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Theorem mdsymlem5 27524
Description: Lemma for mdsymi 27528. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1  |-  A  e. 
CH
mdsymlem1.2  |-  B  e. 
CH
mdsymlem1.3  |-  C  =  ( A  vH  p
)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem5  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( (
( c  e.  CH  /\  A  C_  c )  /\  p  e. HAtoms )  -> 
( p  C_  c  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, C    p, c, q, r, A    B, c, p, q, r
Allowed substitution hints:    C( p, c)

Proof of Theorem mdsymlem5
StepHypRef Expression
1 df-ne 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( q  =/=  p  <->  -.  q  =  p )
2 atnemeq0 27494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( q  =/=  p  <->  ( q  i^i  p )  =  0H ) )
31, 2syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( -.  q  =  p  <->  ( q  i^i  p )  =  0H ) )
43anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  -.  q  =  p )  <->  ( p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  i^i  p )  =  0H ) ) )
543adant3 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  -.  q  =  p )  <->  ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  i^i  p )  =  0H ) ) )
6 atelch 27461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e. HAtoms  ->  q  e.  CH )
7 atexch 27498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( q  e.  CH  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms
)  ->  ( (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  i^i  p )  =  0H )  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) )
86, 7syl3an1 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  i^i  p )  =  0H )  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) )
95, 8sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  -.  q  =  p )  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) )
109expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( p  C_  (
q  vH  r )  ->  ( -.  q  =  p  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) ) )
11103com23 1200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( p  C_  (
q  vH  r )  ->  ( -.  q  =  p  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) ) )
12113expa 1194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  p  e. HAtoms
)  ->  ( p  C_  ( q  vH  r
)  ->  ( -.  q  =  p  ->  r 
C_  ( q  vH  p ) ) ) )
1312adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  ->  ( -.  q  =  p  ->  r  C_  ( q  vH  p ) ) ) )
1413adantrd 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  (
( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( -.  q  =  p  ->  r 
C_  ( q  vH  p ) ) ) )
1514imp32 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) )  ->  r  C_  ( q  vH  p
) )
1615adantrl 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( A  C_  c  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) ) )  -> 
r  C_  ( q  vH  p ) )
1716adantrr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  r  C_  (
q  vH  p )
)
18 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p )  ->  q  C_  A )
19 atelch 27461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e. HAtoms  ->  p  e.  CH )
2019anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  c  e.  CH )  ->  (
p  e.  CH  /\  c  e.  CH )
)
2120ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( p  e.  CH  /\  c  e.  CH )
)
22 mdsymlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  A  e. 
CH
23 chub2 26624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CH  /\  c  e.  CH )  ->  A  C_  ( c  vH  A ) )
2422, 23mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  e.  CH  ->  A  C_  ( c  vH  A
) )
25 sstr 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( q  C_  A  /\  A  C_  ( c  vH  A ) )  -> 
q  C_  ( c  vH  A ) )
2624, 25sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( q  C_  A  /\  c  e.  CH )  ->  q  C_  ( c  vH  A ) )
27 chub1 26623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  c  C_  ( c  vH  A ) )
2822, 27mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  e.  CH  ->  c  C_  ( c  vH  A
) )
29 sstr 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  C_  c  /\  c  C_  ( c  vH  A ) )  ->  p  C_  ( c  vH  A ) )
3028, 29sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  C_  c  /\  c  e.  CH )  ->  p  C_  ( c  vH  A ) )
3126, 30anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( q  C_  A  /\  c  e.  CH )  /\  ( p  C_  c  /\  c  e.  CH )
)  ->  ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
) )
3231anandirs 829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( q  C_  A  /\  p  C_  c )  /\  c  e.  CH )  ->  ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
) )
3332ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( c  e.  CH  /\  ( q  C_  A  /\  p  C_  c ) )  ->  ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
) )
3433adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) )  ->  ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
) )
35 chjcl 26473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( c  vH  A
)  e.  CH )
3622, 35mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  e.  CH  ->  (
c  vH  A )  e.  CH )
37 chlub 26625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( q  e.  CH  /\  p  e.  CH  /\  (
c  vH  A )  e.  CH )  ->  (
( q  C_  (
c  vH  A )  /\  p  C_  ( c  vH  A ) )  <-> 
( q  vH  p
)  C_  ( c  vH  A ) ) )
3836, 37syl3an3 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( q  e.  CH  /\  p  e.  CH  /\  c  e.  CH )  ->  (
( q  C_  (
c  vH  A )  /\  p  C_  ( c  vH  A ) )  <-> 
( q  vH  p
)  C_  ( c  vH  A ) ) )
39383expa 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e.  CH )  ->  ( ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
)  <->  ( q  vH  p )  C_  (
c  vH  A )
) )
4039adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) )  ->  ( ( q 
C_  ( c  vH  A )  /\  p  C_  ( c  vH  A
) )  <->  ( q  vH  p )  C_  (
c  vH  A )
) )
4134, 40mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) )  ->  ( q  vH  p )  C_  (
c  vH  A )
)
4241adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  ( A  C_  c  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) ) )  ->  ( q  vH  p )  C_  (
c  vH  A )
)
43 chlejb2 26629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CH  /\  c  e.  CH )  ->  ( A  C_  c  <->  ( c  vH  A )  =  c ) )
4422, 43mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  e.  CH  ->  ( A  C_  c  <->  ( c  vH  A )  =  c ) )
4544biimpa 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  CH  /\  A  C_  c )  -> 
( c  vH  A
)  =  c )
4645ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  ( A  C_  c  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) ) )  ->  ( c  vH  A )  =  c )
4742, 46sseqtrd 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  ( A  C_  c  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) ) )  ->  ( q  vH  p )  C_  c
)
4847exp45 612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e.  CH )  ->  ( A  C_  c  ->  ( q  C_  A  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p
)  C_  c )
) ) )
4948anasss 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( q  e.  CH  /\  ( p  e.  CH  /\  c  e.  CH )
)  ->  ( A  C_  c  ->  ( q  C_  A  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p )  C_  c
) ) ) )
506, 21, 49syl2an 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  (
c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  ( A  C_  c  ->  ( q  C_  A  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p
)  C_  c )
) ) )
5150adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  ( A  C_  c  ->  (
q  C_  A  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p ) 
C_  c ) ) ) )
5218, 51syl7 68 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  ( A  C_  c  ->  (
( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
)  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p )  C_  c
) ) ) )
5352imp44 594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  ( q  vH  p )  C_  c
)
5417, 53sstrd 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  r  C_  c
)
55 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p )  ->  r  C_  B )
5655ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  c  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) )  /\  p  C_  c )  ->  r  C_  B )
5756adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  r  C_  B
)
5854, 57ssind 3708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  r  C_  (
c  i^i  B )
)
59 atelch 27461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e. HAtoms  ->  r  e.  CH )
606, 59anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( q  e.  CH  /\  r  e. 
CH ) )
61 mdsymlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  B  e. 
CH
62 chincl 26615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( c  i^i  B
)  e.  CH )
6361, 62mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  e.  CH  ->  (
c  i^i  B )  e.  CH )
64 chlej1 26626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( r  e.  CH  /\  ( c  i^i  B
)  e.  CH  /\  q  e.  CH )  /\  r  C_  ( c  i^i  B ) )  ->  ( r  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  q )
)
6564ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( r  e.  CH  /\  ( c  i^i  B
)  e.  CH  /\  q  e.  CH )  ->  ( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  ( r  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  q ) ) )
6663, 65syl3an2 1260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( r  e.  CH  /\  c  e.  CH  /\  q  e.  CH )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  q
) ) )
67663comr 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( q  e.  CH  /\  r  e.  CH  /\  c  e.  CH )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  q
) ) )
68673expa 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e.  CH )  ->  ( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  ( r  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  q ) ) )
6968adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  q
) ) )
70 chlej2 26627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  A  e.  CH  /\  ( c  i^i  B
)  e.  CH )  /\  q  C_  A )  ->  ( ( c  i^i  B )  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
)
7122, 70mp3anl2 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  ( c  i^i  B
)  e.  CH )  /\  q  C_  A )  ->  ( ( c  i^i  B )  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
)
7263, 71sylanl2 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  c  e.  CH )  /\  q  C_  A )  ->  ( ( c  i^i  B )  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
)
7372adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
( c  i^i  B
)  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) )
74 sstr2 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( r  vH  q ) 
C_  ( ( c  i^i  B )  vH  q )  ->  (
( ( c  i^i 
B )  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
7573, 74syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
( r  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  q )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
76 chjcom 26622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( q  e.  CH  /\  r  e.  CH )  ->  ( q  vH  r
)  =  ( r  vH  q ) )
7776ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
q  vH  r )  =  ( r  vH  q ) )
7877sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
( q  vH  r
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A )  <->  ( r  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
) )
7975, 78sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
( r  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  q )  ->  (
q  vH  r )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
8069, 79syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  (
q  vH  r )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
8180adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  q  C_  A ) )  -> 
( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  ( q  vH  r
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) )
82 sstr2 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p 
C_  ( q  vH  r )  ->  (
( q  vH  r
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
8382ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  q  C_  A ) )  -> 
( ( q  vH  r )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) )
8481, 83syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  q  C_  A ) )  -> 
( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) )
8584exp32 603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e.  CH )  ->  ( p  C_  (
q  vH  r )  ->  ( q  C_  A  ->  ( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) ) ) )
8660, 85sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  c  e. 
CH )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  ->  (
q  C_  A  ->  ( r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) ) ) )
8786adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  ->  (
q  C_  A  ->  ( r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) ) ) )
8887imp31 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  p  C_  ( q  vH  r ) )  /\  q  C_  A
)  ->  ( r  C_  ( c  i^i  B
)  ->  p  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
) )
8988adantrr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  p  C_  ( q  vH  r ) )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B
) )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
9089anasss 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
9190adantrr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
9291adantrl 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( A  C_  c  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) ) )  -> 
( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) )
9392adantrr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  ( r  C_  ( c  i^i  B
)  ->  p  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
) )
9458, 93mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  p  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
)
9594exp32 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  (
( A  C_  c  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) )  ->  (
p  C_  c  ->  p 
C_  ( ( c  i^i  B )  vH  A ) ) ) )
9695exp4d 607 . . . . 5  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  ( A  C_  c  ->  (
( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( p  C_  c  ->  p 
C_  ( ( c  i^i  B )  vH  A ) ) ) ) ) )
9796exp32 603 . . . 4  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( c  e.  CH  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( A  C_  c  ->  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( p 
C_  c  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) ) ) ) ) ) )
9897com34 83 . . 3  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( c  e.  CH  ->  ( A  C_  c  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( p 
C_  c  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) ) ) ) ) ) )
9998imp4c 589 . 2  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( (
( c  e.  CH  /\  A  C_  c )  /\  p  e. HAtoms )  -> 
( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  -> 
( -.  q  =  p  ->  ( p  C_  c  ->  p  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
) ) ) ) )
10099com24 87 1  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( (
( c  e.  CH  /\  A  C_  c )  /\  p  e. HAtoms )  -> 
( p  C_  c  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    i^i cin 3460    C_ wss 3461  (class class class)co 6270   CHcch 26044    vH chj 26048   0Hc0h 26050  HAtomscat 26080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561  ax-hilex 26114  ax-hfvadd 26115  ax-hvcom 26116  ax-hvass 26117  ax-hv0cl 26118  ax-hvaddid 26119  ax-hfvmul 26120  ax-hvmulid 26121  ax-hvmulass 26122  ax-hvdistr1 26123  ax-hvdistr2 26124  ax-hvmul0 26125  ax-hfi 26194  ax-his1 26197  ax-his2 26198  ax-his3 26199  ax-his4 26200  ax-hcompl 26317
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-lm 19897  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cfil 21860  df-cau 21861  df-cmet 21862  df-grpo 25391  df-gid 25392  df-ginv 25393  df-gdiv 25394  df-ablo 25482  df-subgo 25502  df-vc 25637  df-nv 25683  df-va 25686  df-ba 25687  df-sm 25688  df-0v 25689  df-vs 25690  df-nmcv 25691  df-ims 25692  df-dip 25809  df-ssp 25833  df-ph 25926  df-cbn 25977  df-hnorm 26083  df-hba 26084  df-hvsub 26086  df-hlim 26087  df-hcau 26088  df-sh 26322  df-ch 26337  df-oc 26368  df-ch0 26369  df-shs 26424  df-span 26425  df-chj 26426  df-chsup 26427  df-pjh 26511  df-cv 27396  df-at 27455
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