Theorem measge0 26786

Description: A measure is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
measge0	|- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> 0 <_ ( M ` A ) )

Proof of Theorem measge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measvxrge0 26784	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> ( M ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
2		elxrge0 11514	. . 3 |- ( ( M ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( M ` A ) e. RR* /\ 0 <_ ( M ` A ) ) )
3	1, 2	sylib 196	. 2 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> ( ( M ` A ) e. RR* /\ 0 <_ ( M ` A ) ) )
4	3	simprd 463	1 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> 0 <_ ( M ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1758   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9396   +oocpnf 9529   RR*cxr 9531   <_ cle 9533   [,]cicc 11417  measurescmeas 26774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-icc 11421  df-esum 26649  df-meas 26775

This theorem is referenced by:  sibfof  26890