Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measunl Structured version   Unicode version

Theorem measunl 28877
Description: A measure is sub-additive with respect to union. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measunl.1  |-  ( ph  ->  M  e.  (measures `  S
) )
measunl.2  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
measunl.3  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
Assertion
Ref Expression
measunl  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( M `  A ) +e ( M `
 B ) ) )

Proof of Theorem measunl
StepHypRef Expression
1 undif1 3876 . . . 4  |-  ( ( A  \  B )  u.  B )  =  ( A  u.  B
)
21fveq2i 5884 . . 3  |-  ( M `
 ( ( A 
\  B )  u.  B ) )  =  ( M `  ( A  u.  B )
)
3 measunl.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  (measures `  S
) )
4 measbase 28858 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
53, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
6 measunl.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
7 measunl.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
8 difelsiga 28794 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  e.  S )
95, 6, 7, 8syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  \  B
)  e.  S )
10 incom 3661 . . . . . 6  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  ( ( A  \  B )  i^i  B
)
11 disjdif 3873 . . . . . 6  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
1210, 11eqtr3i 2460 . . . . 5  |-  ( ( A  \  B )  i^i  B )  =  (/)
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  B )  i^i  B
)  =  (/) )
14 measun 28872 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( ( A  \  B )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  (
( A  \  B
)  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( M `  ( ( A  \  B )  u.  B ) )  =  ( ( M `  ( A  \  B ) ) +e ( M `  B ) ) )
153, 9, 7, 13, 14syl121anc 1269 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  (
( A  \  B
)  u.  B ) )  =  ( ( M `  ( A 
\  B ) ) +e ( M `
 B ) ) )
162, 15syl5eqr 2484 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( M `  ( A 
\  B ) ) +e ( M `
 B ) ) )
17 iccssxr 11717 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
18 measvxrge0 28866 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  \  B )  e.  S
)  ->  ( M `  ( A  \  B
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
193, 9, 18syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  \  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2017, 19sseldi 3468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  \  B ) )  e.  RR* )
21 measvxrge0 28866 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  S )  ->  ( M `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
223, 6, 21syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2317, 22sseldi 3468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  e.  RR* )
24 measvxrge0 28866 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
253, 7, 24syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  B
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2617, 25sseldi 3468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  B
)  e.  RR* )
27 inelsiga 28796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  S )
285, 6, 7, 27syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  e.  S )
29 measvxrge0 28866 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  i^i  B )  e.  S
)  ->  ( M `  ( A  i^i  B
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
303, 28, 29syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  i^i  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
31 elxrge0 11739 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  ( A  i^i  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( M `
 ( A  i^i  B ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( M `  ( A  i^i  B
) ) ) )
3230, 31sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( M `  ( A  i^i  B ) ) ) )
3332simprd 464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M `  ( A  i^i  B
) ) )
3417, 30sseldi 3468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR* )
35 xraddge02 28177 . . . . . 6  |-  ( ( ( M `  ( A  \  B ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( A  i^i  B ) )  e. 
RR* )  ->  (
0  <_  ( M `  ( A  i^i  B
) )  ->  ( M `  ( A  \  B ) )  <_ 
( ( M `  ( A  \  B ) ) +e ( M `  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
3620, 34, 35syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( M `  ( A  i^i  B ) )  -> 
( M `  ( A  \  B ) )  <_  ( ( M `
 ( A  \  B ) ) +e ( M `  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
3733, 36mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  \  B ) )  <_  ( ( M `
 ( A  \  B ) ) +e ( M `  ( A  i^i  B ) ) ) )
38 uncom 3616 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  ( ( A  \  B )  u.  ( A  i^i  B ) )
39 inundif 3879 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  A
4038, 39eqtr3i 2460 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  B )  u.  ( A  i^i  B ) )  =  A
4140fveq2i 5884 . . . . 5  |-  ( M `
 ( ( A 
\  B )  u.  ( A  i^i  B
) ) )  =  ( M `  A
)
42 incom 3661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  =  ( ( A  \  B )  i^i  ( A  i^i  B ) )
43 inindif 27986 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
4442, 43eqtr3i 2460 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  B )  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/)
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  B )  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/) )
46 measun 28872 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( ( A  \  B )  e.  S  /\  ( A  i^i  B )  e.  S )  /\  (
( A  \  B
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/) )  ->  ( M `
 ( ( A 
\  B )  u.  ( A  i^i  B
) ) )  =  ( ( M `  ( A  \  B ) ) +e ( M `  ( A  i^i  B ) ) ) )
473, 9, 28, 45, 46syl121anc 1269 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  (
( A  \  B
)  u.  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( ( M `  ( A 
\  B ) ) +e ( M `
 ( A  i^i  B ) ) ) )
4841, 47syl5eqr 2484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  =  ( ( M `  ( A 
\  B ) ) +e ( M `
 ( A  i^i  B ) ) ) )
4937, 48breqtrrd 4452 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  \  B ) )  <_  ( M `  A ) )
50 xleadd1a 11539 . . 3  |-  ( ( ( ( M `  ( A  \  B ) )  e.  RR*  /\  ( M `  A )  e.  RR*  /\  ( M `
 B )  e. 
RR* )  /\  ( M `  ( A  \  B ) )  <_ 
( M `  A
) )  ->  (
( M `  ( A  \  B ) ) +e ( M `
 B ) )  <_  ( ( M `
 A ) +e ( M `  B ) ) )
5120, 23, 26, 49, 50syl31anc 1267 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( A  \  B ) ) +e ( M `  B ) )  <_  ( ( M `  A ) +e ( M `
 B ) ) )
5216, 51eqbrtrd 4446 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( M `  A ) +e ( M `
 B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    \ cdif 3439    u. cun 3440    i^i cin 3441   (/)c0 3767   U.cuni 4222   class class class wbr 4426   ran crn 4855   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    <_ cle 9675   +ecxad 11407   [,]cicc 11638  sigAlgebracsiga 28768  measurescmeas 28856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-ac2 8891  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-ac 8545  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-ordt 15358  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-plusf 16438  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-subrg 17941  df-abv 17980  df-lmod 18028  df-scaf 18029  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-tmd 21018  df-tgp 21019  df-tsms 21072  df-trg 21105  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-nm 21528  df-ngp 21529  df-nrg 21531  df-nlm 21532  df-ii 21805  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-esum 28688  df-siga 28769  df-meas 28857
This theorem is referenced by:  aean  28906
  Copyright terms: Public domain W3C validator