Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measun Structured version   Unicode version

Theorem measun 27808
Description: The measure the union of two disjoint sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measun  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( M `
 ( A  u.  B ) )  =  ( ( M `  A ) +e
( M `  B
) ) )

Proof of Theorem measun
StepHypRef Expression
1 simp1 991 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
2 measbase 27794 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
323ad2ant1 1012 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  S  e. 
U. ran sigAlgebra )
4 simp2l 1017 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  e.  S )
5 simp2r 1018 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  e.  S )
6 unelsiga 27760 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  u.  B
)  e.  S )
73, 4, 5, 6syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e.  S )
8 ssun2 3661 . . . 4  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
98a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  C_  ( A  u.  B
) )
10 measxun2 27807 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( ( A  u.  B )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  B  C_  ( A  u.  B
) )  ->  ( M `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( M `  B ) +e
( M `  (
( A  u.  B
)  \  B )
) ) )
111, 7, 5, 9, 10syl121anc 1228 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( M `
 ( A  u.  B ) )  =  ( ( M `  B ) +e
( M `  (
( A  u.  B
)  \  B )
) ) )
12 difun2 3899 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B ) 
\  B )  =  ( A  \  B
)
13 inundif 3898 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  A
14 uneq1 3644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  ( (/)  u.  ( A  \  B ) ) )
15 uncom 3641 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  ( A  \  B
) )  =  ( ( A  \  B
)  u.  (/) )
16 un0 3803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  B )  u.  (/) )  =  ( A  \  B )
1715, 16eqtri 2489 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u.  ( A  \  B
) )  =  ( A  \  B )
1814, 17syl6eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  ( A  \  B
) )
1913, 18syl5reqr 2516 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( A 
\  B )  =  A )
2012, 19syl5eq 2513 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  u.  B ) 
\  B )  =  A )
2120fveq2d 5861 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( M `
 ( ( A  u.  B )  \  B ) )  =  ( M `  A
) )
2221oveq2d 6291 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( M `  B ) +e ( M `
 ( ( A  u.  B )  \  B ) ) )  =  ( ( M `
 B ) +e ( M `  A ) ) )
23223ad2ant3 1014 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( M `  B ) +e ( M `
 ( ( A  u.  B )  \  B ) ) )  =  ( ( M `
 B ) +e ( M `  A ) ) )
24 iccssxr 11596 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
25 measvxrge0 27802 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2624, 25sseldi 3495 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  RR* )
271, 5, 26syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( M `
 B )  e. 
RR* )
28 measvxrge0 27802 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  S )  ->  ( M `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2924, 28sseldi 3495 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  S )  ->  ( M `  A )  e.  RR* )
301, 4, 29syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( M `
 A )  e. 
RR* )
31 xaddcom 11426 . . 3  |-  ( ( ( M `  B
)  e.  RR*  /\  ( M `  A )  e.  RR* )  ->  (
( M `  B
) +e ( M `  A ) )  =  ( ( M `  A ) +e ( M `
 B ) ) )
3227, 30, 31syl2anc 661 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( M `  B ) +e ( M `
 A ) )  =  ( ( M `
 A ) +e ( M `  B ) ) )
3311, 23, 323eqtrd 2505 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( M `
 ( A  u.  B ) )  =  ( ( M `  A ) +e
( M `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    \ cdif 3466    u. cun 3467    i^i cin 3468    C_ wss 3469   (/)c0 3778   U.cuni 4238   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616   +ecxad 11305   [,]cicc 11521  sigAlgebracsiga 27733  measurescmeas 27792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-ac2 8832  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-ac 8486  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-ordt 14745  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-ps 15676  df-tsr 15677  df-mnd 15721  df-plusf 15722  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-subrg 17203  df-abv 17242  df-lmod 17290  df-scaf 17291  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-tmd 20299  df-tgp 20300  df-tsms 20353  df-trg 20390  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-nm 20831  df-ngp 20832  df-nrg 20834  df-nlm 20835  df-ii 21109  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665  df-esum 27667  df-siga 27734  df-meas 27793
This theorem is referenced by:  measvuni  27811  measunl  27813
  Copyright terms: Public domain W3C validator