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Theorem measdivcstOLD 26643
Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
measdivcstOLD  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    x, S

Proof of Theorem measdivcstOLD
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5459 . . . . . 6  |-  Fun  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )
2 ovex 6121 . . . . . . . 8  |-  ( ( M `  x ) /𝑒  A )  e.  _V
32rgenw 2788 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  S  ( ( M `  x ) /𝑒  A
)  e.  _V
4 dmmptg 5340 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  (
( M `  x
) /𝑒 
A )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) )  =  S )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  =  S
6 df-fn 5426 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  Fn  S  <->  ( Fun  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  /\  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  =  S ) )
71, 5, 6mpbir2an 911 . . . . 5  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  Fn  S
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  Fn  S
)
9 vex 2980 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
10 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )
1110elrnmpt 5091 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  <->  E. x  e.  S  y  =  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  <->  E. x  e.  S  y  =  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )
13 measfrge0 26622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  M : S
--> ( 0 [,] +oo ) )
14 ffvelrn 5846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  S )  ->  ( M `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1513, 14sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  S )  ->  ( M `  x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1615adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  ( M `  x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
17 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR+ )
1816, 17xrpxdivcld 26115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  (
( M `  x
) /𝑒 
A )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
19 eleq1a 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M `  x
) /𝑒 
A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( y  =  ( ( M `  x
) /𝑒 
A )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  (
y  =  ( ( M `  x ) /𝑒  A )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
2120rexlimdva 2846 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( E. x  e.  S  y  =  ( ( M `
 x ) /𝑒  A )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )
2212, 21syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( y  e.  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
2322ssrdv 3367 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  C_  (
0 [,] +oo )
)
24 df-f 5427 . . . 4  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  Fn  S  /\  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) )  C_  ( 0 [,] +oo ) ) )
258, 23, 24sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo ) )
26 measbase 26616 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
27 0elsiga 26562 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  (/)  e.  S
)
2928adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  (/)  e.  S
)
30 ovex 6121 . . . . . 6  |-  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  e.  _V
3129, 30jctir 538 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (/)  e.  S  /\  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  e.  _V ) )
32 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( M `
 x )  =  ( M `  (/) ) )
3332oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( M `  x ) /𝑒  A )  =  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A ) )
3433, 10fvmptg 5777 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  S  /\  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A ) )
3531, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  (/) )  =  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A ) )
36 measvnul 26625 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
3736oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  =  ( 0 /𝑒  A ) )
38 xdiv0rp 26110 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 0 /𝑒  A )  =  0 )
3937, 38sylan9eq 2495 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  =  0 )
4035, 39eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  (/) )  =  0 )
41 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )
)
42 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  y  e.  ~P S )
43 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  y  ~<_  om )
44 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  -> Disj  z  e.  y  z )
4542, 43, 443jca 1168 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( y  e. 
~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y 
z ) )
469a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  -> 
y  e.  _V )
47 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
48 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  y  e.  ~P S )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  y )
50 elpwg 3873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ~P S  <->  y 
C_  S ) )
519, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P S  <->  y  C_  S )
52 ssel2 3356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  S  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  S )
5351, 52sylanb 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ~P S  /\  z  e.  y
)  ->  z  e.  S )
5448, 49, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  S )
55 measvxrge0 26624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( M `  z )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5647, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  ( M `  z )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
57 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  ->  A  e.  RR+ )
5846, 56, 57esumdivc 26537 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  -> 
(Σ* z  e.  y ( M `  z ) /𝑒  A )  = Σ* z  e.  y ( ( M `  z ) /𝑒  A ) )
59583ad2antr1 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  (Σ* z  e.  y ( M `  z ) /𝑒  A )  = Σ* z  e.  y ( ( M `  z ) /𝑒  A ) )
6026ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
61 simpr1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  y  e.  ~P S )
62 simpr2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  y  ~<_  om )
63 sigaclcu 26565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om )  ->  U. y  e.  S
)
6460, 61, 62, 63syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  U. y  e.  S
)
65 fveq2 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. y  -> 
( M `  x
)  =  ( M `
 U. y ) )
6665oveq1d 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( M `  x ) /𝑒  A )  =  ( ( M `  U. y ) /𝑒  A ) )
6766, 10, 2fvmpt3i 5783 . . . . . . . . 9  |-  ( U. y  e.  S  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  =  ( ( M `  U. y ) /𝑒  A ) )
6864, 67syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  =  ( ( M `  U. y ) /𝑒  A ) )
69 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  M  e.  (measures `  S ) )
7069, 61jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( M  e.  (measures `  S )  /\  y  e.  ~P S ) )
71 simpr3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  -> Disj  z  e.  y  z )
7262, 71jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( y  ~<_  om 
/\ Disj  z  e.  y  z ) )
73 measvun 26628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  y  e.  ~P S  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) )
74733expia 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  y  e.  ~P S )  ->  (
( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) ) )
7574ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  -> 
( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) ) )
7675r19.21bi 2819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  y  e.  ~P S )  ->  (
( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) ) )
7770, 72, 76sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) )
7877oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( M `
 U. y ) /𝑒  A )  =  (Σ* z  e.  y ( M `  z ) /𝑒  A ) )
7968, 78eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  =  (Σ* z  e.  y ( M `
 z ) /𝑒  A ) )
80 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( M `  x )  =  ( M `  z ) )
8180oveq1d 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( M `  x
) /𝑒 
A )  =  ( ( M `  z
) /𝑒 
A ) )
8281, 10, 2fvmpt3i 5783 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  S  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z )  =  ( ( M `  z
) /𝑒 
A ) )
8353, 82syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ~P S  /\  z  e.  y
)  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  z )  =  ( ( M `  z
) /𝑒 
A ) )
8483esumeq2dv 26499 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P S  -> Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
)  = Σ* z  e.  y ( ( M `  z ) /𝑒  A ) )
8561, 84syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  -> Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z )  = Σ* z  e.  y ( ( M `
 z ) /𝑒  A ) )
8659, 79, 853eqtr4d 2485 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) )
8741, 45, 86syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) )
8887ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  -> 
( ( y  ~<_  om 
/\ Disj  z  e.  y  z )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) )
8988ralrimiva 2804 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  -> 
( ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) ) `  U. y
)  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) ) `  z ) ) )
9025, 40, 893jca 1168 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) ) )
91 ismeas 26618 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S )  <->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) ) ) )
9226, 91syl 16 . . . 4  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  e.  (measures `  S )  <->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) ) ) )
9392biimprd 223 . . 3  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S )
) )
9493adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S )
) )
9590, 94mpd 15 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865   U.cuni 4096  Disj wdisj 4267   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   dom cdm 4845   ran crn 4846   Fun wfun 5417    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   omcom 6481    ~<_ cdom 7313   0cc0 9287   +oocpnf 9420   RR+crp 10996   [,]cicc 11308   /𝑒 cxdiv 26097  Σ*cesum 26488  sigAlgebracsiga 26555  measurescmeas 26614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-ordt 14444  df-xrs 14445  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-ps 15375  df-tsr 15376  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-ntr 18629  df-nei 18707  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-tsms 19702  df-xdiv 26098  df-esum 26489  df-siga 26556  df-meas 26615
This theorem is referenced by:  probfinmeasbOLD  26816  probmeasb  26818
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