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Theorem measdivcstOLD 29120
Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
measdivcstOLD  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    x, S

Proof of Theorem measdivcstOLD
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5625 . . . . . 6  |-  Fun  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )
2 ovex 6336 . . . . . . . 8  |-  ( ( M `  x ) /𝑒  A )  e.  _V
32rgenw 2768 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  S  ( ( M `  x ) /𝑒  A
)  e.  _V
4 dmmptg 5339 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  (
( M `  x
) /𝑒 
A )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) )  =  S )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  =  S
6 df-fn 5592 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  Fn  S  <->  ( Fun  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  /\  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  =  S ) )
71, 5, 6mpbir2an 934 . . . . 5  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  Fn  S
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  Fn  S
)
9 vex 3034 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
10 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )
1110elrnmpt 5087 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  <->  E. x  e.  S  y  =  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  <->  E. x  e.  S  y  =  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )
13 measfrge0 29099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  M : S
--> ( 0 [,] +oo ) )
14 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  S )  ->  ( M `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1513, 14sylan 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  S )  ->  ( M `  x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1615adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  ( M `  x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
17 simplr 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR+ )
1816, 17xrpxdivcld 28479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  (
( M `  x
) /𝑒 
A )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
19 eleq1a 2544 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M `  x
) /𝑒 
A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( y  =  ( ( M `  x
) /𝑒 
A )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
2018, 19syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  (
y  =  ( ( M `  x ) /𝑒  A )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
2120rexlimdva 2871 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( E. x  e.  S  y  =  ( ( M `
 x ) /𝑒  A )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )
2212, 21syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( y  e.  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
2322ssrdv 3424 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  C_  (
0 [,] +oo )
)
24 df-f 5593 . . . 4  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  Fn  S  /\  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) )  C_  ( 0 [,] +oo ) ) )
258, 23, 24sylanbrc 677 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo ) )
26 measbase 29093 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
27 0elsiga 29010 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  (/)  e.  S
)
2928adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  (/)  e.  S
)
30 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  e.  _V
3129, 30jctir 547 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (/)  e.  S  /\  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  e.  _V ) )
32 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( M `
 x )  =  ( M `  (/) ) )
3332oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( M `  x ) /𝑒  A )  =  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A ) )
3433, 10fvmptg 5961 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  S  /\  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A ) )
3531, 34syl 17 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  (/) )  =  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A ) )
36 measvnul 29102 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
3736oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  =  ( 0 /𝑒  A ) )
38 xdiv0rp 28474 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 0 /𝑒  A )  =  0 )
3937, 38sylan9eq 2525 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  =  0 )
4035, 39eqtrd 2505 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  (/) )  =  0 )
41 simpll 768 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )
)
42 simplr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  y  e.  ~P S )
43 simprl 772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  y  ~<_  om )
44 simprr 774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  -> Disj  z  e.  y  z )
4542, 43, 443jca 1210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( y  e. 
~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y 
z ) )
469a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  -> 
y  e.  _V )
47 simplll 776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
48 simplr 770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  y  e.  ~P S )
49 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  y )
50 elpwg 3950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ~P S  <->  y 
C_  S ) )
519, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P S  <->  y  C_  S )
52 ssel2 3413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  S  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  S )
5351, 52sylanb 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ~P S  /\  z  e.  y
)  ->  z  e.  S )
5448, 49, 53syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  S )
55 measvxrge0 29101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( M `  z )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5647, 54, 55syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  ( M `  z )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
57 simplr 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  ->  A  e.  RR+ )
5846, 56, 57esumdivc 28978 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  -> 
(Σ* z  e.  y ( M `  z ) /𝑒  A )  = Σ* z  e.  y ( ( M `  z ) /𝑒  A ) )
59583ad2antr1 1195 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  (Σ* z  e.  y ( M `  z ) /𝑒  A )  = Σ* z  e.  y ( ( M `  z ) /𝑒  A ) )
6026ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
61 simpr1 1036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  y  e.  ~P S )
62 simpr2 1037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  y  ~<_  om )
63 sigaclcu 29013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om )  ->  U. y  e.  S
)
6460, 61, 62, 63syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  U. y  e.  S
)
65 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. y  -> 
( M `  x
)  =  ( M `
 U. y ) )
6665oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( M `  x ) /𝑒  A )  =  ( ( M `  U. y ) /𝑒  A ) )
6766, 10, 2fvmpt3i 5968 . . . . . . . . 9  |-  ( U. y  e.  S  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  =  ( ( M `  U. y ) /𝑒  A ) )
6864, 67syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  =  ( ( M `  U. y ) /𝑒  A ) )
69 simpll 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  M  e.  (measures `  S ) )
7069, 61jca 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( M  e.  (measures `  S )  /\  y  e.  ~P S ) )
71 simpr3 1038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  -> Disj  z  e.  y  z )
7262, 71jca 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( y  ~<_  om 
/\ Disj  z  e.  y  z ) )
73 measvun 29105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  y  e.  ~P S  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) )
74733expia 1233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  y  e.  ~P S )  ->  (
( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) ) )
7574ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  -> 
( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) ) )
7675r19.21bi 2776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  y  e.  ~P S )  ->  (
( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) ) )
7770, 72, 76sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) )
7877oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( M `
 U. y ) /𝑒  A )  =  (Σ* z  e.  y ( M `  z ) /𝑒  A ) )
7968, 78eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  =  (Σ* z  e.  y ( M `
 z ) /𝑒  A ) )
80 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( M `  x )  =  ( M `  z ) )
8180oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( M `  x
) /𝑒 
A )  =  ( ( M `  z
) /𝑒 
A ) )
8281, 10, 2fvmpt3i 5968 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  S  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z )  =  ( ( M `  z
) /𝑒 
A ) )
8353, 82syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ~P S  /\  z  e.  y
)  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  z )  =  ( ( M `  z
) /𝑒 
A ) )
8483esumeq2dv 28933 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P S  -> Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
)  = Σ* z  e.  y ( ( M `  z ) /𝑒  A ) )
8561, 84syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  -> Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z )  = Σ* z  e.  y ( ( M `
 z ) /𝑒  A ) )
8659, 79, 853eqtr4d 2515 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) )
8741, 45, 86syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) )
8887ex 441 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  -> 
( ( y  ~<_  om 
/\ Disj  z  e.  y  z )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) )
8988ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  -> 
( ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) ) `  U. y
)  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) ) `  z ) ) )
9025, 40, 893jca 1210 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) ) )
91 ismeas 29095 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S )  <->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) ) ) )
9226, 91syl 17 . . . 4  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  e.  (measures `  S )  <->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) ) ) )
9392biimprd 231 . . 3  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S )
) )
9493adantr 472 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S )
) )
9590, 94mpd 15 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711    ~<_ cdom 7585   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR+crp 11325   [,]cicc 11663   /𝑒 cxdiv 28461  Σ*cesum 28922  sigAlgebracsiga 29003  measurescmeas 29091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tsms 21219  df-xdiv 28462  df-esum 28923  df-siga 29004  df-meas 29092
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