Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measdivcst Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem measdivcst 29121
 Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
measdivcst measures 𝑓/𝑐 /𝑒 measures

Proof of Theorem measdivcst
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofcfval3 28997 . . 3 measures 𝑓/𝑐 /𝑒 /𝑒
2 measfrge0 29099 . . . . . 6 measures
3 fdm 5745 . . . . . 6
42, 3syl 17 . . . . 5 measures
54adantr 472 . . . 4 measures
65mpteq1d 4477 . . 3 measures /𝑒 /𝑒
71, 6eqtrd 2505 . 2 measures 𝑓/𝑐 /𝑒 /𝑒
8 measvxrge0 29101 . . . . . 6 measures
98adantlr 729 . . . . 5 measures
10 simplr 770 . . . . 5 measures
119, 10xrpxdivcld 28479 . . . 4 measures /𝑒
12 eqid 2471 . . . 4 /𝑒 /𝑒
1311, 12fmptd 6061 . . 3 measures /𝑒
14 measbase 29093 . . . . . . 7 measures sigAlgebra
15 0elsiga 29010 . . . . . . 7 sigAlgebra
1614, 15syl 17 . . . . . 6 measures
1716adantr 472 . . . . 5 measures
18 ovex 6336 . . . . 5 /𝑒
19 fveq2 5879 . . . . . . 7
2019oveq1d 6323 . . . . . 6 /𝑒 /𝑒
2120, 12fvmptg 5961 . . . . 5 /𝑒 /𝑒 /𝑒
2217, 18, 21sylancl 675 . . . 4 measures /𝑒 /𝑒
23 measvnul 29102 . . . . . 6 measures
2423oveq1d 6323 . . . . 5 measures /𝑒 /𝑒
25 xdiv0rp 28474 . . . . 5 /𝑒
2624, 25sylan9eq 2525 . . . 4 measures /𝑒
2722, 26eqtrd 2505 . . 3 measures /𝑒
28 simpll 768 . . . . . 6 measures Disj measures
29 simplr 770 . . . . . 6 measures Disj
30 simprl 772 . . . . . 6 measures Disj
31 simprr 774 . . . . . 6 measures Disj Disj
32 vex 3034 . . . . . . . . . 10
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 measures
34 simplll 776 . . . . . . . . . 10 measures measures
35 selpw 3949 . . . . . . . . . . . 12
36 ssel2 3413 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36sylanb 480 . . . . . . . . . . 11
3837adantll 728 . . . . . . . . . 10 measures
39 measvxrge0 29101 . . . . . . . . . 10 measures
4034, 38, 39syl2anc 673 . . . . . . . . 9 measures
41 simplr 770 . . . . . . . . 9 measures
4233, 40, 41esumdivc 28978 . . . . . . . 8 measures Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
43423ad2antr1 1195 . . . . . . 7 measures Disj Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
4414ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 measures Disj sigAlgebra
45 simpr1 1036 . . . . . . . . . 10 measures Disj
46 simpr2 1037 . . . . . . . . . 10 measures Disj
47 sigaclcu 29013 . . . . . . . . . 10 sigAlgebra
4844, 45, 46, 47syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 measures Disj
49 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
5049oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10 /𝑒 /𝑒
51 ovex 6336 . . . . . . . . . 10 /𝑒
5250, 12, 51fvmpt3i 5968 . . . . . . . . 9 /𝑒 /𝑒
5348, 52syl 17 . . . . . . . 8 measures Disj /𝑒 /𝑒
54 simpll 768 . . . . . . . . . 10 measures Disj measures
55 simpr3 1038 . . . . . . . . . 10 measures Disj Disj
56 measvun 29105 . . . . . . . . . 10 measures Disj Σ*
5754, 45, 46, 55, 56syl112anc 1296 . . . . . . . . 9 measures Disj Σ*
5857oveq1d 6323 . . . . . . . 8 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
5953, 58eqtrd 2505 . . . . . . 7 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
60 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
6160oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11 /𝑒 /𝑒
6261, 12, 51fvmpt3i 5968 . . . . . . . . . 10 /𝑒 /𝑒
6337, 62syl 17 . . . . . . . . 9 /𝑒 /𝑒
6463esumeq2dv 28933 . . . . . . . 8 Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
6545, 64syl 17 . . . . . . 7 measures Disj Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
6643, 59, 653eqtr4d 2515 . . . . . 6 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
6728, 29, 30, 31, 66syl13anc 1294 . . . . 5 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
6867ex 441 . . . 4 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
6968ralrimiva 2809 . . 3 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
70 ismeas 29095 . . . . . 6 sigAlgebra /𝑒 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒
7114, 70syl 17 . . . . 5 measures /𝑒 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒
7271biimprd 231 . . . 4 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒 /𝑒 measures
7372adantr 472 . . 3 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒 /𝑒 measures
7413, 27, 69, 73mp3and 1393 . 2 measures /𝑒 measures
757, 74eqeltrd 2549 1 measures 𝑓/𝑐 /𝑒 measures
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  cuni 4190  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  com 6711   cdom 7585  cc0 9557   cpnf 9690  crp 11325  cicc 11663   /𝑒 cxdiv 28461  Σ*cesum 28922  ∘𝑓/𝑐cofc 28990  sigAlgebracsiga 29003  measurescmeas 29091 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tsms 21219  df-xdiv 28462  df-esum 28923  df-ofc 28991  df-siga 29004  df-meas 29092 This theorem is referenced by:  probfinmeasb  29335
 Copyright terms: Public domain W3C validator