Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem Structured version   Unicode version

Theorem measvunilem 26746
Description: Lemma for measvuni 26748 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.1  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
measvunilem  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `  B )
)
Distinct variable groups:    x, M    x, S
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem measvunilem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  M  e.  (measures `  S
) )
2 simp3l 1016 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A  ~<_  om )
3 measvunilem.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x A
43abrexctf 26142 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om )
52, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om )
6 ctex 26128 . . . . 5  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
8 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
9 eldifi 3562 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( S  \  { (/) } )  ->  B  e.  S )
109ralimi 2806 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  A. x  e.  A  B  e.  S )
11 nfcv 2610 . . . . . . 7  |-  F/_ x S
1211abrexss 26014 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  S  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S )
1310, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S )
148, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S
)
15 elpwg 3952 . . . . 5  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V  ->  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S  <->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S ) )
1615biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V  /\ 
{ y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S
)  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S )
177, 14, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S )
18 simp3r 1017 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Disj  x  e.  A  B )
193disjabrexf 26047 . . . 4  |-  (Disj  x  e.  A  B  -> Disj  z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } z )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Disj  z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
z )
21 measvun 26743 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S  /\  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
z ) )  -> 
( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )  = Σ* z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } 
( M `  z
) )
221, 17, 5, 20, 21syl112anc 1223 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> 
( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )  = Σ* z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } 
( M `  z
) )
23 dfiun2g 4286 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
2423fveq2d 5779 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } ) )
258, 24syl 16 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } ) )
26 nfv 1674 . . . 4  |-  F/ x  M  e.  (measures `  S
)
27 nfra1 2852 . . . 4  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )
28 nfcv 2610 . . . . . 6  |-  F/_ x  ~<_
29 nfcv 2610 . . . . . 6  |-  F/_ x om
303, 28, 29nfbr 4420 . . . . 5  |-  F/ x  A  ~<_  om
31 nfdisj1 4359 . . . . 5  |-  F/ xDisj  x  e.  A  B
3230, 31nfan 1862 . . . 4  |-  F/ x
( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )
3326, 27, 32nf3an 1864 . . 3  |-  F/ x
( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )
34 fveq2 5775 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  ( M `  z )  =  ( M `  B ) )
35 ctex 26128 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
362, 35syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A  e.  _V )
378r19.21bi 2896 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
3833, 3, 37, 18disjdsct 26118 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  Fun  `' ( x  e.  A  |->  B ) )
39 simpl1 991 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  M  e.  (measures `  S ) )
40 measvxrge0 26739 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
419, 40sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4239, 37, 41syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4333, 3, 34, 36, 38, 42, 37esumc 26625 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Σ* x  e.  A ( M `  B )  = Σ* z  e. 
{ y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ( M `
 z ) )
4422, 25, 433eqtr4d 2500 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   {cab 2435   F/_wnfc 2596   A.wral 2792   E.wrex 2793   _Vcvv 3054    \ cdif 3409    C_ wss 3412   (/)c0 3721   ~Pcpw 3944   {csn 3961   U.cuni 4175   U_ciun 4255  Disj wdisj 4346   class class class wbr 4376   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   omcom 6562    ~<_ cdom 7394   0cc0 9369   +oocpnf 9502   [,]cicc 11390  Σ*cesum 26603  measurescmeas 26729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-ac2 8719  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-disj 4347  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-fi 7748  df-oi 7811  df-card 8196  df-acn 8199  df-ac 8373  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-xadd 11177  df-icc 11394  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-hash 12191  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-rest 14449  df-topn 14450  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-topgen 14470  df-ordt 14527  df-xrs 14528  df-ps 15458  df-tsr 15459  df-mnd 15503  df-submnd 15553  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-fbas 17909  df-fg 17910  df-top 18605  df-bases 18607  df-topon 18608  df-topsp 18609  df-ntr 18726  df-nei 18804  df-fil 19521  df-fm 19613  df-flim 19614  df-flf 19615  df-tsms 19799  df-esum 26604  df-meas 26730
This theorem is referenced by:  measvuni  26748
  Copyright terms: Public domain W3C validator