Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiun Structured version   Unicode version

Theorem measiun 26654
Description: A measure is sub-additive. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiun.1  |-  ( ph  ->  M  e.  (measures `  S
) )
measiun.2  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
measiun.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  B  e.  S )
measiun.4  |-  ( ph  ->  A  C_  U_ n  e.  NN  B )
Assertion
Ref Expression
measiun  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  <_ Σ* n  e.  NN ( M `  B ) )
Distinct variable groups:    ph, n    S, n    n, M
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)

Proof of Theorem measiun
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11399 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 measiun.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  (measures `  S
) )
3 measiun.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
4 measvxrge0 26641 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  S )  ->  ( M `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
61, 5sseldi 3375 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  e.  RR* )
7 measbase 26633 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
82, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
9 measiun.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  B  e.  S )
109ralrimiva 2820 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  B  e.  S )
11 sigaclcu2 26585 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. n  e.  NN  B  e.  S )  ->  U_ n  e.  NN  B  e.  S
)
128, 10, 11syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  B  e.  S )
13 measvxrge0 26641 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  U_ n  e.  NN  B  e.  S
)  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
142, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
151, 14sseldi 3375 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  B )  e. 
RR* )
16 nnex 10349 . . . 4  |-  NN  e.  _V
172adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
18 measvxrge0 26641 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1917, 9, 18syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2019ralrimiva 2820 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
21 nfcv 2589 . . . . 5  |-  F/_ n NN
2221esumcl 26508 . . . 4  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A. n  e.  NN  ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* n  e.  NN ( M `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2316, 20, 22sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* n  e.  NN ( M `
 B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
241, 23sseldi 3375 . 2  |-  ( ph  -> Σ* n  e.  NN ( M `
 B )  e. 
RR* )
25 measiun.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  U_ n  e.  NN  B )
262, 3, 12, 25measssd 26651 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  <_  ( M `  U_ n  e.  NN  B ) )
27 nfcsb1v 3325 . . . 4  |-  F/_ n [_ k  /  n ]_ B
28 csbeq1a 3318 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  B  =  [_ k  /  n ]_ B )
29 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  NN  =  NN )
3029orcd 392 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( NN  =  NN  \/  NN  =  ( 1..^ m ) ) )
3127, 28, 30, 2, 9measiuns 26653 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  B )  = Σ* n  e.  NN ( M `
 ( B  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) [_ k  /  n ]_ B
) ) )
3216a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
338adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  e. 
U. ran sigAlgebra )
34 nfv 1673 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n ph
35 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
k
3635nfel1 2604 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n  k  e.  NN
3727nfel1 2604 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n [_ k  /  n ]_ B  e.  S
3836, 37nfim 1853 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( k  e.  NN  ->  [_ k  /  n ]_ B  e.  S
)
3934, 38nfim 1853 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  [_ k  /  n ]_ B  e.  S ) )
40 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
n  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
4128eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( B  e.  S  <->  [_ k  /  n ]_ B  e.  S
) )
4240, 41imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  e.  NN  ->  B  e.  S )  <-> 
( k  e.  NN  ->  [_ k  /  n ]_ B  e.  S
) ) )
4342imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( ph  ->  ( n  e.  NN  ->  B  e.  S ) )  <->  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  [_ k  /  n ]_ B  e.  S
) ) ) )
449ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  ->  B  e.  S ) )
4539, 43, 44chvar 1957 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  [_ k  /  n ]_ B  e.  S
) )
4645ralrimiv 2819 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ B  e.  S )
47 fzossnn 11615 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1..^ n )  C_  NN
48 ssralv 3437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1..^ n )  C_  NN  ->  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ B  e.  S  ->  A. k  e.  ( 1..^ n ) [_ k  /  n ]_ B  e.  S ) )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ B  e.  S  ->  A. k  e.  ( 1..^ n )
[_ k  /  n ]_ B  e.  S
)
50 sigaclfu2 26586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ n ) [_ k  /  n ]_ B  e.  S )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n )
[_ k  /  n ]_ B  e.  S
)
5149, 50sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ B  e.  S )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n )
[_ k  /  n ]_ B  e.  S
)
528, 46, 51syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) [_ k  /  n ]_ B  e.  S )
5352adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n )
[_ k  /  n ]_ B  e.  S
)
54 difelsiga 26598 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  S  /\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) [_ k  /  n ]_ B  e.  S )  ->  ( B  \  U_ k  e.  ( 1..^ n )
[_ k  /  n ]_ B )  e.  S
)
5533, 9, 53, 54syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) [_ k  /  n ]_ B
)  e.  S )
56 measvxrge0 26641 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( B  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) [_ k  /  n ]_ B
)  e.  S )  ->  ( M `  ( B  \  U_ k  e.  ( 1..^ n )
[_ k  /  n ]_ B ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5717, 55, 56syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( B  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) [_ k  /  n ]_ B
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
58 difssd 3505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) [_ k  /  n ]_ B
)  C_  B )
5917, 55, 9, 58measssd 26651 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 ( B  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) [_ k  /  n ]_ B
) )  <_  ( M `  B )
)
6032, 57, 19, 59esumle 26530 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* n  e.  NN ( M `
 ( B  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) [_ k  /  n ]_ B
) )  <_ Σ* n  e.  NN ( M `  B ) )
6131, 60eqbrtrd 4333 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  B )  <_ Σ* n  e.  NN ( M `  B ) )
626, 15, 24, 26, 61xrletrd 11157 1  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  <_ Σ* n  e.  NN ( M `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993   [_csb 3309    \ cdif 3346    C_ wss 3349   U.cuni 4112   U_ciun 4192   class class class wbr 4313   ran crn 4862   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   0cc0 9303   1c1 9304   +oocpnf 9436   RR*cxr 9438    <_ cle 9440   NNcn 10343   [,]cicc 11324  ..^cfzo 11569  Σ*cesum 26505  sigAlgebracsiga 26572  measurescmeas 26631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-ac2 8653  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-disj 4284  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-ac 8307  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-sin 13376  df-cos 13377  df-pi 13379  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-ordt 14460  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-ps 15391  df-tsr 15392  df-mnd 15436  df-plusf 15437  df-mhm 15485  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-mulg 15569  df-subg 15699  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-cring 16670  df-subrg 16885  df-abv 16924  df-lmod 16972  df-scaf 16973  df-sra 17275  df-rgmod 17276  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-tmd 19665  df-tgp 19666  df-tsms 19719  df-trg 19756  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-nm 20197  df-ngp 20198  df-nrg 20200  df-nlm 20201  df-ii 20475  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364  df-log 22030  df-esum 26506  df-siga 26573  df-meas 26632
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator