Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiuns Structured version   Unicode version

Theorem measiuns 28878
Description: The measure of the union of a collection of sets, expressed as the sum of a disjoint set. This is used as a lemma for both measiun 28879 and meascnbl 28880 (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2017.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiuns.0  |-  F/_ n B
measiuns.1  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
measiuns.2  |-  ( ph  ->  ( N  =  NN  \/  N  =  ( 1..^ I ) ) )
measiuns.3  |-  ( ph  ->  M  e.  (measures `  S
) )
measiuns.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  A  e.  S )
Assertion
Ref Expression
measiuns  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  N  A )  = Σ* n  e.  N ( M `  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, n, I    n, M   
k, N, n    S, k, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    A( n)    B( k, n)    M( k)

Proof of Theorem measiuns
StepHypRef Expression
1 measiuns.0 . . . 4  |-  F/_ n B
2 measiuns.1 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
3 measiuns.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  =  NN  \/  N  =  ( 1..^ I ) ) )
41, 2, 3iundisjcnt 28210 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  N  A  =  U_ n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
54fveq2d 5885 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  N  A )  =  ( M `  U_ n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
6 measiuns.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  (measures `  S
) )
7 measbase 28858 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
86, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
98adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
10 measiuns.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  A  e.  S )
11 simpll 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  ph )
12 fzossnn 11961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1..^ n )  C_  NN
13 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  N  =  NN )  ->  N  =  NN )
1412, 13syl5sseqr 3519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  N  =  NN )  ->  (
1..^ n )  C_  N )
15 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  N  =  ( 1..^ I ) )  ->  n  e.  N )
16 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  N  =  ( 1..^ I ) )  ->  N  =  ( 1..^ I ) )
1715, 16eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  N  =  ( 1..^ I ) )  ->  n  e.  ( 1..^ I ) )
18 elfzouz2 11932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1..^ I )  ->  I  e.  ( ZZ>= `  n )
)
19 fzoss2 11944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( 1..^ n )  C_  (
1..^ I ) )
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  N  =  ( 1..^ I ) )  ->  (
1..^ n )  C_  ( 1..^ I ) )
2120, 16sseqtr4d 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  N  =  ( 1..^ I ) )  ->  (
1..^ n )  C_  N )
223adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  ( N  =  NN  \/  N  =  ( 1..^ I ) ) )
2314, 21, 22mpjaodan 793 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  (
1..^ n )  C_  N )
2423sselda 3470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  k  e.  N )
2510sbimi 1795 . . . . . . . . 9  |-  ( [ k  /  n ]
( ph  /\  n  e.  N )  ->  [ k  /  n ] A  e.  S )
26 sban 2194 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ k  /  n ]
( ph  /\  n  e.  N )  <->  ( [
k  /  n ] ph  /\  [ k  /  n ] n  e.  N
) )
27 nfv 1754 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n ph
2827sbf 2175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ k  /  n ] ph 
<-> 
ph )
29 clelsb3 2550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ k  /  n ]
n  e.  N  <->  k  e.  N )
3028, 29anbi12i 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [ k  /  n ] ph  /\  [ k  /  n ] n  e.  N )  <->  ( ph  /\  k  e.  N ) )
3126, 30bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( [ k  /  n ]
( ph  /\  n  e.  N )  <->  ( ph  /\  k  e.  N ) )
32 sbsbc 3309 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ k  /  n ] A  e.  S  <->  [. k  /  n ]. A  e.  S
)
33 vex 3090 . . . . . . . . . . 11  |-  k  e. 
_V
34 sbcel1g 3810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  _V  ->  ( [. k  /  n ]. A  e.  S  <->  [_ k  /  n ]_ A  e.  S )
)
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. k  /  n ]. A  e.  S  <->  [_ k  /  n ]_ A  e.  S
)
36 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k A
3736, 1, 2cbvcsb 3406 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ k  /  n ]_ A  = 
[_ k  /  k ]_ B
38 csbid 3409 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ k  /  k ]_ B  =  B
3937, 38eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ k  /  n ]_ A  =  B
4039eleq1i 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( [_ k  /  n ]_ A  e.  S  <->  B  e.  S
)
4132, 35, 403bitri 274 . . . . . . . . 9  |-  ( [ k  /  n ] A  e.  S  <->  B  e.  S )
4225, 31, 413imtr3i 268 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  N )  ->  B  e.  S )
4311, 24, 42syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  B  e.  S )
4443ralrimiva 2846 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  A. k  e.  ( 1..^ n ) B  e.  S )
45 sigaclfu2 28782 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ n ) B  e.  S )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  e.  S )
469, 44, 45syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  e.  S )
47 difelsiga 28794 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  e.  S )  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  e.  S
)
489, 10, 46, 47syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  e.  S
)
4948ralrimiva 2846 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  e.  S
)
50 eqimss 3522 . . . . . 6  |-  ( N  =  NN  ->  N  C_  NN )
51 fzossnn 11961 . . . . . . 7  |-  ( 1..^ I )  C_  NN
52 sseq1 3491 . . . . . . 7  |-  ( N  =  ( 1..^ I )  ->  ( N  C_  NN  <->  ( 1..^ I )  C_  NN )
)
5351, 52mpbiri 236 . . . . . 6  |-  ( N  =  ( 1..^ I )  ->  N  C_  NN )
5450, 53jaoi 380 . . . . 5  |-  ( ( N  =  NN  \/  N  =  ( 1..^ I ) )  ->  N  C_  NN )
553, 54syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  C_  NN )
56 nnct 28133 . . . 4  |-  NN  ~<_  om
57 ssct 28136 . . . 4  |-  ( ( N  C_  NN  /\  NN  ~<_  om )  ->  N  ~<_  om )
5855, 56, 57sylancl 666 . . 3  |-  ( ph  ->  N  ~<_  om )
591, 2, 3iundisj2cnt 28211 . . 3  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
60 measvuni 28875 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. n  e.  N  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  e.  S  /\  ( N  ~<_  om  /\ Disj  n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) ) )  -> 
( M `  U_ n  e.  N  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  = Σ* n  e.  N ( M `  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
616, 49, 58, 59, 60syl112anc 1268 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  N  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  = Σ* n  e.  N ( M `  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
625, 61eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  N  A )  = Σ* n  e.  N ( M `  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437   [wsb 1789    e. wcel 1870   F/_wnfc 2577   A.wral 2782   _Vcvv 3087   [.wsbc 3305   [_csb 3401    \ cdif 3439    C_ wss 3442   U.cuni 4222   U_ciun 4302  Disj wdisj 4397   class class class wbr 4426   ran crn 4855   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   omcom 6706    ~<_ cdom 7575   1c1 9539   NNcn 10609   ZZ>=cuz 11159  ..^cfzo 11913  Σ*cesum 28687  sigAlgebracsiga 28768  measurescmeas 28856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-ac2 8891  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-ac 8545  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-ordt 15358  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-plusf 16438  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-subrg 17941  df-abv 17980  df-lmod 18028  df-scaf 18029  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-tmd 21018  df-tgp 21019  df-tsms 21072  df-trg 21105  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-nm 21528  df-ngp 21529  df-nrg 21531  df-nlm 21532  df-ii 21805  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-esum 28688  df-siga 28769  df-meas 28857
This theorem is referenced by:  measiun  28879  meascnbl  28880
  Copyright terms: Public domain W3C validator