Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measunl Structured version   Unicode version

Theorem measunl 27855
Description: A measure is sub-additive with respect to union. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measunl.1  |-  ( ph  ->  M  e.  (measures `  S
) )
measunl.2  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
measunl.3  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
Assertion
Ref Expression
measunl  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( M `  A ) +e ( M `
 B ) ) )

Proof of Theorem measunl
StepHypRef Expression
1 undif1 3902 . . . 4  |-  ( ( A  \  B )  u.  B )  =  ( A  u.  B
)
21fveq2i 5869 . . 3  |-  ( M `
 ( ( A 
\  B )  u.  B ) )  =  ( M `  ( A  u.  B )
)
3 measunl.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  (measures `  S
) )
4 measbase 27836 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
6 measunl.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
7 measunl.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
8 difelsiga 27801 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  e.  S )
95, 6, 7, 8syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  \  B
)  e.  S )
10 incom 3691 . . . . . 6  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  ( ( A  \  B )  i^i  B
)
11 disjdif 3899 . . . . . 6  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
1210, 11eqtr3i 2498 . . . . 5  |-  ( ( A  \  B )  i^i  B )  =  (/)
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  B )  i^i  B
)  =  (/) )
14 measun 27850 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( ( A  \  B )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  (
( A  \  B
)  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( M `  ( ( A  \  B )  u.  B ) )  =  ( ( M `  ( A  \  B ) ) +e ( M `  B ) ) )
153, 9, 7, 13, 14syl121anc 1233 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  (
( A  \  B
)  u.  B ) )  =  ( ( M `  ( A 
\  B ) ) +e ( M `
 B ) ) )
162, 15syl5eqr 2522 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( M `  ( A 
\  B ) ) +e ( M `
 B ) ) )
17 iccssxr 11607 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
18 measvxrge0 27844 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  \  B )  e.  S
)  ->  ( M `  ( A  \  B
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
193, 9, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  \  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2017, 19sseldi 3502 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  \  B ) )  e.  RR* )
21 measvxrge0 27844 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  S )  ->  ( M `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
223, 6, 21syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2317, 22sseldi 3502 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  e.  RR* )
24 measvxrge0 27844 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
253, 7, 24syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  B
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2617, 25sseldi 3502 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  B
)  e.  RR* )
27 inelsiga 27803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  S )
285, 6, 7, 27syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  e.  S )
29 measvxrge0 27844 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  i^i  B )  e.  S
)  ->  ( M `  ( A  i^i  B
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
303, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  i^i  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
31 elxrge0 11629 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  ( A  i^i  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( M `
 ( A  i^i  B ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( M `  ( A  i^i  B
) ) ) )
3230, 31sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( M `  ( A  i^i  B ) ) ) )
3332simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M `  ( A  i^i  B
) ) )
3417, 30sseldi 3502 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR* )
35 xraddge02 27273 . . . . . 6  |-  ( ( ( M `  ( A  \  B ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( A  i^i  B ) )  e. 
RR* )  ->  (
0  <_  ( M `  ( A  i^i  B
) )  ->  ( M `  ( A  \  B ) )  <_ 
( ( M `  ( A  \  B ) ) +e ( M `  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
3620, 34, 35syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( M `  ( A  i^i  B ) )  -> 
( M `  ( A  \  B ) )  <_  ( ( M `
 ( A  \  B ) ) +e ( M `  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
3733, 36mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  \  B ) )  <_  ( ( M `
 ( A  \  B ) ) +e ( M `  ( A  i^i  B ) ) ) )
38 uncom 3648 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  ( ( A  \  B )  u.  ( A  i^i  B ) )
39 inundif 3905 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  A
4038, 39eqtr3i 2498 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  B )  u.  ( A  i^i  B ) )  =  A
4140fveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( M `
 ( ( A 
\  B )  u.  ( A  i^i  B
) ) )  =  ( M `  A
)
42 incom 3691 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  =  ( ( A  \  B )  i^i  ( A  i^i  B ) )
43 inss1 3718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  C_  ( A  i^i  B )
44 inss2 3719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
4543, 44sstri 3513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  C_  B
46 inss2 3719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  C_  ( A  \  B )
4745, 46ssini 3721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  C_  ( B  i^i  ( A  \  B ) )
4847, 11sseqtri 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  C_  (/)
49 ss0 3816 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  i^i  ( A  \  B ) )  C_  (/) 
->  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A 
\  B ) )  =  (/) )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
5142, 50eqtr3i 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  B )  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/)
5251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  B )  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/) )
53 measun 27850 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( ( A  \  B )  e.  S  /\  ( A  i^i  B )  e.  S )  /\  (
( A  \  B
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/) )  ->  ( M `
 ( ( A 
\  B )  u.  ( A  i^i  B
) ) )  =  ( ( M `  ( A  \  B ) ) +e ( M `  ( A  i^i  B ) ) ) )
543, 9, 28, 52, 53syl121anc 1233 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  (
( A  \  B
)  u.  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( ( M `  ( A 
\  B ) ) +e ( M `
 ( A  i^i  B ) ) ) )
5541, 54syl5eqr 2522 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  =  ( ( M `  ( A 
\  B ) ) +e ( M `
 ( A  i^i  B ) ) ) )
5637, 55breqtrrd 4473 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  \  B ) )  <_  ( M `  A ) )
57 xleadd1a 11445 . . 3  |-  ( ( ( ( M `  ( A  \  B ) )  e.  RR*  /\  ( M `  A )  e.  RR*  /\  ( M `
 B )  e. 
RR* )  /\  ( M `  ( A  \  B ) )  <_ 
( M `  A
) )  ->  (
( M `  ( A  \  B ) ) +e ( M `
 B ) )  <_  ( ( M `
 A ) +e ( M `  B ) ) )
5820, 23, 26, 56, 57syl31anc 1231 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( A  \  B ) ) +e ( M `  B ) )  <_  ( ( M `  A ) +e ( M `
 B ) ) )
5916, 58eqbrtrd 4467 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( M `  A ) +e ( M `
 B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   +oocpnf 9625   RR*cxr 9627    <_ cle 9629   +ecxad 11316   [,]cicc 11532  sigAlgebracsiga 27775  measurescmeas 27834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-ac2 8843  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-ac 8497  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-ordt 14756  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-ps 15687  df-tsr 15688  df-mnd 15732  df-plusf 15733  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-subrg 17227  df-abv 17266  df-lmod 17314  df-scaf 17315  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-tmd 20334  df-tgp 20335  df-tsms 20388  df-trg 20425  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-nm 20866  df-ngp 20867  df-nrg 20869  df-nlm 20870  df-ii 21144  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-esum 27709  df-siga 27776  df-meas 27835
This theorem is referenced by:  aean  27884
  Copyright terms: Public domain W3C validator