Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem Structured version   Unicode version

Theorem measvunilem 28339
Description: Lemma for measvuni 28341 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.1  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
measvunilem  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `  B )
)
Distinct variable groups:    x, M    x, S
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem measvunilem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 994 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  M  e.  (measures `  S
) )
2 simp3l 1022 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A  ~<_  om )
3 measvunilem.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x A
43abrexctf 27694 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om )
52, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om )
6 ctex 27680 . . . . 5  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
8 simp2 995 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
9 eldifi 3540 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( S  \  { (/) } )  ->  B  e.  S )
109ralimi 2775 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  A. x  e.  A  B  e.  S )
11 nfcv 2544 . . . . . . 7  |-  F/_ x S
1211abrexss 27528 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  S  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S )
1310, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S )
148, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S
)
15 elpwg 3935 . . . . 5  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V  ->  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S  <->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S ) )
1615biimpar 483 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V  /\ 
{ y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S
)  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S )
177, 14, 16syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S )
18 simp3r 1023 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Disj  x  e.  A  B )
193disjabrexf 27573 . . . 4  |-  (Disj  x  e.  A  B  -> Disj  z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } z )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Disj  z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
z )
21 measvun 28336 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S  /\  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
z ) )  -> 
( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )  = Σ* z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } 
( M `  z
) )
221, 17, 5, 20, 21syl112anc 1230 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> 
( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )  = Σ* z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } 
( M `  z
) )
23 dfiun2g 4275 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
2423fveq2d 5778 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } ) )
258, 24syl 16 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } ) )
26 nfcv 2544 . . 3  |-  F/_ x
( M `  z
)
27 nfv 1715 . . . 4  |-  F/ x  M  e.  (measures `  S
)
28 nfra1 2763 . . . 4  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )
29 nfcv 2544 . . . . . 6  |-  F/_ x  ~<_
30 nfcv 2544 . . . . . 6  |-  F/_ x om
313, 29, 30nfbr 4411 . . . . 5  |-  F/ x  A  ~<_  om
32 nfdisj1 4351 . . . . 5  |-  F/ xDisj  x  e.  A  B
3331, 32nfan 1936 . . . 4  |-  F/ x
( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )
3427, 28, 33nf3an 1938 . . 3  |-  F/ x
( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )
35 fveq2 5774 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  ( M `  z )  =  ( M `  B ) )
36 ctex 27680 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
372, 36syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  A  e.  _V )
388r19.21bi 2751 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
3934, 3, 38, 18disjdsct 27668 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  ->  Fun  `' ( x  e.  A  |->  B ) )
40 simpl1 997 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  M  e.  (measures `  S ) )
41 measvxrge0 28332 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
429, 41sylan2 472 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4340, 38, 42syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4426, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38esumc 28199 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> Σ* x  e.  A ( M `  B )  = Σ* z  e. 
{ y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ( M `
 z ) )
4522, 25, 443eqtr4d 2433 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   {cab 2367   F/_wnfc 2530   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   {csn 3944   U.cuni 4163   U_ciun 4243  Disj wdisj 4338   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   omcom 6599    ~<_ cdom 7433   0cc0 9403   +oocpnf 9536   [,]cicc 11453  Σ*cesum 28175  measurescmeas 28322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-ac2 8756  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-oi 7850  df-card 8233  df-acn 8236  df-ac 8410  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-xadd 11240  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-ordt 14908  df-xrs 14909  df-ps 15947  df-tsr 15948  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-ntr 19606  df-nei 19685  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-tsms 20710  df-esum 28176  df-meas 28323
This theorem is referenced by:  measvuni  28341
  Copyright terms: Public domain W3C validator