42syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4426, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38esumc 28880 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Σ* x  e.  A ( M `  B )  = Σ* z  e. 
{ y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ( M `
 z ) )
4522, 25, 443eqtr4d 2473 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   {cab 2407   F/_wnfc 2566   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3981   {csn 3998   U.cuni 4219   U_ciun 4299  Disj wdisj 4394   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   omcom 6706    ~<_ cdom 7578   0cc0 9546   +oocpnf 9679   [,]cicc 11645  Σ*cesum 28856  measurescmeas 29025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-ac2 8900  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-ac 8554  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-xadd 11417  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-hash 12522  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-ordt 15398  df-xrs 15399  df-ps 16445  df-tsr 16446  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-ntr 20033  df-nei 20112  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-tsms 21139  df-esum 28857  df-meas 29026
This theorem is referenced by:  measvuni  29044
  Copyright terms: Public domain W3C validator