Theorem measge0 29029

Description: A measure is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
measge0	|- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> 0 <_ ( M ` A ) )

Proof of Theorem measge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measvxrge0 29027	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> ( M ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
2		elxrge0 11741	. . 3 |- ( ( M ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( M ` A ) e. RR* /\ 0 <_ ( M ` A ) ) )
3	1, 2	sylib 200	. 2 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> ( ( M ` A ) e. RR* /\ 0 <_ ( M ` A ) ) )
4	3	simprd 465	1 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A e. S ) -> 0 <_ ( M ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   e. wcel 1887   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   0cc0 9539   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   <_ cle 9676   [,]cicc 11638  measurescmeas 29017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-icc 11642  df-esum 28849  df-meas 29018

This theorem is referenced by:  sibfof  29173