Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measunl Structured version   Unicode version

Theorem measunl 27855
 Description: A measure is sub-additive with respect to union. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measunl.1 measures
measunl.2
measunl.3
Assertion
Ref Expression
measunl

Proof of Theorem measunl
StepHypRef Expression
1 undif1 3902 . . . 4
21fveq2i 5869 . . 3
3 measunl.1 . . . 4 measures
4 measbase 27836 . . . . . 6 measures sigAlgebra
53, 4syl 16 . . . . 5 sigAlgebra
6 measunl.2 . . . . 5
7 measunl.3 . . . . 5
8 difelsiga 27801 . . . . 5 sigAlgebra
95, 6, 7, 8syl3anc 1228 . . . 4
10 incom 3691 . . . . . 6
11 disjdif 3899 . . . . . 6
1210, 11eqtr3i 2498 . . . . 5
1312a1i 11 . . . 4
14 measun 27850 . . . 4 measures
153, 9, 7, 13, 14syl121anc 1233 . . 3
162, 15syl5eqr 2522 . 2
17 iccssxr 11607 . . . 4
18 measvxrge0 27844 . . . . 5 measures
193, 9, 18syl2anc 661 . . . 4
2017, 19sseldi 3502 . . 3
21 measvxrge0 27844 . . . . 5 measures
223, 6, 21syl2anc 661 . . . 4
2317, 22sseldi 3502 . . 3
24 measvxrge0 27844 . . . . 5 measures
253, 7, 24syl2anc 661 . . . 4
2617, 25sseldi 3502 . . 3
27 inelsiga 27803 . . . . . . . . 9 sigAlgebra
285, 6, 7, 27syl3anc 1228 . . . . . . . 8
29 measvxrge0 27844 . . . . . . . 8 measures
303, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . 7
31 elxrge0 11629 . . . . . . 7
3230, 31sylib 196 . . . . . 6
3332simprd 463 . . . . 5
3417, 30sseldi 3502 . . . . . 6
35 xraddge02 27273 . . . . . 6
3620, 34, 35syl2anc 661 . . . . 5
3733, 36mpd 15 . . . 4
38 uncom 3648 . . . . . . 7
39 inundif 3905 . . . . . . 7
4038, 39eqtr3i 2498 . . . . . 6
4140fveq2i 5869 . . . . 5
42 incom 3691 . . . . . . . 8
43 inss1 3718 . . . . . . . . . . . 12
44 inss2 3719 . . . . . . . . . . . 12
4543, 44sstri 3513 . . . . . . . . . . 11
46 inss2 3719 . . . . . . . . . . 11
4745, 46ssini 3721 . . . . . . . . . 10
4847, 11sseqtri 3536 . . . . . . . . 9
49 ss0 3816 . . . . . . . . 9
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8
5142, 50eqtr3i 2498 . . . . . . 7
5251a1i 11 . . . . . 6
53 measun 27850 . . . . . 6 measures
543, 9, 28, 52, 53syl121anc 1233 . . . . 5
5541, 54syl5eqr 2522 . . . 4
5637, 55breqtrrd 4473 . . 3
57 xleadd1a 11445 . . 3
5820, 23, 26, 56, 57syl31anc 1231 . 2
5916, 58eqbrtrd 4467 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   cdif 3473   cun 3474   cin 3475   wss 3476  c0 3785  cuni 4245   class class class wbr 4447   crn 5000  cfv 5588  (class class class)co 6284  cc0 9492   cpnf 9625  cxr 9627   cle 9629  cxad 11316  cicc 11532  sigAlgebracsiga 27775  measurescmeas 27834 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-ac2 8843  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-ac 8497  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-ordt 14756  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-ps 15687  df-tsr 15688  df-mnd 15732  df-plusf 15733  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-subrg 17227  df-abv 17266  df-lmod 17314  df-scaf 17315  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-tmd 20334  df-tgp 20335  df-tsms 20388  df-trg 20425  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-nm 20866  df-ngp 20867  df-nrg 20869  df-nlm 20870  df-ii 21144  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-esum 27709  df-siga 27776  df-meas 27835 This theorem is referenced by:  aean  27884
 Copyright terms: Public domain W3C validator