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Theorem measvuni 28675
Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of  S. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measvuni  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `
 B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    x, S
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem measvuni
StepHypRef Expression
1 simp1 999 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
2 rabid 2986 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  <->  ( x  e.  A  /\  B  e. 
{ (/) } ) )
32simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ->  B  e.  { (/) } )
43adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  B  e.  {
(/) } )
54ralrimiva 2820 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  { (/)
} )
653ad2ant1 1020 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  { (/)
} )
7 ssrab2 3526 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  C_  A
8 ssct 27991 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  C_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
97, 8mpan 670 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
11103ad2ant3 1022 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
12 simp3r 1028 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Disj  x  e.  A  B )
13 nfrab1 2990 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
14 nfcv 2566 . . . . . 6  |-  F/_ x A
1513, 14disjss1f 27878 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  C_  A  ->  (Disj  x  e.  A  B  -> Disj  x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B ) )
167, 12, 15mpsyl 64 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Disj  x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B )
1713measvunilem0 28674 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  { (/)
}  /\  ( {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B
) )  ->  ( M `  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ( M `  B )
)
181, 6, 11, 16, 17syl112anc 1236 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ( M `  B )
)
19 rabid 2986 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  <->  ( x  e.  A  /\  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) )
2019simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
2221ralrimiva 2820 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
23223ad2ant1 1020 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
24 ssrab2 3526 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  C_  A
25 ssct 27991 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  C_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )
2624, 25mpan 670 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ~<_  om )
28273ad2ant3 1022 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )
29 nfrab1 2990 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }
3029, 14disjss1f 27878 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } 
C_  A  ->  (Disj  x  e.  A  B  -> Disj  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B
) )
3124, 12, 30mpsyl 64 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Disj  x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )
3229measvunilem 28673 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ( M `  B )
)
331, 23, 28, 31, 32syl112anc 1236 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ( M `  B )
)
3418, 33oveq12d 6298 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  (
( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B ) +e ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B
) )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ( M `  B ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ( M `  B )
) )
35 nfv 1730 . . . . . . 7  |-  F/ x  M  e.  (measures `  S
)
36 nfra1 2787 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  S
37 nfv 1730 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  ~<_  om
38 nfdisj1 4381 . . . . . . . 8  |-  F/ xDisj  x  e.  A  B
3937, 38nfan 1958 . . . . . . 7  |-  F/ x
( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )
4035, 36, 39nf3an 1960 . . . . . 6  |-  F/ x
( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )
4113, 29nfun 3601 . . . . . 6  |-  F/_ x
( { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )
42 simp2 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  S )
43 rabid2 2987 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  B  e.  S }  <->  A. x  e.  A  B  e.  S )
4442, 43sylibr 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A  =  { x  e.  A  |  B  e.  S } )
45 elun 3586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( { (/) }  u.  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
( B  e.  { (/)
}  \/  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) )
46 measbase 28658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
47 0elsiga 28575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
48 snssi 4118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e.  S  ->  { (/) } 
C_  S )
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  { (/) }  C_  S )
50 undif 3854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
(/) }  C_  S  <->  ( { (/)
}  u.  ( S 
\  { (/) } ) )  =  S )
5149, 50sylib 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( { (/)
}  u.  ( S 
\  { (/) } ) )  =  S )
5251eleq2d 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( B  e.  ( { (/) }  u.  ( S  \  { (/) } ) )  <->  B  e.  S ) )
5345, 52syl5bbr 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( ( B  e.  { (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
B  e.  S ) )
5453rabbidv 3053 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  { x  e.  A  |  ( B  e.  { (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  { x  e.  A  |  B  e.  S } )
55543ad2ant1 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  ( B  e.  { (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  { x  e.  A  |  B  e.  S } )
5644, 55eqtr4d 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A  =  { x  e.  A  |  ( B  e. 
{ (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) } )
57 unrab 3723 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( B  e.  { (/)
}  \/  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) }
5856, 57syl6eqr 2463 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A  =  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) )
59 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  B  =  B )
6040, 14, 41, 58, 59iuneq12df 4297 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) B )
6160fveq2d 5855 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) B ) )
62 iunxun 4358 . . . . 5  |-  U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) B  =  (
U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )
6362fveq2i 5854 . . . 4  |-  ( M `
 U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } ) B )  =  ( M `  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )
6461, 63syl6eq 2461 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
65463ad2ant1 1020 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
6647adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  { (/) } )  ->  (/)  e.  S )
67 elsni 3999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  { (/) }  ->  B  =  (/) )
6867eleq1d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  { (/) }  ->  ( B  e.  S  <->  (/)  e.  S
) )
6968adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  { (/) } )  ->  ( B  e.  S  <->  (/)  e.  S ) )
7066, 69mpbird 234 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  { (/) } )  ->  B  e.  S
)
7146, 3, 70syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  B  e.  S )
7271ralrimiva 2820 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S
)
73723ad2ant1 1020 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S
)
7413sigaclcuni 28579 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S  /\  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S )
7565, 73, 11, 74syl3anc 1232 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S
)
7621eldifad 3428 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  S )
7776ralrimiva 2820 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)
78773ad2ant1 1020 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)
7929sigaclcuni 28579 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B  e.  S  /\  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S )
8065, 78, 28, 79syl3anc 1232 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)
813, 67syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ->  B  =  (/) )
8281iuneq2i 4292 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } (/)
83 iun0 4329 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } (/)  =  (/)
8482, 83eqtri 2433 . . . . 5  |-  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  (/)
85 ineq1 3636 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (
(/)  i^i  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )
86 incom 3634 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B  i^i  (/) )  =  (
(/)  i^i  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )
87 in0 3767 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B  i^i  (/) )  =  (/)
8886, 87eqtr3i 2435 . . . . . 6  |-  ( (/)  i^i  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B
)  =  (/)
8985, 88syl6eq 2461 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (/) )
9084, 89mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (/) )
91 measun 28672 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S  /\  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)  /\  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (/) )  ->  ( M `  ( U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )  =  ( ( M `
 U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B ) +e
( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
921, 75, 80, 90, 91syl121anc 1237 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )  =  ( ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B
) +e ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
9364, 92eqtrd 2445 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B
) +e ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
9440, 58esumeq1d 28495 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Σ* x  e.  A
( M `  B
)  = Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } ) ( M `  B
) )
95 ctex 27990 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  e.  _V )
9611, 95syl 17 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  e.  _V )
97 ctex 27990 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  e.  _V )
9828, 97syl 17 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  e.  _V )
99 inrab 3724 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  i^i  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( B  e.  { (/)
}  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }
100 noel 3744 . . . . . . . . . 10  |-  -.  B  e.  (/)
101 disjdif 3846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
(/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )  =  (/)
102101eleq2i 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( { (/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
B  e.  (/) )
103100, 102mtbir 299 . . . . . . . . 9  |-  -.  B  e.  ( { (/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )
104 elin 3628 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( { (/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
( B  e.  { (/)
}  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) )
105103, 104mtbi 298 . . . . . . . 8  |-  -.  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
106105rgenw 2767 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  A  -.  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
107 rabeq0 3763 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  | 
( B  e.  { (/)
}  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) )
108106, 107mpbir 211 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  (/)
10999, 108eqtri 2433 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  i^i  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  =  (/)
110109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  i^i  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } )  =  (/) )
1111adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  M  e.  (measures `  S ) )
1121, 71sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  B  e.  S )
113 measvxrge0 28666 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
114111, 112, 113syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
1151adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  M  e.  (measures `  S ) )
11620adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
117116eldifad 3428 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  S )
118115, 117, 113syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11940, 13, 29, 96, 98, 110, 114, 118esumsplit 28513 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } ) ( M `  B
)  =  (Σ* x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ( M `  B ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ( M `  B ) ) )
12094, 119eqtrd 2445 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Σ* x  e.  A
( M `  B
)  =  (Σ* x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ( M `  B ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ( M `  B ) ) )
12134, 93, 1203eqtr4d 2455 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `
 B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3061    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3740   {csn 3974   U.cuni 4193   U_ciun 4273  Disj wdisj 4368   class class class wbr 4397   ran crn 4826   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   omcom 6685    ~<_ cdom 7554   0cc0 9524   +oocpnf 9657   +ecxad 11371   [,]cicc 11587  Σ*cesum 28487  sigAlgebracsiga 28568  measurescmeas 28656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-ac2 8877  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-ac 8531  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014  df-sin 14016  df-cos 14017  df-pi 14019  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-ordt 15117  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-ps 16156  df-tsr 16157  df-plusf 16197  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-cring 17523  df-subrg 17749  df-abv 17788  df-lmod 17836  df-scaf 17837  df-sra 18140  df-rgmod 18141  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-tmd 20865  df-tgp 20866  df-tsms 20919  df-trg 20956  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-nm 21397  df-ngp 21398  df-nrg 21400  df-nlm 21401  df-ii 21675  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565  df-log 23238  df-esum 28488  df-siga 28569  df-meas 28657
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