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Theorem measdivcstOLD 27835
Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
measdivcstOLD  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    x, S

Proof of Theorem measdivcstOLD
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5622 . . . . . 6  |-  Fun  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )
2 ovex 6307 . . . . . . . 8  |-  ( ( M `  x ) /𝑒  A )  e.  _V
32rgenw 2825 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  S  ( ( M `  x ) /𝑒  A
)  e.  _V
4 dmmptg 5502 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  (
( M `  x
) /𝑒 
A )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) )  =  S )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  =  S
6 df-fn 5589 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  Fn  S  <->  ( Fun  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  /\  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  =  S ) )
71, 5, 6mpbir2an 918 . . . . 5  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  Fn  S
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  Fn  S
)
9 vex 3116 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
10 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )
1110elrnmpt 5247 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  <->  E. x  e.  S  y  =  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  <->  E. x  e.  S  y  =  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )
13 measfrge0 27814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  M : S
--> ( 0 [,] +oo ) )
14 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  S )  ->  ( M `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1513, 14sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  S )  ->  ( M `  x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1615adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  ( M `  x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
17 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR+ )
1816, 17xrpxdivcld 27299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  (
( M `  x
) /𝑒 
A )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
19 eleq1a 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M `  x
) /𝑒 
A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( y  =  ( ( M `  x
) /𝑒 
A )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  (
y  =  ( ( M `  x ) /𝑒  A )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
2120rexlimdva 2955 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( E. x  e.  S  y  =  ( ( M `
 x ) /𝑒  A )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )
2212, 21syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( y  e.  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
2322ssrdv 3510 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  C_  (
0 [,] +oo )
)
24 df-f 5590 . . . 4  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  Fn  S  /\  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) )  C_  ( 0 [,] +oo ) ) )
258, 23, 24sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo ) )
26 measbase 27808 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
27 0elsiga 27754 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  (/)  e.  S
)
2928adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  (/)  e.  S
)
30 ovex 6307 . . . . . 6  |-  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  e.  _V
3129, 30jctir 538 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (/)  e.  S  /\  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  e.  _V ) )
32 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( M `
 x )  =  ( M `  (/) ) )
3332oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( M `  x ) /𝑒  A )  =  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A ) )
3433, 10fvmptg 5946 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  S  /\  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A ) )
3531, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  (/) )  =  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A ) )
36 measvnul 27817 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
3736oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  =  ( 0 /𝑒  A ) )
38 xdiv0rp 27294 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 0 /𝑒  A )  =  0 )
3937, 38sylan9eq 2528 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  =  0 )
4035, 39eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  (/) )  =  0 )
41 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )
)
42 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  y  e.  ~P S )
43 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  y  ~<_  om )
44 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  -> Disj  z  e.  y  z )
4542, 43, 443jca 1176 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( y  e. 
~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y 
z ) )
469a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  -> 
y  e.  _V )
47 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
48 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  y  e.  ~P S )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  y )
50 elpwg 4018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ~P S  <->  y 
C_  S ) )
519, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P S  <->  y  C_  S )
52 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  S  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  S )
5351, 52sylanb 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ~P S  /\  z  e.  y
)  ->  z  e.  S )
5448, 49, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  S )
55 measvxrge0 27816 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( M `  z )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5647, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  ( M `  z )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
57 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  ->  A  e.  RR+ )
5846, 56, 57esumdivc 27729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  -> 
(Σ* z  e.  y ( M `  z ) /𝑒  A )  = Σ* z  e.  y ( ( M `  z ) /𝑒  A ) )
59583ad2antr1 1161 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  (Σ* z  e.  y ( M `  z ) /𝑒  A )  = Σ* z  e.  y ( ( M `  z ) /𝑒  A ) )
6026ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
61 simpr1 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  y  e.  ~P S )
62 simpr2 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  y  ~<_  om )
63 sigaclcu 27757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om )  ->  U. y  e.  S
)
6460, 61, 62, 63syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  U. y  e.  S
)
65 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. y  -> 
( M `  x
)  =  ( M `
 U. y ) )
6665oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( M `  x ) /𝑒  A )  =  ( ( M `  U. y ) /𝑒  A ) )
6766, 10, 2fvmpt3i 5952 . . . . . . . . 9  |-  ( U. y  e.  S  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  =  ( ( M `  U. y ) /𝑒  A ) )
6864, 67syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  =  ( ( M `  U. y ) /𝑒  A ) )
69 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  M  e.  (measures `  S ) )
7069, 61jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( M  e.  (measures `  S )  /\  y  e.  ~P S ) )
71 simpr3 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  -> Disj  z  e.  y  z )
7262, 71jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( y  ~<_  om 
/\ Disj  z  e.  y  z ) )
73 measvun 27820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  y  e.  ~P S  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) )
74733expia 1198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  y  e.  ~P S )  ->  (
( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) ) )
7574ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  -> 
( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) ) )
7675r19.21bi 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  y  e.  ~P S )  ->  (
( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) ) )
7770, 72, 76sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) )
7877oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( M `
 U. y ) /𝑒  A )  =  (Σ* z  e.  y ( M `  z ) /𝑒  A ) )
7968, 78eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  =  (Σ* z  e.  y ( M `
 z ) /𝑒  A ) )
80 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( M `  x )  =  ( M `  z ) )
8180oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( M `  x
) /𝑒 
A )  =  ( ( M `  z
) /𝑒 
A ) )
8281, 10, 2fvmpt3i 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  S  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z )  =  ( ( M `  z
) /𝑒 
A ) )
8353, 82syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ~P S  /\  z  e.  y
)  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  z )  =  ( ( M `  z
) /𝑒 
A ) )
8483esumeq2dv 27691 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P S  -> Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
)  = Σ* z  e.  y ( ( M `  z ) /𝑒  A ) )
8561, 84syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  -> Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z )  = Σ* z  e.  y ( ( M `
 z ) /𝑒  A ) )
8659, 79, 853eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) )
8741, 45, 86syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) )
8887ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  -> 
( ( y  ~<_  om 
/\ Disj  z  e.  y  z )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) )
8988ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  -> 
( ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) ) `  U. y
)  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) ) `  z ) ) )
9025, 40, 893jca 1176 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) ) )
91 ismeas 27810 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S )  <->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) ) ) )
9226, 91syl 16 . . . 4  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  e.  (measures `  S )  <->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) ) ) )
9392biimprd 223 . . 3  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S )
) )
9493adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y  z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S )
) )
9590, 94mpd 15 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245  Disj wdisj 4417   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   Fun wfun 5580    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   omcom 6678    ~<_ cdom 7511   0cc0 9488   +oocpnf 9621   RR+crp 11216   [,]cicc 11528   /𝑒 cxdiv 27281  Σ*cesum 27680  sigAlgebracsiga 27747  measurescmeas 27806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-ordt 14752  df-xrs 14753  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-ps 15683  df-tsr 15684  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-ntr 19287  df-nei 19365  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-tsms 20360  df-xdiv 27282  df-esum 27681  df-siga 27748  df-meas 27807
This theorem is referenced by:  probfinmeasbOLD  28007  probmeasb  28009
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