Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measdivcstOLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem measdivcstOLD 29120
 Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
measdivcstOLD measures /𝑒 measures
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem measdivcstOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5625 . . . . . 6 /𝑒
2 ovex 6336 . . . . . . . 8 /𝑒
32rgenw 2768 . . . . . . 7 /𝑒
4 dmmptg 5339 . . . . . . 7 /𝑒 /𝑒
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 /𝑒
6 df-fn 5592 . . . . . 6 /𝑒 /𝑒 /𝑒
71, 5, 6mpbir2an 934 . . . . 5 /𝑒
87a1i 11 . . . 4 measures /𝑒
9 vex 3034 . . . . . . 7
10 eqid 2471 . . . . . . . 8 /𝑒 /𝑒
1110elrnmpt 5087 . . . . . . 7 /𝑒 /𝑒
129, 11ax-mp 5 . . . . . 6 /𝑒 /𝑒
13 measfrge0 29099 . . . . . . . . . . 11 measures
14 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . 11
1513, 14sylan 479 . . . . . . . . . 10 measures
1615adantlr 729 . . . . . . . . 9 measures
17 simplr 770 . . . . . . . . 9 measures
1816, 17xrpxdivcld 28479 . . . . . . . 8 measures /𝑒
19 eleq1a 2544 . . . . . . . 8 /𝑒 /𝑒
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 measures /𝑒
2120rexlimdva 2871 . . . . . 6 measures /𝑒
2212, 21syl5bi 225 . . . . 5 measures /𝑒
2322ssrdv 3424 . . . 4 measures /𝑒
24 df-f 5593 . . . 4 /𝑒 /𝑒 /𝑒
258, 23, 24sylanbrc 677 . . 3 measures /𝑒
26 measbase 29093 . . . . . . . 8 measures sigAlgebra
27 0elsiga 29010 . . . . . . . 8 sigAlgebra
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 measures
2928adantr 472 . . . . . 6 measures
30 ovex 6336 . . . . . 6 /𝑒
3129, 30jctir 547 . . . . 5 measures /𝑒
32 fveq2 5879 . . . . . . 7
3332oveq1d 6323 . . . . . 6 /𝑒 /𝑒
3433, 10fvmptg 5961 . . . . 5 /𝑒 /𝑒 /𝑒
3531, 34syl 17 . . . 4 measures /𝑒 /𝑒
36 measvnul 29102 . . . . . 6 measures
3736oveq1d 6323 . . . . 5 measures /𝑒 /𝑒
38 xdiv0rp 28474 . . . . 5 /𝑒
3937, 38sylan9eq 2525 . . . 4 measures /𝑒
4035, 39eqtrd 2505 . . 3 measures /𝑒
41 simpll 768 . . . . . 6 measures Disj measures
42 simplr 770 . . . . . . 7 measures Disj
43 simprl 772 . . . . . . 7 measures Disj
44 simprr 774 . . . . . . 7 measures Disj Disj
4542, 43, 443jca 1210 . . . . . 6 measures Disj Disj
469a1i 11 . . . . . . . . 9 measures
47 simplll 776 . . . . . . . . . 10 measures measures
48 simplr 770 . . . . . . . . . . 11 measures
49 simpr 468 . . . . . . . . . . 11 measures
50 elpwg 3950 . . . . . . . . . . . . 13
519, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
52 ssel2 3413 . . . . . . . . . . . 12
5351, 52sylanb 480 . . . . . . . . . . 11
5448, 49, 53syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 measures
55 measvxrge0 29101 . . . . . . . . . 10 measures
5647, 54, 55syl2anc 673 . . . . . . . . 9 measures
57 simplr 770 . . . . . . . . 9 measures
5846, 56, 57esumdivc 28978 . . . . . . . 8 measures Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
59583ad2antr1 1195 . . . . . . 7 measures Disj Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
6026ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 measures Disj sigAlgebra
61 simpr1 1036 . . . . . . . . . 10 measures Disj
62 simpr2 1037 . . . . . . . . . 10 measures Disj
63 sigaclcu 29013 . . . . . . . . . 10 sigAlgebra
6460, 61, 62, 63syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 measures Disj
65 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
6665oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10 /𝑒 /𝑒
6766, 10, 2fvmpt3i 5968 . . . . . . . . 9 /𝑒 /𝑒
6864, 67syl 17 . . . . . . . 8 measures Disj /𝑒 /𝑒
69 simpll 768 . . . . . . . . . . 11 measures Disj measures
7069, 61jca 541 . . . . . . . . . 10 measures Disj measures
71 simpr3 1038 . . . . . . . . . . 11 measures Disj Disj
7262, 71jca 541 . . . . . . . . . 10 measures Disj Disj
73 measvun 29105 . . . . . . . . . . . . 13 measures Disj Σ*
74733expia 1233 . . . . . . . . . . . 12 measures Disj Σ*
7574ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11 measures Disj Σ*
7675r19.21bi 2776 . . . . . . . . . 10 measures Disj Σ*
7770, 72, 76sylc 61 . . . . . . . . 9 measures Disj Σ*
7877oveq1d 6323 . . . . . . . 8 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
7968, 78eqtrd 2505 . . . . . . 7 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
80 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
8180oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11 /𝑒 /𝑒
8281, 10, 2fvmpt3i 5968 . . . . . . . . . 10 /𝑒 /𝑒
8353, 82syl 17 . . . . . . . . 9 /𝑒 /𝑒
8483esumeq2dv 28933 . . . . . . . 8 Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
8561, 84syl 17 . . . . . . 7 measures Disj Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
8659, 79, 853eqtr4d 2515 . . . . . 6 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
8741, 45, 86syl2anc 673 . . . . 5 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
8887ex 441 . . . 4 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
8988ralrimiva 2809 . . 3 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
9025, 40, 893jca 1210 . 2 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒
91 ismeas 29095 . . . . 5 sigAlgebra /𝑒 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒
9226, 91syl 17 . . . 4 measures /𝑒 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒
9392biimprd 231 . . 3 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒 /𝑒 measures
9493adantr 472 . 2 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒 /𝑒 measures
9590, 94mpd 15 1 measures /𝑒 measures
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  cuni 4190  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  com 6711   cdom 7585  cc0 9557   cpnf 9690  crp 11325  cicc 11663   /𝑒 cxdiv 28461  Σ*cesum 28922  sigAlgebracsiga 29003  measurescmeas 29091 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tsms 21219  df-xdiv 28462  df-esum 28923  df-siga 29004  df-meas 29092 This theorem is referenced by:  probfinmeasbOLD  29334  probmeasb  29336
 Copyright terms: Public domain W3C validator