Theorem measge0 26573

Description: A measure is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
measge0	|- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> 0 <_ ( M ` A ) )

Proof of Theorem measge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measvxrge0 26571	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> ( M ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
2		elxrge0 11386	. . 3 |- ( ( M ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( M ` A ) e. RR* /\ 0 <_ ( M ` A ) ) )
3	1, 2	sylib 196	. 2 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> ( ( M ` A ) e. RR* /\ 0 <_ ( M ` A ) ) )
4	3	simprd 463	1 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> 0 <_ ( M ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   0cc0 9274   +oocpnf 9407   RR*cxr 9409   <_ cle 9411   [,]cicc 11295  measurescmeas 26561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-icc 11299  df-esum 26436  df-meas 26562

This theorem is referenced by:  sibfof  26678