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Theorem measvuni 27822
Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of  S. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measvuni  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `
 B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    x, S
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem measvuni
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
2 rabid 3038 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  <->  ( x  e.  A  /\  B  e. 
{ (/) } ) )
32simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ->  B  e.  { (/) } )
43adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  B  e.  {
(/) } )
54ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  { (/)
} )
653ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  { (/)
} )
7 ssrab2 3585 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  C_  A
8 ssct 27201 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  C_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
97, 8mpan 670 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
11103ad2ant3 1019 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
12 simp3r 1025 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Disj  x  e.  A  B )
13 nfrab1 3042 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
14 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ x A
1513, 14disjss1f 27105 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  C_  A  ->  (Disj  x  e.  A  B  -> Disj  x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B ) )
167, 12, 15mpsyl 63 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Disj  x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B )
1713measvunilem0 27821 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  { (/)
}  /\  ( {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B
) )  ->  ( M `  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ( M `  B )
)
181, 6, 11, 16, 17syl112anc 1232 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ( M `  B )
)
19 rabid 3038 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  <->  ( x  e.  A  /\  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) )
2019simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
2221ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
23223ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
24 ssrab2 3585 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  C_  A
25 ssct 27201 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  C_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )
2624, 25mpan 670 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ~<_  om )
28273ad2ant3 1019 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )
29 nfrab1 3042 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }
3029, 14disjss1f 27105 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } 
C_  A  ->  (Disj  x  e.  A  B  -> Disj  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B
) )
3124, 12, 30mpsyl 63 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Disj  x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )
3229measvunilem 27820 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ( M `  B )
)
331, 23, 28, 31, 32syl112anc 1232 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ( M `  B )
)
3418, 33oveq12d 6300 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  (
( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B ) +e ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B
) )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ( M `  B ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ( M `  B )
) )
35 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ x  M  e.  (measures `  S
)
36 nfra1 2845 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  S
37 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  ~<_  om
38 nfdisj1 4430 . . . . . . . 8  |-  F/ xDisj  x  e.  A  B
3937, 38nfan 1875 . . . . . . 7  |-  F/ x
( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )
4035, 36, 39nf3an 1877 . . . . . 6  |-  F/ x
( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )
4113, 29nfun 3660 . . . . . 6  |-  F/_ x
( { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )
42 simp2 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  S )
43 rabid2 3039 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  B  e.  S }  <->  A. x  e.  A  B  e.  S )
4442, 43sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A  =  { x  e.  A  |  B  e.  S } )
45 elun 3645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( { (/) }  u.  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
( B  e.  { (/)
}  \/  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) )
46 measbase 27805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
47 0elsiga 27751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
48 snssi 4171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e.  S  ->  { (/) } 
C_  S )
4946, 47, 483syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  { (/) }  C_  S )
50 undif 3907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
(/) }  C_  S  <->  ( { (/)
}  u.  ( S 
\  { (/) } ) )  =  S )
5149, 50sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( { (/)
}  u.  ( S 
\  { (/) } ) )  =  S )
5251eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( B  e.  ( { (/) }  u.  ( S  \  { (/) } ) )  <->  B  e.  S ) )
5345, 52syl5bbr 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( ( B  e.  { (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
B  e.  S ) )
5453rabbidv 3105 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  { x  e.  A  |  ( B  e.  { (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  { x  e.  A  |  B  e.  S } )
55543ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  ( B  e.  { (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  { x  e.  A  |  B  e.  S } )
5644, 55eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A  =  { x  e.  A  |  ( B  e. 
{ (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) } )
57 unrab 3769 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( B  e.  { (/)
}  \/  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) }
5856, 57syl6eqr 2526 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A  =  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) )
59 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  B  =  B )
6040, 14, 41, 58, 59iuneq12df 4349 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) B )
6160fveq2d 5868 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) B ) )
62 iunxun 4407 . . . . 5  |-  U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) B  =  (
U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )
6362fveq2i 5867 . . . 4  |-  ( M `
 U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } ) B )  =  ( M `  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )
6461, 63syl6eq 2524 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
65463ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
6647adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  { (/) } )  ->  (/)  e.  S )
67 elsni 4052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  { (/) }  ->  B  =  (/) )
6867eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  { (/) }  ->  ( B  e.  S  <->  (/)  e.  S
) )
6968adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  { (/) } )  ->  ( B  e.  S  <->  (/)  e.  S ) )
7066, 69mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  { (/) } )  ->  B  e.  S
)
7146, 3, 70syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  B  e.  S )
7271ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S
)
73723ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S
)
7413sigaclcuni 27755 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S  /\  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S )
7565, 73, 11, 74syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S
)
7621eldifad 3488 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  S )
7776ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)
78773ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)
7929sigaclcuni 27755 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B  e.  S  /\  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S )
8065, 78, 28, 79syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)
813, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ->  B  =  (/) )
8281iuneq2i 4344 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } (/)
83 iun0 4381 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } (/)  =  (/)
8482, 83eqtri 2496 . . . . 5  |-  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  (/)
85 ineq1 3693 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (
(/)  i^i  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )
86 incom 3691 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B  i^i  (/) )  =  (
(/)  i^i  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )
87 in0 3811 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B  i^i  (/) )  =  (/)
8886, 87eqtr3i 2498 . . . . . 6  |-  ( (/)  i^i  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B
)  =  (/)
8985, 88syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (/) )
9084, 89mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (/) )
91 measun 27819 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S  /\  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)  /\  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (/) )  ->  ( M `  ( U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )  =  ( ( M `
 U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B ) +e
( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
921, 75, 80, 90, 91syl121anc 1233 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )  =  ( ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B
) +e ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
9364, 92eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B
) +e ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
9440, 58esumeq1d 27685 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Σ* x  e.  A
( M `  B
)  = Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } ) ( M `  B
) )
95 ctex 27200 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  e.  _V )
9611, 95syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  e.  _V )
97 ctex 27200 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  e.  _V )
9828, 97syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  e.  _V )
99 inrab 3770 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  i^i  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( B  e.  { (/)
}  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }
100 noel 3789 . . . . . . . . . 10  |-  -.  B  e.  (/)
101 disjdif 3899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
(/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )  =  (/)
102101eleq2i 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( { (/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
B  e.  (/) )
103100, 102mtbir 299 . . . . . . . . 9  |-  -.  B  e.  ( { (/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )
104 elin 3687 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( { (/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
( B  e.  { (/)
}  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) )
105103, 104mtbi 298 . . . . . . . 8  |-  -.  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
106105rgenw 2825 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  A  -.  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
107 rabeq0 3807 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  | 
( B  e.  { (/)
}  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) )
108106, 107mpbir 209 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  (/)
10999, 108eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  i^i  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  =  (/)
110109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  i^i  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } )  =  (/) )
1111adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  M  e.  (measures `  S ) )
1121, 71sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  B  e.  S )
113 measvxrge0 27813 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
114111, 112, 113syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
1151adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  M  e.  (measures `  S ) )
11620adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
117116eldifad 3488 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  S )
118115, 117, 113syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11940, 13, 29, 96, 98, 110, 114, 118esumsplit 27700 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } ) ( M `  B
)  =  (Σ* x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ( M `  B ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ( M `  B ) ) )
12094, 119eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Σ* x  e.  A
( M `  B
)  =  (Σ* x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ( M `  B ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ( M `  B ) ) )
12134, 93, 1203eqtr4d 2518 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `
 B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   U.cuni 4245   U_ciun 4325  Disj wdisj 4417   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   omcom 6678    ~<_ cdom 7511   0cc0 9488   +oocpnf 9621   +ecxad 11312   [,]cicc 11528  Σ*cesum 27677  sigAlgebracsiga 27744  measurescmeas 27803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-ac2 8839  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-ac 8493  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-fac 12316  df-bc 12343  df-hash 12368  df-shft 12857  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-limsup 13250  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-ef 13658  df-sin 13660  df-cos 13661  df-pi 13663  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-ordt 14749  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-ps 15680  df-tsr 15681  df-mnd 15725  df-plusf 15726  df-mhm 15774  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-cring 16986  df-subrg 17207  df-abv 17246  df-lmod 17294  df-scaf 17295  df-sra 17598  df-rgmod 17599  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-nei 19362  df-lp 19400  df-perf 19401  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-haus 19579  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-tmd 20303  df-tgp 20304  df-tsms 20357  df-trg 20394  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-nm 20835  df-ngp 20836  df-nrg 20838  df-nlm 20839  df-ii 21113  df-cncf 21114  df-limc 22002  df-dv 22003  df-log 22669  df-esum 27678  df-siga 27745  df-meas 27804
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