Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measinblem Structured version   Unicode version

Theorem measinblem 27859
Description: Lemma for measinb 27860 (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
measinblem  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  ->  ( M `  ( U. B  i^i  A
) )  = Σ* x  e.  B ( M `  ( x  i^i  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, S    x, M

Proof of Theorem measinblem
StepHypRef Expression
1 iunin1 4390 . . . 4  |-  U_ x  e.  B  ( x  i^i  A )  =  (
U_ x  e.  B  x  i^i  A )
2 uniiun 4378 . . . . 5  |-  U. B  =  U_ x  e.  B  x
32ineq1i 3696 . . . 4  |-  ( U. B  i^i  A )  =  ( U_ x  e.  B  x  i^i  A
)
41, 3eqtr4i 2499 . . 3  |-  U_ x  e.  B  ( x  i^i  A )  =  ( U. B  i^i  A
)
54fveq2i 5869 . 2  |-  ( M `
 U_ x  e.  B  ( x  i^i  A ) )  =  ( M `
 ( U. B  i^i  A ) )
6 simplll 757 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  ->  M  e.  (measures `  S ) )
7 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ x
( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )
8 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ x  B  ~<_  om
9 nfdisj1 4430 . . . . . 6  |-  F/ xDisj  x  e.  B  x
108, 9nfan 1875 . . . . 5  |-  F/ x
( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )
117, 10nfan 1875 . . . 4  |-  F/ x
( ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  S )  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )
12 simp1ll 1059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )  /\  x  e.  B )  ->  M  e.  (measures `  S
) )
13 measbase 27836 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
15 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
16 simp1r 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )  /\  x  e.  B )  ->  B  e.  ~P S
)
17 elelpwi 4021 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  ~P S
)  ->  x  e.  S )
1815, 16, 17syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  S )
19 simp1lr 1060 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )  /\  x  e.  B )  ->  A  e.  S )
20 inelsiga 27803 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  S  /\  A  e.  S )  ->  ( x  i^i  A
)  e.  S )
2114, 18, 19, 20syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  i^i  A
)  e.  S )
22213expia 1198 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  ->  ( x  e.  B  ->  ( x  i^i  A )  e.  S
) )
2311, 22ralrimi 2864 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  ->  A. x  e.  B  ( x  i^i  A )  e.  S )
24 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  ->  B  ~<_  om )
25 disjin 27147 . . . 4  |-  (Disj  x  e.  B  x  -> Disj  x  e.  B  ( x  i^i  A ) )
2625ad2antll 728 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  -> Disj  x  e.  B  ( x  i^i  A ) )
27 measvuni 27853 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  B  ( x  i^i  A )  e.  S  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  ( x  i^i  A ) ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  B  ( x  i^i  A ) )  = Σ* x  e.  B
( M `  (
x  i^i  A )
) )
286, 23, 24, 26, 27syl112anc 1232 . 2  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  B  ( x  i^i  A ) )  = Σ* x  e.  B
( M `  (
x  i^i  A )
) )
295, 28syl5eqr 2522 1  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  ->  ( M `  ( U. B  i^i  A
) )  = Σ* x  e.  B ( M `  ( x  i^i  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    i^i cin 3475   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325  Disj wdisj 4417   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5588   omcom 6684    ~<_ cdom 7514  Σ*cesum 27708  sigAlgebracsiga 27775  measurescmeas 27834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-ac2 8843  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-ac 8497  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-ordt 14756  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-ps 15687  df-tsr 15688  df-mnd 15732  df-plusf 15733  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-subrg 17227  df-abv 17266  df-lmod 17314  df-scaf 17315  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-tmd 20334  df-tgp 20335  df-tsms 20388  df-trg 20425  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-nm 20866  df-ngp 20867  df-nrg 20869  df-nlm 20870  df-ii 21144  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-esum 27709  df-siga 27776  df-meas 27835
This theorem is referenced by:  measinb  27860
  Copyright terms: Public domain W3C validator