Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measinb Structured version   Unicode version

Theorem measinb 26781
 Description: Building a measure restricted to the intersection with a given set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
measinb measures measures
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem measinb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . 4 measures measures
2 measbase 26757 . . . . . 6 measures sigAlgebra
32ad2antrr 725 . . . . 5 measures sigAlgebra
4 simpr 461 . . . . 5 measures
5 simplr 754 . . . . 5 measures
6 inelsiga 26724 . . . . 5 sigAlgebra
73, 4, 5, 6syl3anc 1219 . . . 4 measures
8 measvxrge0 26765 . . . 4 measures
91, 7, 8syl2anc 661 . . 3 measures
10 eqid 2454 . . 3
119, 10fmptd 5977 . 2 measures
12 eqidd 2455 . . 3 measures
13 ineq1 3654 . . . . . . 7
14 incom 3652 . . . . . . . 8
15 in0 3772 . . . . . . . 8
1614, 15eqtr3i 2485 . . . . . . 7
1713, 16syl6eq 2511 . . . . . 6
1817fveq2d 5804 . . . . 5
1918adantl 466 . . . 4 measures
20 measvnul 26766 . . . . 5 measures
2120ad2antrr 725 . . . 4 measures
2219, 21eqtrd 2495 . . 3 measures
232adantr 465 . . . 4 measures sigAlgebra
24 0elsiga 26703 . . . 4 sigAlgebra
2523, 24syl 16 . . 3 measures
26 0re 9498 . . . 4
2726a1i 11 . . 3 measures
2812, 22, 25, 27fvmptd 5889 . 2 measures
29 measinblem 26780 . . . . 5 measures Disj Σ*
30 eqidd 2455 . . . . . 6 measures Disj
31 ineq1 3654 . . . . . . . 8
3231adantl 466 . . . . . . 7 measures Disj
3332fveq2d 5804 . . . . . 6 measures Disj
34 simplll 757 . . . . . . . 8 measures Disj measures
3534, 2syl 16 . . . . . . 7 measures Disj sigAlgebra
36 simplr 754 . . . . . . 7 measures Disj
37 simprl 755 . . . . . . 7 measures Disj
38 sigaclcu 26706 . . . . . . 7 sigAlgebra
3935, 36, 37, 38syl3anc 1219 . . . . . 6 measures Disj
40 simpllr 758 . . . . . . . 8 measures Disj
41 inelsiga 26724 . . . . . . . 8 sigAlgebra
4235, 39, 40, 41syl3anc 1219 . . . . . . 7 measures Disj
43 measvxrge0 26765 . . . . . . 7 measures
4434, 42, 43syl2anc 661 . . . . . 6 measures Disj
4530, 33, 39, 44fvmptd 5889 . . . . 5 measures Disj
46 eqidd 2455 . . . . . . . 8 measures
47 ineq1 3654 . . . . . . . . . 10
4847adantl 466 . . . . . . . . 9 measures
4948fveq2d 5804 . . . . . . . 8 measures
50 elpwi 3978 . . . . . . . . . 10
5150ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 measures
52 simpr 461 . . . . . . . . 9 measures
5351, 52sseldd 3466 . . . . . . . 8 measures
54 simplll 757 . . . . . . . . 9 measures measures
5554, 2syl 16 . . . . . . . . . 10 measures sigAlgebra
56 simpllr 758 . . . . . . . . . 10 measures
57 inelsiga 26724 . . . . . . . . . 10 sigAlgebra
5855, 53, 56, 57syl3anc 1219 . . . . . . . . 9 measures
59 measvxrge0 26765 . . . . . . . . 9 measures
6054, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . . 8 measures
6146, 49, 53, 60fvmptd 5889 . . . . . . 7 measures
6261esumeq2dv 26640 . . . . . 6 measures Σ* Σ*
6362adantr 465 . . . . 5 measures Disj Σ* Σ*
6429, 45, 633eqtr4d 2505 . . . 4 measures Disj Σ*
6564ex 434 . . 3 measures Disj Σ*
6665ralrimiva 2830 . 2 measures Disj Σ*
67 ismeas 26759 . . 3 sigAlgebra measures Disj Σ*
6823, 67syl 16 . 2 measures measures Disj Σ*
6911, 28, 66, 68mpbir3and 1171 1 measures measures
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  wral 2799   cin 3436   wss 3437  c0 3746  cpw 3969  cuni 4200  Disj wdisj 4371   class class class wbr 4401   cmpt 4459   crn 4950  wf 5523  cfv 5527  (class class class)co 6201  com 6587   cdom 7419  cr 9393  cc0 9394   cpnf 9527  cicc 11415  Σ*cesum 26629  sigAlgebracsiga 26696  measurescmeas 26755 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-ac2 8744  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-disj 4372  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-acn 8224  df-ac 8398  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ioc 11417  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-exp 11984  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222  df-shft 12675  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-limsup 13068  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283  df-ef 13472  df-sin 13474  df-cos 13475  df-pi 13477  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-ordt 14559  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-ps 15490  df-tsr 15491  df-mnd 15535  df-plusf 15536  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-subrg 16987  df-abv 17026  df-lmod 17074  df-scaf 17075  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-lp 18873  df-perf 18874  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-tmd 19776  df-tgp 19777  df-tsms 19830  df-trg 19867  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-nm 20308  df-ngp 20309  df-nrg 20311  df-nlm 20312  df-ii 20586  df-cncf 20587  df-limc 21475  df-dv 21476  df-log 22142  df-esum 26630  df-siga 26697  df-meas 26756 This theorem is referenced by:  measinb2  26783  totprobd  26954  probmeasb  26958
 Copyright terms: Public domain W3C validator