Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measun Structured version   Unicode version

Theorem measun 29029
Description: The measure the union of two disjoint sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measun  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( M `
 ( A  u.  B ) )  =  ( ( M `  A ) +e
( M `  B
) ) )

Proof of Theorem measun
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
2 measbase 29015 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
323ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  S  e. 
U. ran sigAlgebra )
4 simp2l 1031 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  e.  S )
5 simp2r 1032 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  e.  S )
6 unelsiga 28952 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  u.  B
)  e.  S )
73, 4, 5, 6syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e.  S )
8 ssun2 3630 . . . 4  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
98a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  C_  ( A  u.  B
) )
10 measxun2 29028 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( ( A  u.  B )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  ( A  u.  B
) )  ->  ( M `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( M `  B ) +e
( M `  (
( A  u.  B
)  \  B )
) ) )
111, 7, 5, 9, 10syl121anc 1269 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( M `
 ( A  u.  B ) )  =  ( ( M `  B ) +e
( M `  (
( A  u.  B
)  \  B )
) ) )
12 difun2 3875 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B ) 
\  B )  =  ( A  \  B
)
13 inundif 3873 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  A
14 uneq1 3613 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  ( (/)  u.  ( A  \  B ) ) )
15 uncom 3610 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  ( A  \  B
) )  =  ( ( A  \  B
)  u.  (/) )
16 un0 3787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  B )  u.  (/) )  =  ( A  \  B )
1715, 16eqtri 2451 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u.  ( A  \  B
) )  =  ( A  \  B )
1814, 17syl6eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  ( A  \  B
) )
1913, 18syl5reqr 2478 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( A 
\  B )  =  A )
2012, 19syl5eq 2475 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  u.  B ) 
\  B )  =  A )
2120fveq2d 5882 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( M `
 ( ( A  u.  B )  \  B ) )  =  ( M `  A
) )
2221oveq2d 6318 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( M `  B ) +e ( M `
 ( ( A  u.  B )  \  B ) ) )  =  ( ( M `
 B ) +e ( M `  A ) ) )
23223ad2ant3 1028 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( M `  B ) +e ( M `
 ( ( A  u.  B )  \  B ) ) )  =  ( ( M `
 B ) +e ( M `  A ) ) )
24 iccssxr 11718 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
25 measvxrge0 29023 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2624, 25sseldi 3462 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  RR* )
271, 5, 26syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( M `
 B )  e. 
RR* )
28 measvxrge0 29023 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  S )  ->  ( M `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2924, 28sseldi 3462 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  S )  ->  ( M `  A )  e.  RR* )
301, 4, 29syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( M `
 A )  e. 
RR* )
31 xaddcom 11532 . . 3  |-  ( ( ( M `  B
)  e.  RR*  /\  ( M `  A )  e.  RR* )  ->  (
( M `  B
) +e ( M `  A ) )  =  ( ( M `  A ) +e ( M `
 B ) ) )
3227, 30, 31syl2anc 665 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( M `  B ) +e ( M `
 A ) )  =  ( ( M `
 A ) +e ( M `  B ) ) )
3311, 23, 323eqtrd 2467 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( M `
 ( A  u.  B ) )  =  ( ( M `  A ) +e
( M `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   U.cuni 4216   ran crn 4851   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   0cc0 9540   +oocpnf 9673   RR*cxr 9675   +ecxad 11408   [,]cicc 11639  sigAlgebracsiga 28925  measurescmeas 29013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-ac2 8894  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-acn 8378  df-ac 8548  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-ef 14109  df-sin 14111  df-cos 14112  df-pi 14114  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-ordt 15387  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-ps 16434  df-tsr 16435  df-plusf 16475  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-mhm 16570  df-submnd 16571  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-mulg 16664  df-subg 16802  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-cring 17771  df-subrg 17994  df-abv 18033  df-lmod 18081  df-scaf 18082  df-sra 18383  df-rgmod 18384  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-tmd 21074  df-tgp 21075  df-tsms 21128  df-trg 21161  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-nm 21584  df-ngp 21585  df-nrg 21587  df-nlm 21588  df-ii 21896  df-cncf 21897  df-limc 22808  df-dv 22809  df-log 23493  df-esum 28845  df-siga 28926  df-meas 29014
This theorem is referenced by:  measvuni  29032  measunl  29034
  Copyright terms: Public domain W3C validator