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Theorem measvuni 28163
Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of  S. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measvuni  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `
 B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    x, S
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem measvuni
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
2 rabid 3020 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  <->  ( x  e.  A  /\  B  e. 
{ (/) } ) )
32simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ->  B  e.  { (/) } )
43adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  B  e.  {
(/) } )
54ralrimiva 2857 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  { (/)
} )
653ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  { (/)
} )
7 ssrab2 3570 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  C_  A
8 ssct 27510 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  C_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
97, 8mpan 670 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
11103ad2ant3 1020 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
12 simp3r 1026 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Disj  x  e.  A  B )
13 nfrab1 3024 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
14 nfcv 2605 . . . . . 6  |-  F/_ x A
1513, 14disjss1f 27413 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  C_  A  ->  (Disj  x  e.  A  B  -> Disj  x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B ) )
167, 12, 15mpsyl 63 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Disj  x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B )
1713measvunilem0 28162 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  { (/)
}  /\  ( {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B
) )  ->  ( M `  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ( M `  B )
)
181, 6, 11, 16, 17syl112anc 1233 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ( M `  B )
)
19 rabid 3020 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  <->  ( x  e.  A  /\  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) )
2019simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
2221ralrimiva 2857 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
23223ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
24 ssrab2 3570 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  C_  A
25 ssct 27510 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  C_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )
2624, 25mpan 670 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ~<_  om )
28273ad2ant3 1020 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )
29 nfrab1 3024 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }
3029, 14disjss1f 27413 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } 
C_  A  ->  (Disj  x  e.  A  B  -> Disj  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B
) )
3124, 12, 30mpsyl 63 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Disj  x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )
3229measvunilem 28161 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ( M `  B )
)
331, 23, 28, 31, 32syl112anc 1233 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ( M `  B )
)
3418, 33oveq12d 6299 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  (
( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B ) +e ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B
) )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ( M `  B ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ( M `  B )
) )
35 nfv 1694 . . . . . . 7  |-  F/ x  M  e.  (measures `  S
)
36 nfra1 2824 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  S
37 nfv 1694 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  ~<_  om
38 nfdisj1 4420 . . . . . . . 8  |-  F/ xDisj  x  e.  A  B
3937, 38nfan 1914 . . . . . . 7  |-  F/ x
( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )
4035, 36, 39nf3an 1916 . . . . . 6  |-  F/ x
( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )
4113, 29nfun 3645 . . . . . 6  |-  F/_ x
( { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )
42 simp2 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  S )
43 rabid2 3021 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  B  e.  S }  <->  A. x  e.  A  B  e.  S )
4442, 43sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A  =  { x  e.  A  |  B  e.  S } )
45 elun 3630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( { (/) }  u.  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
( B  e.  { (/)
}  \/  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) )
46 measbase 28146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
47 0elsiga 28092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
48 snssi 4159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e.  S  ->  { (/) } 
C_  S )
4946, 47, 483syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  { (/) }  C_  S )
50 undif 3894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
(/) }  C_  S  <->  ( { (/)
}  u.  ( S 
\  { (/) } ) )  =  S )
5149, 50sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( { (/)
}  u.  ( S 
\  { (/) } ) )  =  S )
5251eleq2d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( B  e.  ( { (/) }  u.  ( S  \  { (/) } ) )  <->  B  e.  S ) )
5345, 52syl5bbr 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( ( B  e.  { (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
B  e.  S ) )
5453rabbidv 3087 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  { x  e.  A  |  ( B  e.  { (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  { x  e.  A  |  B  e.  S } )
55543ad2ant1 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  ( B  e.  { (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  { x  e.  A  |  B  e.  S } )
5644, 55eqtr4d 2487 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A  =  { x  e.  A  |  ( B  e. 
{ (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) } )
57 unrab 3754 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( B  e.  { (/)
}  \/  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) }
5856, 57syl6eqr 2502 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A  =  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) )
59 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  B  =  B )
6040, 14, 41, 58, 59iuneq12df 4339 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) B )
6160fveq2d 5860 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) B ) )
62 iunxun 4397 . . . . 5  |-  U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) B  =  (
U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )
6362fveq2i 5859 . . . 4  |-  ( M `
 U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } ) B )  =  ( M `  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )
6461, 63syl6eq 2500 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
65463ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
6647adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  { (/) } )  ->  (/)  e.  S )
67 elsni 4039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  { (/) }  ->  B  =  (/) )
6867eleq1d 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  { (/) }  ->  ( B  e.  S  <->  (/)  e.  S
) )
6968adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  { (/) } )  ->  ( B  e.  S  <->  (/)  e.  S ) )
7066, 69mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  { (/) } )  ->  B  e.  S
)
7146, 3, 70syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  B  e.  S )
7271ralrimiva 2857 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S
)
73723ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S
)
7413sigaclcuni 28096 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S  /\  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S )
7565, 73, 11, 74syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S
)
7621eldifad 3473 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  S )
7776ralrimiva 2857 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)
78773ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)
7929sigaclcuni 28096 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B  e.  S  /\  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S )
8065, 78, 28, 79syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)
813, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ->  B  =  (/) )
8281iuneq2i 4334 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } (/)
83 iun0 4371 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } (/)  =  (/)
8482, 83eqtri 2472 . . . . 5  |-  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  (/)
85 ineq1 3678 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (
(/)  i^i  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )
86 incom 3676 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B  i^i  (/) )  =  (
(/)  i^i  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )
87 in0 3797 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B  i^i  (/) )  =  (/)
8886, 87eqtr3i 2474 . . . . . 6  |-  ( (/)  i^i  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B
)  =  (/)
8985, 88syl6eq 2500 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (/) )
9084, 89mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (/) )
91 measun 28160 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S  /\  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)  /\  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (/) )  ->  ( M `  ( U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )  =  ( ( M `
 U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B ) +e
( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
921, 75, 80, 90, 91syl121anc 1234 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )  =  ( ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B
) +e ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
9364, 92eqtrd 2484 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B
) +e ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
9440, 58esumeq1d 28026 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Σ* x  e.  A
( M `  B
)  = Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } ) ( M `  B
) )
95 ctex 27509 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  e.  _V )
9611, 95syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  e.  _V )
97 ctex 27509 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  e.  _V )
9828, 97syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  e.  _V )
99 inrab 3755 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  i^i  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( B  e.  { (/)
}  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }
100 noel 3774 . . . . . . . . . 10  |-  -.  B  e.  (/)
101 disjdif 3886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
(/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )  =  (/)
102101eleq2i 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( { (/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
B  e.  (/) )
103100, 102mtbir 299 . . . . . . . . 9  |-  -.  B  e.  ( { (/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )
104 elin 3672 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( { (/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
( B  e.  { (/)
}  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) )
105103, 104mtbi 298 . . . . . . . 8  |-  -.  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
106105rgenw 2804 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  A  -.  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
107 rabeq0 3793 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  | 
( B  e.  { (/)
}  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) )
108106, 107mpbir 209 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  (/)
10999, 108eqtri 2472 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  i^i  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  =  (/)
110109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  i^i  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } )  =  (/) )
1111adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  M  e.  (measures `  S ) )
1121, 71sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  B  e.  S )
113 measvxrge0 28154 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
114111, 112, 113syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
1151adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  M  e.  (measures `  S ) )
11620adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
117116eldifad 3473 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  S )
118115, 117, 113syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11940, 13, 29, 96, 98, 110, 114, 118esumsplit 28041 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } ) ( M `  B
)  =  (Σ* x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ( M `  B ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ( M `  B ) ) )
12094, 119eqtrd 2484 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Σ* x  e.  A
( M `  B
)  =  (Σ* x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ( M `  B ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ( M `  B ) ) )
12134, 93, 1203eqtr4d 2494 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `
 B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   {crab 2797   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   U.cuni 4234   U_ciun 4315  Disj wdisj 4407   class class class wbr 4437   ran crn 4990   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   omcom 6685    ~<_ cdom 7516   0cc0 9495   +oocpnf 9628   +ecxad 11327   [,]cicc 11543  Σ*cesum 28018  sigAlgebracsiga 28085  measurescmeas 28144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-ac2 8846  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-ac 8500  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-ordt 14880  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-ps 15809  df-tsr 15810  df-plusf 15850  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-subrg 17406  df-abv 17445  df-lmod 17493  df-scaf 17494  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-tmd 20549  df-tgp 20550  df-tsms 20603  df-trg 20640  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-nm 21081  df-ngp 21082  df-nrg 21084  df-nlm 21085  df-ii 21359  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249  df-log 22922  df-esum 28019  df-siga 28086  df-meas 28145
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