Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measge0 Structured version   Unicode version

Theorem measge0 28641
Description: A measure is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
measge0  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  S )  ->  0  <_  ( M `  A
) )

Proof of Theorem measge0
StepHypRef Expression
1 measvxrge0 28639 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  S )  ->  ( M `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2 elxrge0 11681 . . 3  |-  ( ( M `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( M `
 A )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( M `  A ) ) )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  S )  ->  (
( M `  A
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( M `  A
) ) )
43simprd 461 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  S )  ->  0  <_  ( M `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   0cc0 9521   +oocpnf 9654   RR*cxr 9656    <_ cle 9658   [,]cicc 11584  measurescmeas 28629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-icc 11588  df-esum 28461  df-meas 28630
This theorem is referenced by:  sibfof  28774
  Copyright terms: Public domain W3C validator