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Theorem mdsymlem5 27030
Description: Lemma for mdsymi 27034. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1  |-  A  e. 
CH
mdsymlem1.2  |-  B  e. 
CH
mdsymlem1.3  |-  C  =  ( A  vH  p
)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem5  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( (
( c  e.  CH  /\  A  C_  c )  /\  p  e. HAtoms )  -> 
( p  C_  c  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, C    p, c, q, r, A    B, c, p, q, r
Allowed substitution hints:    C( p, c)

Proof of Theorem mdsymlem5
StepHypRef Expression
1 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( q  =/=  p  <->  -.  q  =  p )
2 atnemeq0 27000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( q  =/=  p  <->  ( q  i^i  p )  =  0H ) )
31, 2syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( -.  q  =  p  <->  ( q  i^i  p )  =  0H ) )
43anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  -.  q  =  p )  <->  ( p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  i^i  p )  =  0H ) ) )
543adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  -.  q  =  p )  <->  ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  i^i  p )  =  0H ) ) )
6 atelch 26967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e. HAtoms  ->  q  e.  CH )
7 atexch 27004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( q  e.  CH  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms
)  ->  ( (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  i^i  p )  =  0H )  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) )
86, 7syl3an1 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  i^i  p )  =  0H )  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) )
95, 8sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  -.  q  =  p )  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) )
109expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( p  C_  (
q  vH  r )  ->  ( -.  q  =  p  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) ) )
11103com23 1202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( p  C_  (
q  vH  r )  ->  ( -.  q  =  p  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) ) )
12113expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  p  e. HAtoms
)  ->  ( p  C_  ( q  vH  r
)  ->  ( -.  q  =  p  ->  r 
C_  ( q  vH  p ) ) ) )
1312adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  ->  ( -.  q  =  p  ->  r  C_  ( q  vH  p ) ) ) )
1413adantrd 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  (
( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( -.  q  =  p  ->  r 
C_  ( q  vH  p ) ) ) )
1514imp32 433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) )  ->  r  C_  ( q  vH  p
) )
1615adantrl 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( A  C_  c  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) ) )  -> 
r  C_  ( q  vH  p ) )
1716adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  r  C_  (
q  vH  p )
)
18 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p )  ->  q  C_  A )
19 atelch 26967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e. HAtoms  ->  p  e.  CH )
2019anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  c  e.  CH )  ->  (
p  e.  CH  /\  c  e.  CH )
)
2120ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( p  e.  CH  /\  c  e.  CH )
)
22 mdsymlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  A  e. 
CH
23 chub2 26130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CH  /\  c  e.  CH )  ->  A  C_  ( c  vH  A ) )
2422, 23mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  e.  CH  ->  A  C_  ( c  vH  A
) )
25 sstr 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( q  C_  A  /\  A  C_  ( c  vH  A ) )  -> 
q  C_  ( c  vH  A ) )
2624, 25sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( q  C_  A  /\  c  e.  CH )  ->  q  C_  ( c  vH  A ) )
27 chub1 26129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  c  C_  ( c  vH  A ) )
2822, 27mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  e.  CH  ->  c  C_  ( c  vH  A
) )
29 sstr 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  C_  c  /\  c  C_  ( c  vH  A ) )  ->  p  C_  ( c  vH  A ) )
3028, 29sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  C_  c  /\  c  e.  CH )  ->  p  C_  ( c  vH  A ) )
3126, 30anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( q  C_  A  /\  c  e.  CH )  /\  ( p  C_  c  /\  c  e.  CH )
)  ->  ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
) )
3231anandirs 829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( q  C_  A  /\  p  C_  c )  /\  c  e.  CH )  ->  ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
) )
3332ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( c  e.  CH  /\  ( q  C_  A  /\  p  C_  c ) )  ->  ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
) )
3433adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) )  ->  ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
) )
35 chjcl 25979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( c  vH  A
)  e.  CH )
3622, 35mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  e.  CH  ->  (
c  vH  A )  e.  CH )
37 chlub 26131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( q  e.  CH  /\  p  e.  CH  /\  (
c  vH  A )  e.  CH )  ->  (
( q  C_  (
c  vH  A )  /\  p  C_  ( c  vH  A ) )  <-> 
( q  vH  p
)  C_  ( c  vH  A ) ) )
3836, 37syl3an3 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( q  e.  CH  /\  p  e.  CH  /\  c  e.  CH )  ->  (
( q  C_  (
c  vH  A )  /\  p  C_  ( c  vH  A ) )  <-> 
( q  vH  p
)  C_  ( c  vH  A ) ) )
39383expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e.  CH )  ->  ( ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
)  <->  ( q  vH  p )  C_  (
c  vH  A )
) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) )  ->  ( ( q 
C_  ( c  vH  A )  /\  p  C_  ( c  vH  A
) )  <->  ( q  vH  p )  C_  (
c  vH  A )
) )
4134, 40mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) )  ->  ( q  vH  p )  C_  (
c  vH  A )
)
4241adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  ( A  C_  c  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) ) )  ->  ( q  vH  p )  C_  (
c  vH  A )
)
43 chlejb2 26135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CH  /\  c  e.  CH )  ->  ( A  C_  c  <->  ( c  vH  A )  =  c ) )
4422, 43mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  e.  CH  ->  ( A  C_  c  <->  ( c  vH  A )  =  c ) )
4544biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  CH  /\  A  C_  c )  -> 
( c  vH  A
)  =  c )
4645ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  ( A  C_  c  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) ) )  ->  ( c  vH  A )  =  c )
4742, 46sseqtrd 3540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  ( A  C_  c  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) ) )  ->  ( q  vH  p )  C_  c
)
4847exp45 614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e.  CH )  ->  ( A  C_  c  ->  ( q  C_  A  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p
)  C_  c )
) ) )
4948anasss 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( q  e.  CH  /\  ( p  e.  CH  /\  c  e.  CH )
)  ->  ( A  C_  c  ->  ( q  C_  A  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p )  C_  c
) ) ) )
506, 21, 49syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  (
c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  ( A  C_  c  ->  ( q  C_  A  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p
)  C_  c )
) ) )
5150adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  ( A  C_  c  ->  (
q  C_  A  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p ) 
C_  c ) ) ) )
5218, 51syl7 68 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  ( A  C_  c  ->  (
( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
)  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p )  C_  c
) ) ) )
5352imp44 596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  ( q  vH  p )  C_  c
)
5417, 53sstrd 3514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  r  C_  c
)
55 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p )  ->  r  C_  B )
5655ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  c  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) )  /\  p  C_  c )  ->  r  C_  B )
5756adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  r  C_  B
)
5854, 57ssind 3722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  r  C_  (
c  i^i  B )
)
59 atelch 26967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e. HAtoms  ->  r  e.  CH )
606, 59anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( q  e.  CH  /\  r  e. 
CH ) )
61 mdsymlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  B  e. 
CH
62 chincl 26121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( c  i^i  B
)  e.  CH )
6361, 62mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  e.  CH  ->  (
c  i^i  B )  e.  CH )
64 chlej1 26132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( r  e.  CH  /\  ( c  i^i  B
)  e.  CH  /\  q  e.  CH )  /\  r  C_  ( c  i^i  B ) )  ->  ( r  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  q )
)
6564ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( r  e.  CH  /\  ( c  i^i  B
)  e.  CH  /\  q  e.  CH )  ->  ( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  ( r  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  q ) ) )
6663, 65syl3an2 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( r  e.  CH  /\  c  e.  CH  /\  q  e.  CH )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  q
) ) )
67663comr 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( q  e.  CH  /\  r  e.  CH  /\  c  e.  CH )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  q
) ) )
68673expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e.  CH )  ->  ( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  ( r  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  q ) ) )
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  q
) ) )
70 chlej2 26133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  A  e.  CH  /\  ( c  i^i  B
)  e.  CH )  /\  q  C_  A )  ->  ( ( c  i^i  B )  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
)
7122, 70mp3anl2 1319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  ( c  i^i  B
)  e.  CH )  /\  q  C_  A )  ->  ( ( c  i^i  B )  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
)
7263, 71sylanl2 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  c  e.  CH )  /\  q  C_  A )  ->  ( ( c  i^i  B )  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
)
7372adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
( c  i^i  B
)  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) )
74 sstr2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( r  vH  q ) 
C_  ( ( c  i^i  B )  vH  q )  ->  (
( ( c  i^i 
B )  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
7573, 74syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
( r  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  q )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
76 chjcom 26128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( q  e.  CH  /\  r  e.  CH )  ->  ( q  vH  r
)  =  ( r  vH  q ) )
7776ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
q  vH  r )  =  ( r  vH  q ) )
7877sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
( q  vH  r
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A )  <->  ( r  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
) )
7975, 78sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
( r  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  q )  ->  (
q  vH  r )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
8069, 79syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  (
q  vH  r )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
8180adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  q  C_  A ) )  -> 
( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  ( q  vH  r
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) )
82 sstr2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p 
C_  ( q  vH  r )  ->  (
( q  vH  r
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
8382ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  q  C_  A ) )  -> 
( ( q  vH  r )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) )
8481, 83syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  q  C_  A ) )  -> 
( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) )
8584exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e.  CH )  ->  ( p  C_  (
q  vH  r )  ->  ( q  C_  A  ->  ( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) ) ) )
8660, 85sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  c  e. 
CH )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  ->  (
q  C_  A  ->  ( r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) ) ) )
8786adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  ->  (
q  C_  A  ->  ( r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) ) ) )
8887imp31 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  p  C_  ( q  vH  r ) )  /\  q  C_  A
)  ->  ( r  C_  ( c  i^i  B
)  ->  p  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
) )
8988adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  p  C_  ( q  vH  r ) )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B
) )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
9089anasss 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
9190adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
9291adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( A  C_  c  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) ) )  -> 
( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) )
9392adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  ( r  C_  ( c  i^i  B
)  ->  p  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
) )
9458, 93mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  p  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
)
9594exp32 605 . . . . . 6  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  (
( A  C_  c  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) )  ->  (
p  C_  c  ->  p 
C_  ( ( c  i^i  B )  vH  A ) ) ) )
9695exp4d 609 . . . . 5  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  ( A  C_  c  ->  (
( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( p  C_  c  ->  p 
C_  ( ( c  i^i  B )  vH  A ) ) ) ) ) )
9796exp32 605 . . . 4  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( c  e.  CH  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( A  C_  c  ->  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( p 
C_  c  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) ) ) ) ) ) )
9897com34 83 . . 3  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( c  e.  CH  ->  ( A  C_  c  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( p 
C_  c  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) ) ) ) ) ) )
9998imp4c 591 . 2  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( (
( c  e.  CH  /\  A  C_  c )  /\  p  e. HAtoms )  -> 
( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  -> 
( -.  q  =  p  ->  ( p  C_  c  ->  p  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
) ) ) ) )
10099com24 87 1  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( (
( c  e.  CH  /\  A  C_  c )  /\  p  e. HAtoms )  -> 
( p  C_  c  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    i^i cin 3475    C_ wss 3476  (class class class)co 6284   CHcch 25550    vH chj 25554   0Hc0h 25556  HAtomscat 25586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572  ax-hilex 25620  ax-hfvadd 25621  ax-hvcom 25622  ax-hvass 25623  ax-hv0cl 25624  ax-hvaddid 25625  ax-hfvmul 25626  ax-hvmulid 25627  ax-hvmulass 25628  ax-hvdistr1 25629  ax-hvdistr2 25630  ax-hvmul0 25631  ax-hfi 25700  ax-his1 25703  ax-his2 25704  ax-his3 25705  ax-his4 25706  ax-hcompl 25823
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-lm 19524  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cfil 21457  df-cau 21458  df-cmet 21459  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-gdiv 24900  df-ablo 24988  df-subgo 25008  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-vs 25196  df-nmcv 25197  df-ims 25198  df-dip 25315  df-ssp 25339  df-ph 25432  df-cbn 25483  df-hnorm 25589  df-hba 25590  df-hvsub 25592  df-hlim 25593  df-hcau 25594  df-sh 25828  df-ch 25843  df-oc 25874  df-ch0 25875  df-shs 25930  df-span 25931  df-chj 25932  df-chsup 25933  df-pjh 26017  df-cv 26902  df-at 26961
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