Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiun Structured version   Unicode version

Theorem measiun 28014
 Description: A measure is sub-additive. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiun.1 measures
measiun.2
measiun.3
measiun.4
Assertion
Ref Expression
measiun Σ*
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem measiun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11619 . . 3
2 measiun.1 . . . 4 measures
3 measiun.2 . . . 4
4 measvxrge0 28001 . . . 4 measures
52, 3, 4syl2anc 661 . . 3
61, 5sseldi 3507 . 2
7 measbase 27993 . . . . . 6 measures sigAlgebra
82, 7syl 16 . . . . 5 sigAlgebra
9 measiun.3 . . . . . 6
109ralrimiva 2881 . . . . 5
11 sigaclcu2 27945 . . . . 5 sigAlgebra
128, 10, 11syl2anc 661 . . . 4
13 measvxrge0 28001 . . . 4 measures
142, 12, 13syl2anc 661 . . 3
151, 14sseldi 3507 . 2
16 nnex 10554 . . . 4
172adantr 465 . . . . . 6 measures
18 measvxrge0 28001 . . . . . 6 measures
1917, 9, 18syl2anc 661 . . . . 5
2019ralrimiva 2881 . . . 4
21 nfcv 2629 . . . . 5
2221esumcl 27868 . . . 4 Σ*
2316, 20, 22sylancr 663 . . 3 Σ*
241, 23sseldi 3507 . 2 Σ*
25 measiun.4 . . 3
262, 3, 12, 25measssd 28011 . 2
27 nfcsb1v 3456 . . . 4
28 csbeq1a 3449 . . . 4
29 eqidd 2468 . . . . 5
3029orcd 392 . . . 4 ..^
3127, 28, 30, 2, 9measiuns 28013 . . 3 Σ* ..^
3216a1i 11 . . . 4
338adantr 465 . . . . . 6 sigAlgebra
34 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11
35 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13
3635nfel1 2645 . . . . . . . . . . . 12
3727nfel1 2645 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37nfim 1867 . . . . . . . . . . 11
3934, 38nfim 1867 . . . . . . . . . 10
40 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12
4128eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
4342imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
449ex 434 . . . . . . . . . 10
4539, 43, 44chvar 1982 . . . . . . . . 9
4645ralrimiv 2879 . . . . . . . 8
47 fzossnn 11850 . . . . . . . . . 10 ..^
48 ssralv 3569 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ..^
50 sigaclfu2 27946 . . . . . . . . 9 sigAlgebra ..^ ..^
5149, 50sylan2 474 . . . . . . . 8 sigAlgebra ..^
528, 46, 51syl2anc 661 . . . . . . 7 ..^
5352adantr 465 . . . . . 6 ..^
54 difelsiga 27958 . . . . . 6 sigAlgebra ..^ ..^
5533, 9, 53, 54syl3anc 1228 . . . . 5 ..^
56 measvxrge0 28001 . . . . 5 measures ..^ ..^
5717, 55, 56syl2anc 661 . . . 4 ..^
58 difssd 3637 . . . . 5 ..^
5917, 55, 9, 58measssd 28011 . . . 4 ..^
6032, 57, 19, 59esumle 27890 . . 3 Σ* ..^ Σ*
6131, 60eqbrtrd 4473 . 2 Σ*
626, 15, 24, 26, 61xrletrd 11377 1 Σ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  cvv 3118  csb 3440   cdif 3478   wss 3481  cuni 4251  ciun 4331   class class class wbr 4453   crn 5006  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc0 9504  c1 9505   cpnf 9637  cxr 9639   cle 9641  cn 10548  cicc 11544  ..^cfzo 11804  Σ*cesum 27865  sigAlgebracsiga 27932  measurescmeas 27991 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-ac2 8855  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-ac 8509  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-ordt 14773  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-ps 15704  df-tsr 15705  df-plusf 15745  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-subrg 17298  df-abv 17337  df-lmod 17385  df-scaf 17386  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-tmd 20439  df-tgp 20440  df-tsms 20493  df-trg 20530  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-nm 20971  df-ngp 20972  df-nrg 20974  df-nlm 20975  df-ii 21249  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810  df-esum 27866  df-siga 27933  df-meas 27992 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator