Theorem mdsymlem3 27723

Description: Lemma for mdsymi 27729. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	|- A e. CH
mdsymlem1.2	|- B e. CH
mdsymlem1.3	|- C = ( A vH p )

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem3	|- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> E. r e. HAtoms E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )

Distinct variable groups:   r, q, C   q, p, r, A   B, p, q, r

Allowed substitution hint:   C( p)

Proof of Theorem mdsymlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssin 3660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r C_ B /\ r C_ C ) <-> r C_ ( B i^i C ) )
2		mdsymlem1.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- C = ( A vH p )
3	2	sseq2i 3466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r C_ C <-> r C_ ( A vH p ) )
4	3	biimpi 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( r C_ C -> r C_ ( A vH p ) )
5	4	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r C_ B /\ r C_ C ) -> r C_ ( A vH p ) )
6	1, 5	sylbir 213	. . . . . . . . 9 |- ( r C_ ( B i^i C ) -> r C_ ( A vH p ) )
7		mdsymlem1.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A e. CH
8	7	atcvat4i 27715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r e. HAtoms /\ p e. HAtoms ) -> ( ( A =/= 0H /\ r C_ ( A vH p ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
9	8	exp4b 605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. HAtoms -> ( p e. HAtoms -> ( A =/= 0H -> ( r C_ ( A vH p ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) ) ) )
10	9	com34 83	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. HAtoms -> ( p e. HAtoms -> ( r C_ ( A vH p ) -> ( A =/= 0H -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) ) ) )
11	10	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. HAtoms -> ( r C_ ( A vH p ) -> ( p e. HAtoms -> ( A =/= 0H -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) ) ) )
12	11	imp4b 588	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. HAtoms /\ r C_ ( A vH p ) ) -> ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
13	6, 12	sylan2 472	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. HAtoms /\ r C_ ( B i^i C ) ) -> ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
14	13	adantrr 715	. . . . . . 7 |- ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
15	14	com12 29	. . . . . 6 |- ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
16	15	adantlr 713	. . . . 5 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ A =/= 0H ) -> ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
17	16	adantlr 713	. . . 4 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
18	17	imp 427	. . 3 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) )
19		nssne2 3498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( q C_ A /\ -. r C_ A ) -> q =/= r )
20	19	adantrl 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> q =/= r )
21		atnemeq0 27695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( q e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( q =/= r <-> ( q i^i r ) = 0H ) )
22	21	ancoms 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( r e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( q =/= r <-> ( q i^i r ) = 0H ) )
23	20, 22	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( r e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( q i^i r ) = 0H ) )
24	23	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( q i^i r ) = 0H ) )
25	24	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( q i^i r ) = 0H ) )
26		atelch 27662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p e. HAtoms -> p e. CH )
27		atelch 27662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q e. HAtoms -> q e. CH )
28		chjcom 26824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( p e. CH /\ q e. CH ) -> ( p vH q ) = ( q vH p ) )
29	26, 27, 28	syl2an 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( p vH q ) = ( q vH p ) )
30	29	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( p vH q ) = ( q vH p ) )
31	30	sseq2d 3469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( r C_ ( p vH q ) <-> r C_ ( q vH p ) ) )
32		atexch 27699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( q e. CH /\ r e. HAtoms /\ p e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
33	27, 32	syl3an1 1263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( q e. HAtoms /\ r e. HAtoms /\ p e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
34	33	3com13 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
35	34	3expa 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
36	35	expd 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( r C_ ( q vH p ) -> ( ( q i^i r ) = 0H -> p C_ ( q vH r ) ) ) )
37	31, 36	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( r C_ ( p vH q ) -> ( ( q i^i r ) = 0H -> p C_ ( q vH r ) ) ) )
38	37	imp 427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( ( q i^i r ) = 0H -> p C_ ( q vH r ) ) )
39	25, 38	syld 42	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
40	39	expd 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( q C_ A -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) )
41	40	exp31 602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( q e. HAtoms -> ( r C_ ( p vH q ) -> ( q C_ A -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) ) )
42	41	com24 87	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( q C_ A -> ( r C_ ( p vH q ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) ) )
43	42	impd 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) )
44	43	com24 87	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) )
45	44	imp4b 588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
46	45	anasss 645	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
47		simprl 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> q C_ A )
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> q C_ A ) )
49		simpl 455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r C_ B /\ r C_ C ) -> r C_ B )
50	1, 49	sylbir 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r C_ ( B i^i C ) -> r C_ B )
51	50	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> r C_ B )
52	51	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> r C_ B )
53	48, 52	jctird 542	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )
54	46, 53	jcad 531	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) )
55	54	expd 434	. . . . . . 7 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
56	55	adantlr 713	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
57	56	adantlr 713	. . . . 5 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
58	57	adantlr 713	. . . 4 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
59	58	reximdvai 2875	. . 3 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) )
60	18, 59	mpd 15	. 2 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )
61		mdsymlem1.2	. . . . . . 7 |- B e. CH
62		chjcl 26675	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CH /\ p e. CH ) -> ( A vH p ) e. CH )
63	7, 62	mpan 668	. . . . . . . 8 |- ( p e. CH -> ( A vH p ) e. CH )
64	2, 63	syl5eqel 2494	. . . . . . 7 |- ( p e. CH -> C e. CH )
65		chincl 26817	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CH /\ C e. CH ) -> ( B i^i C ) e. CH )
66	61, 64, 65	sylancr 661	. . . . . 6 |- ( p e. CH -> ( B i^i C ) e. CH )
67	26, 66	syl 17	. . . . 5 |- ( p e. HAtoms -> ( B i^i C ) e. CH )
68		chrelat2 27688	. . . . 5 |- ( ( ( B i^i C ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( -. ( B i^i C ) C_ A <-> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) )
69	67, 7, 68	sylancl 660	. . . 4 |- ( p e. HAtoms -> ( -. ( B i^i C ) C_ A <-> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) )
70	69	biimpa 482	. . 3 |- ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) -> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) )
71	70	ad2antrr 724	. 2 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) )
72	60, 71	reximddv 2879	1 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> E. r e. HAtoms E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   E.wrex 2754   i^i cin 3412   C_ wss 3413  (class class class)co 6277   CHcch 26246   vH chj 26250   0Hc0h 26252  HAtomscat 26282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cc 8846  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601  ax-hilex 26316  ax-hfvadd 26317  ax-hvcom 26318  ax-hvass 26319  ax-hv0cl 26320  ax-hvaddid 26321  ax-hfvmul 26322  ax-hvmulid 26323  ax-hvmulass 26324  ax-hvdistr1 26325  ax-hvdistr2 26326  ax-hvmul0 26327  ax-hfi 26396  ax-his1 26399  ax-his2 26400  ax-his3 26401  ax-his4 26402  ax-hcompl 26519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-lm 20021  df-haus 20107  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cfil 21984  df-cau 21985  df-cmet 21986  df-grpo 25593  df-gid 25594  df-ginv 25595  df-gdiv 25596  df-ablo 25684  df-subgo 25704  df-vc 25839  df-nv 25885  df-va 25888  df-ba 25889  df-sm 25890  df-0v 25891  df-vs 25892  df-nmcv 25893  df-ims 25894  df-dip 26011  df-ssp 26035  df-ph 26128  df-cbn 26179  df-hnorm 26285  df-hba 26286  df-hvsub 26288  df-hlim 26289  df-hcau 26290  df-sh 26524  df-ch 26539  df-oc 26570  df-ch0 26571  df-shs 26626  df-span 26627  df-chj 26628  df-chsup 26629  df-pjh 26713  df-cv 27597  df-at 27656

This theorem is referenced by:  mdsymlem4  27724