Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measinblem Structured version   Unicode version

Theorem measinblem 28889
Description: Lemma for measinb 28890 (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
measinblem  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  ->  ( M `  ( U. B  i^i  A
) )  = Σ* x  e.  B ( M `  ( x  i^i  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, S    x, M

Proof of Theorem measinblem
StepHypRef Expression
1 iunin1 4367 . . . 4  |-  U_ x  e.  B  ( x  i^i  A )  =  (
U_ x  e.  B  x  i^i  A )
2 uniiun 4355 . . . . 5  |-  U. B  =  U_ x  e.  B  x
32ineq1i 3666 . . . 4  |-  ( U. B  i^i  A )  =  ( U_ x  e.  B  x  i^i  A
)
41, 3eqtr4i 2461 . . 3  |-  U_ x  e.  B  ( x  i^i  A )  =  ( U. B  i^i  A
)
54fveq2i 5884 . 2  |-  ( M `
 U_ x  e.  B  ( x  i^i  A ) )  =  ( M `
 ( U. B  i^i  A ) )
6 simplll 766 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  ->  M  e.  (measures `  S ) )
7 nfv 1754 . . . . 5  |-  F/ x
( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )
8 nfv 1754 . . . . . 6  |-  F/ x  B  ~<_  om
9 nfdisj1 4410 . . . . . 6  |-  F/ xDisj  x  e.  B  x
108, 9nfan 1986 . . . . 5  |-  F/ x
( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )
117, 10nfan 1986 . . . 4  |-  F/ x
( ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  S )  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )
12 simp1ll 1068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )  /\  x  e.  B )  ->  M  e.  (measures `  S
) )
13 measbase 28866 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
1412, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
15 simp3 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
16 simp1r 1030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )  /\  x  e.  B )  ->  B  e.  ~P S
)
17 elelpwi 3996 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  ~P S
)  ->  x  e.  S )
1815, 16, 17syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  S )
19 simp1lr 1069 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )  /\  x  e.  B )  ->  A  e.  S )
20 inelsiga 28804 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  x  e.  S  /\  A  e.  S )  ->  ( x  i^i  A
)  e.  S )
2114, 18, 19, 20syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  i^i  A
)  e.  S )
22213expia 1207 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  ->  ( x  e.  B  ->  ( x  i^i  A )  e.  S
) )
2311, 22ralrimi 2832 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  ->  A. x  e.  B  ( x  i^i  A )  e.  S )
24 simprl 762 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  ->  B  ~<_  om )
25 disjin 28043 . . . 4  |-  (Disj  x  e.  B  x  -> Disj  x  e.  B  ( x  i^i  A ) )
2625ad2antll 733 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  -> Disj  x  e.  B  ( x  i^i  A ) )
27 measvuni 28883 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  B  ( x  i^i  A )  e.  S  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  ( x  i^i  A ) ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  B  ( x  i^i  A ) )  = Σ* x  e.  B
( M `  (
x  i^i  A )
) )
286, 23, 24, 26, 27syl112anc 1268 . 2  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  ->  ( M `  U_ x  e.  B  ( x  i^i  A ) )  = Σ* x  e.  B
( M `  (
x  i^i  A )
) )
295, 28syl5eqr 2484 1  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  S
)  /\  B  e.  ~P S )  /\  ( B  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  B  x ) )  ->  ( M `  ( U. B  i^i  A
) )  = Σ* x  e.  B ( M `  ( x  i^i  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782    i^i cin 3441   ~Pcpw 3985   U.cuni 4222   U_ciun 4302  Disj wdisj 4397   class class class wbr 4426   ran crn 4855   ` cfv 5601   omcom 6706    ~<_ cdom 7575  Σ*cesum 28695  sigAlgebracsiga 28776  measurescmeas 28864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-ac2 8891  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-ac 8545  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15166  df-mulr 15167  df-starv 15168  df-sca 15169  df-vsca 15170  df-ip 15171  df-tset 15172  df-ple 15173  df-ds 15175  df-unif 15176  df-hom 15177  df-cco 15178  df-rest 15284  df-topn 15285  df-0g 15303  df-gsum 15304  df-topgen 15305  df-pt 15306  df-prds 15309  df-ordt 15362  df-xrs 15363  df-qtop 15368  df-imas 15369  df-xps 15371  df-mre 15447  df-mrc 15448  df-acs 15450  df-ps 16401  df-tsr 16402  df-plusf 16442  df-mgm 16443  df-sgrp 16482  df-mnd 16492  df-mhm 16537  df-submnd 16538  df-grp 16628  df-minusg 16629  df-sbg 16630  df-mulg 16631  df-subg 16769  df-cntz 16926  df-cmn 17371  df-abl 17372  df-mgp 17663  df-ur 17675  df-ring 17721  df-cring 17722  df-subrg 17945  df-abv 17984  df-lmod 18032  df-scaf 18033  df-sra 18334  df-rgmod 18335  df-psmet 18901  df-xmet 18902  df-met 18903  df-bl 18904  df-mopn 18905  df-fbas 18906  df-fg 18907  df-cnfld 18910  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-lp 20087  df-perf 20088  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-haus 20266  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-tmd 21022  df-tgp 21023  df-tsms 21076  df-trg 21109  df-xms 21270  df-ms 21271  df-tms 21272  df-nm 21532  df-ngp 21533  df-nrg 21535  df-nlm 21536  df-ii 21809  df-cncf 21810  df-limc 22706  df-dv 22707  df-log 23379  df-esum 28696  df-siga 28777  df-meas 28865
This theorem is referenced by:  measinb  28890
  Copyright terms: Public domain W3C validator