Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvuni Structured version   Unicode version

Theorem measvuni 26628
Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of  S. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measvuni  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `
 B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    x, S
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem measvuni
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
2 rabid 2897 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  <->  ( x  e.  A  /\  B  e. 
{ (/) } ) )
32simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ->  B  e.  { (/) } )
43adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  B  e.  {
(/) } )
54ralrimiva 2799 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  { (/)
} )
653ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  { (/)
} )
7 ssrab2 3437 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  C_  A
8 ssct 26009 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  C_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
97, 8mpan 670 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
11103ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )
12 simp3r 1017 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Disj  x  e.  A  B )
13 nfrab1 2901 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
14 nfcv 2579 . . . . . 6  |-  F/_ x A
1513, 14disjss1f 25918 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  C_  A  ->  (Disj  x  e.  A  B  -> Disj  x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B ) )
167, 12, 15mpsyl 63 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Disj  x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B )
1713measvunilem0 26627 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  { (/)
}  /\  ( {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B
) )  ->  ( M `  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ( M `  B )
)
181, 6, 11, 16, 17syl112anc 1222 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ( M `  B )
)
19 rabid 2897 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  <->  ( x  e.  A  /\  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) )
2019simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
2221ralrimiva 2799 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
23223ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
24 ssrab2 3437 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  C_  A
25 ssct 26009 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  C_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )
2624, 25mpan 670 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ~<_  om )
28273ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )
29 nfrab1 2901 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }
3029, 14disjss1f 25918 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } 
C_  A  ->  (Disj  x  e.  A  B  -> Disj  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B
) )
3124, 12, 30mpsyl 63 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Disj  x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )
3229measvunilem 26626 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ( M `  B )
)
331, 23, 28, 31, 32syl112anc 1222 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  = Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ( M `  B )
)
3418, 33oveq12d 6109 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  (
( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B ) +e ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B
) )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ( M `  B ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ( M `  B )
) )
35 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ x  M  e.  (measures `  S
)
36 nfra1 2766 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  S
37 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  ~<_  om
38 nfdisj1 4275 . . . . . . . 8  |-  F/ xDisj  x  e.  A  B
3937, 38nfan 1861 . . . . . . 7  |-  F/ x
( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B )
4035, 36, 39nf3an 1863 . . . . . 6  |-  F/ x
( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )
4113, 29nfun 3512 . . . . . 6  |-  F/_ x
( { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )
42 simp2 989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  S )
43 rabid2 2898 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  B  e.  S }  <->  A. x  e.  A  B  e.  S )
4442, 43sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A  =  { x  e.  A  |  B  e.  S } )
45 elun 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( { (/) }  u.  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
( B  e.  { (/)
}  \/  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) )
46 measbase 26611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
47 0elsiga 26557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
48 snssi 4017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e.  S  ->  { (/) } 
C_  S )
4946, 47, 483syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  { (/) }  C_  S )
50 undif 3759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
(/) }  C_  S  <->  ( { (/)
}  u.  ( S 
\  { (/) } ) )  =  S )
5149, 50sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( { (/)
}  u.  ( S 
\  { (/) } ) )  =  S )
5251eleq2d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( B  e.  ( { (/) }  u.  ( S  \  { (/) } ) )  <->  B  e.  S ) )
5345, 52syl5bbr 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( ( B  e.  { (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
B  e.  S ) )
5453rabbidv 2964 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  { x  e.  A  |  ( B  e.  { (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  { x  e.  A  |  B  e.  S } )
55543ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  ( B  e.  { (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  { x  e.  A  |  B  e.  S } )
5644, 55eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A  =  { x  e.  A  |  ( B  e. 
{ (/) }  \/  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) } )
57 unrab 3621 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( B  e.  { (/)
}  \/  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) ) }
5856, 57syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A  =  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) )
59 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  B  =  B )
6040, 14, 41, 58, 59iuneq12df 4194 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) B )
6160fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) B ) )
62 iunxun 4252 . . . . 5  |-  U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } ) B  =  (
U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )
6362fveq2i 5694 . . . 4  |-  ( M `
 U_ x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } ) B )  =  ( M `  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )
6461, 63syl6eq 2491 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
65463ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
6647adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  { (/) } )  ->  (/)  e.  S )
67 elsni 3902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  { (/) }  ->  B  =  (/) )
6867eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  { (/) }  ->  ( B  e.  S  <->  (/)  e.  S
) )
6968adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  { (/) } )  ->  ( B  e.  S  <->  (/)  e.  S ) )
7066, 69mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  { (/) } )  ->  B  e.  S
)
7146, 3, 70syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  B  e.  S )
7271ralrimiva 2799 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S
)
73723ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S
)
7413sigaclcuni 26561 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S  /\  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S )
7565, 73, 11, 74syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S
)
7621eldifad 3340 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  S )
7776ralrimiva 2799 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)
78773ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)
7929sigaclcuni 26561 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B  e.  S  /\  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S )
8065, 78, 28, 79syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)
813, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  ->  B  =  (/) )
8281iuneq2i 4189 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } (/)
83 iun0 4226 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } (/)  =  (/)
8482, 83eqtri 2463 . . . . 5  |-  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  (/)
85 ineq1 3545 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (
(/)  i^i  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )
86 incom 3543 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B  i^i  (/) )  =  (
(/)  i^i  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )
87 in0 3663 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B  i^i  (/) )  =  (/)
8886, 87eqtr3i 2465 . . . . . 6  |-  ( (/)  i^i  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } B
)  =  (/)
8985, 88syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (/) )
9084, 89mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (/) )
91 measun 26625 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  e.  S  /\  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B  e.  S
)  /\  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  i^i  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B )  =  (/) )  ->  ( M `  ( U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )  =  ( ( M `
 U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B ) +e
( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
921, 75, 80, 90, 91syl121anc 1223 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  ( U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B  u.  U_ x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) )  =  ( ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B
) +e ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
9364, 92eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } } B
) +e ( M `  U_ x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } B ) ) )
9440, 58esumeq1d 26491 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Σ* x  e.  A
( M `  B
)  = Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } ) ( M `  B
) )
95 ctex 26008 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e. 
{ (/) } }  e.  _V )
9611, 95syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  e.  _V )
97 ctex 26008 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ~<_  om  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  e.  _V )
9828, 97syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) }  e.  _V )
99 inrab 3622 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  i^i  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( B  e.  { (/)
}  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }
100 noel 3641 . . . . . . . . . 10  |-  -.  B  e.  (/)
101 disjdif 3751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
(/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )  =  (/)
102101eleq2i 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( { (/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
B  e.  (/) )
103100, 102mtbir 299 . . . . . . . . 9  |-  -.  B  e.  ( { (/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )
104 elin 3539 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( { (/) }  i^i  ( S  \  { (/) } ) )  <-> 
( B  e.  { (/)
}  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) )
105103, 104mtbi 298 . . . . . . . 8  |-  -.  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
106105rgenw 2783 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  A  -.  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
107 rabeq0 3659 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  | 
( B  e.  { (/)
}  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) )
108106, 107mpbir 209 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  ( B  e.  { (/) }  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) ) }  =  (/)
10999, 108eqtri 2463 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  i^i  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  =  (/)
110109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  i^i  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } )  =  (/) )
1111adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  M  e.  (measures `  S ) )
1121, 71sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  B  e.  S )
113 measvxrge0 26619 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
114111, 112, 113syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }
)  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
1151adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  M  e.  (measures `  S ) )
11620adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
117116eldifad 3340 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  B  e.  S )
118115, 117, 113syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A  B ) )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) } )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11940, 13, 29, 96, 98, 110, 114, 118esumsplit 26506 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  u.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/)
} ) } ) ( M `  B
)  =  (Σ* x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ( M `  B ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ( M `  B ) ) )
12094, 119eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  -> Σ* x  e.  A
( M `  B
)  =  (Σ* x  e. 
{ x  e.  A  |  B  e.  { (/) } }  ( M `  B ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  B  e.  ( S  \  { (/) } ) }  ( M `  B ) ) )
12134, 93, 1203eqtr4d 2485 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  S  /\  ( A  ~<_  om 
/\ Disj  x  e.  A  B
) )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `
 B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877   U.cuni 4091   U_ciun 4171  Disj wdisj 4262   class class class wbr 4292   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   omcom 6476    ~<_ cdom 7308   0cc0 9282   +oocpnf 9415   +ecxad 11087   [,]cicc 11303  Σ*cesum 26483  sigAlgebracsiga 26550  measurescmeas 26609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-ac2 8632  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-ac 8286  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-ordt 14439  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-ps 15370  df-tsr 15371  df-mnd 15415  df-plusf 15416  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-subrg 16863  df-abv 16902  df-lmod 16950  df-scaf 16951  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-tmd 19643  df-tgp 19644  df-tsms 19697  df-trg 19734  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-nm 20175  df-ngp 20176  df-nrg 20178  df-nlm 20179  df-ii 20453  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008  df-esum 26484  df-siga 26551  df-meas 26610
This theorem is referenced by:  measiuns  26631  measinblem  26634  sibfof  26726  dstrvprob  26854
  Copyright terms: Public domain W3C validator