Theorem measge0 28641

Description: A measure is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
measge0	|- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> 0 <_ ( M ` A ) )

Proof of Theorem measge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measvxrge0 28639	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> ( M ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
2		elxrge0 11681	. . 3 |- ( ( M ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( M ` A ) e. RR* /\ 0 <_ ( M ` A ) ) )
3	1, 2	sylib 196	. 2 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> ( ( M ` A ) e. RR* /\ 0 <_ ( M ` A ) ) )
4	3	simprd 461	1 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> 0 <_ ( M ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   0cc0 9521   +oocpnf 9654   RR*cxr 9656   <_ cle 9658   [,]cicc 11584  measurescmeas 28629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-icc 11588  df-esum 28461  df-meas 28630

This theorem is referenced by:  sibfof  28774