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Theorem mdsymlem3 28034
Description: Lemma for mdsymi 28040. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1  |-  A  e. 
CH
mdsymlem1.2  |-  B  e. 
CH
mdsymlem1.3  |-  C  =  ( A  vH  p
)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem3  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  E. r  e. HAtoms  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, C    q, p, r, A    B, p, q, r
Allowed substitution hint:    C( p)

Proof of Theorem mdsymlem3
StepHypRef Expression
1 ssin 3681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  C_  B  /\  r  C_  C )  <->  r  C_  ( B  i^i  C ) )
2 mdsymlem1.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  ( A  vH  p
)
32sseq2i 3486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r 
C_  C  <->  r  C_  ( A  vH  p
) )
43biimpi 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r 
C_  C  ->  r  C_  ( A  vH  p
) )
54adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  C_  B  /\  r  C_  C )  -> 
r  C_  ( A  vH  p ) )
61, 5sylbir 216 . . . . . . . . 9  |-  ( r 
C_  ( B  i^i  C )  ->  r  C_  ( A  vH  p
) )
7 mdsymlem1.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  e. 
CH
87atcvat4i 28026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  r  C_  ( A  vH  p
) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
98exp4b 610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e. HAtoms  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( A  =/=  0H  ->  ( r  C_  ( A  vH  p )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) ) ) ) ) )
109com34 86 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e. HAtoms  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( r  C_  ( A  vH  p )  -> 
( A  =/=  0H  ->  E. q  e. HAtoms  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) ) ) )
1110com23 81 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e. HAtoms  ->  ( r  C_  ( A  vH  p
)  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( A  =/= 
0H  ->  E. q  e. HAtoms  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) ) ) )
1211imp4b 593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  r  C_  ( A  vH  p
) )  ->  (
( p  e. HAtoms  /\  A  =/=  0H )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
136, 12sylan2 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  r  C_  ( B  i^i  C
) )  ->  (
( p  e. HAtoms  /\  A  =/=  0H )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
1413adantrr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  ( ( p  e. HAtoms  /\  A  =/=  0H )  ->  E. q  e. HAtoms  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
1514com12 32 . . . . . 6  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  A  =/= 
0H )  ->  (
( r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  E. q  e. HAtoms  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
1615adantlr 719 . . . . 5  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C ) 
C_  A )  /\  A  =/=  0H )  -> 
( ( r  e. HAtoms  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
1716adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  ( ( r  e. HAtoms  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) ) ) )
1817imp 430 . . 3  |-  ( ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B
) )  /\  A  =/=  0H )  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )
19 nssne2 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( q  C_  A  /\  -.  r  C_  A )  ->  q  =/=  r
)
2019adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  q  =/=  r )
21 atnemeq0 28006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( q  =/=  r  <->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
2221ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  q  e. HAtoms )  ->  ( q  =/=  r  <->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
2320, 22syl5ib 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  q  e. HAtoms )  ->  ( (
q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
2423adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( (
q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
2524adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms )  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
( q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
26 atelch 27973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e. HAtoms  ->  p  e.  CH )
27 atelch 27973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( q  e. HAtoms  ->  q  e.  CH )
28 chjcom 27135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  CH  /\  q  e.  CH )  ->  ( p  vH  q
)  =  ( q  vH  p ) )
2926, 27, 28syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  q  e. HAtoms )  ->  ( p  vH  q )  =  ( q  vH  p ) )
3029adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( p  vH  q )  =  ( q  vH  p ) )
3130sseq2d 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( r  C_  ( p  vH  q
)  <->  r  C_  (
q  vH  p )
) )
32 atexch 28010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( q  e.  CH  /\  r  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms
)  ->  ( (
r  C_  ( q  vH  p )  /\  (
q  i^i  r )  =  0H )  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) )
3327, 32syl3an1 1297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( ( r  C_  ( q  vH  p
)  /\  ( q  i^i  r )  =  0H )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
34333com13 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms  /\  q  e. HAtoms )  ->  ( ( r  C_  ( q  vH  p
)  /\  ( q  i^i  r )  =  0H )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
35343expa 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( (
r  C_  ( q  vH  p )  /\  (
q  i^i  r )  =  0H )  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) )
3635expd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( r  C_  ( q  vH  p
)  ->  ( (
q  i^i  r )  =  0H  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) ) )
3731, 36sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( r  C_  ( p  vH  q
)  ->  ( (
q  i^i  r )  =  0H  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) ) )
3837imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms )  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
( q  i^i  r
)  =  0H  ->  p 
C_  ( q  vH  r ) ) )
3925, 38syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms )  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
( q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
4039expd 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms )  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
q  C_  A  ->  ( ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) ) )
4140exp31 607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( r  C_  ( p  vH  q
)  ->  ( q  C_  A  ->  ( (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  p  C_  ( q  vH  r ) ) ) ) ) )
4241com24 90 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( q  C_  A  ->  ( r  C_  ( p  vH  q
)  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( ( r 
C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) ) ) ) )
4342impd 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) )  -> 
( q  e. HAtoms  ->  ( ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) ) ) )
4443com24 90 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  -> 
( q  e. HAtoms  ->  ( ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) ) ) )
4544imp4b 593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( r 
C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  -> 
( ( q  e. HAtoms  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
4645anasss 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( (
q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
47 simprl 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  q  C_  A
)
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( (
q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  q  C_  A
) )
49 simpl 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  C_  B  /\  r  C_  C )  -> 
r  C_  B )
501, 49sylbir 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r 
C_  ( B  i^i  C )  ->  r  C_  B )
5150ad2antrl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  r  C_  B
)
5251adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  r  C_  B )
5348, 52jctird 546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( (
q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  ( q  C_  A  /\  r  C_  B
) ) )
5446, 53jcad 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( (
q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) )
5554expd 437 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
5655adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C ) 
C_  A )  /\  ( r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
5756adantlr 719 . . . . 5  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  ( r  e. HAtoms  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  (
q  e. HAtoms  ->  ( ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) )  -> 
( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
5857adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B
) )  /\  A  =/=  0H )  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
5958reximdvai 2895 . . 3  |-  ( ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B
) )  /\  A  =/=  0H )  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) )
6018, 59mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B
) )  /\  A  =/=  0H )  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
61 mdsymlem1.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
CH
62 chjcl 26986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CH  /\  p  e.  CH )  ->  ( A  vH  p
)  e.  CH )
637, 62mpan 674 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  CH  ->  ( A  vH  p )  e. 
CH )
642, 63syl5eqel 2512 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  CH  ->  C  e.  CH )
65 chincl 27128 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  i^i  C
)  e.  CH )
6661, 64, 65sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( p  e.  CH  ->  ( B  i^i  C )  e. 
CH )
6726, 66syl 17 . . . . 5  |-  ( p  e. HAtoms  ->  ( B  i^i  C )  e.  CH )
68 chrelat2 27999 . . . . 5  |-  ( ( ( B  i^i  C
)  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( -.  ( B  i^i  C )  C_  A 
<->  E. r  e. HAtoms  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )
6967, 7, 68sylancl 666 . . . 4  |-  ( p  e. HAtoms  ->  ( -.  ( B  i^i  C )  C_  A 
<->  E. r  e. HAtoms  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )
7069biimpa 486 . . 3  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  ->  E. r  e. HAtoms  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )
7170ad2antrr 730 . 2  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  E. r  e. HAtoms  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )
7260, 71reximddv 2899 1  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  E. r  e. HAtoms  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   E.wrex 2774    i^i cin 3432    C_ wss 3433  (class class class)co 6297   CHcch 26558    vH chj 26562   0Hc0h 26564  HAtomscat 26594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-inf2 8144  ax-cc 8861  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-pre-sup 9613  ax-addf 9614  ax-mulf 9615  ax-hilex 26628  ax-hfvadd 26629  ax-hvcom 26630  ax-hvass 26631  ax-hv0cl 26632  ax-hvaddid 26633  ax-hfvmul 26634  ax-hvmulid 26635  ax-hvmulass 26636  ax-hvdistr1 26637  ax-hvdistr2 26638  ax-hvmul0 26639  ax-hfi 26708  ax-his1 26711  ax-his2 26712  ax-his3 26713  ax-his4 26714  ax-hcompl 26831
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-se 4806  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-of 6537  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7882  df-fi 7923  df-sup 7954  df-inf 7955  df-oi 8023  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8594  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-4 10666  df-5 10667  df-6 10668  df-7 10669  df-8 10670  df-9 10671  df-10 10672  df-n0 10866  df-z 10934  df-dec 11048  df-uz 11156  df-q 11261  df-rp 11299  df-xneg 11405  df-xadd 11406  df-xmul 11407  df-ioo 11635  df-ico 11637  df-icc 11638  df-fz 11779  df-fzo 11910  df-fl 12021  df-seq 12207  df-exp 12266  df-hash 12509  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15101  df-ndx 15102  df-slot 15103  df-base 15104  df-sets 15105  df-ress 15106  df-plusg 15181  df-mulr 15182  df-starv 15183  df-sca 15184  df-vsca 15185  df-ip 15186  df-tset 15187  df-ple 15188  df-ds 15190  df-unif 15191  df-hom 15192  df-cco 15193  df-rest 15299  df-topn 15300  df-0g 15318  df-gsum 15319  df-topgen 15320  df-pt 15321  df-prds 15324  df-xrs 15378  df-qtop 15384  df-imas 15385  df-xps 15388  df-mre 15470  df-mrc 15471  df-acs 15473  df-mgm 16466  df-sgrp 16505  df-mnd 16515  df-submnd 16561  df-mulg 16654  df-cntz 16949  df-cmn 17410  df-psmet 18940  df-xmet 18941  df-met 18942  df-bl 18943  df-mopn 18944  df-fbas 18945  df-fg 18946  df-cnfld 18949  df-top 19898  df-bases 19899  df-topon 19900  df-topsp 19901  df-cld 20011  df-ntr 20012  df-cls 20013  df-nei 20091  df-cn 20220  df-cnp 20221  df-lm 20222  df-haus 20308  df-tx 20554  df-hmeo 20747  df-fil 20838  df-fm 20930  df-flim 20931  df-flf 20932  df-xms 21312  df-ms 21313  df-tms 21314  df-cfil 22202  df-cau 22203  df-cmet 22204  df-grpo 25895  df-gid 25896  df-ginv 25897  df-gdiv 25898  df-ablo 25986  df-subgo 26006  df-vc 26141  df-nv 26187  df-va 26190  df-ba 26191  df-sm 26192  df-0v 26193  df-vs 26194  df-nmcv 26195  df-ims 26196  df-dip 26313  df-ssp 26337  df-ph 26430  df-cbn 26481  df-hnorm 26597  df-hba 26598  df-hvsub 26600  df-hlim 26601  df-hcau 26602  df-sh 26836  df-ch 26850  df-oc 26881  df-ch0 26882  df-shs 26937  df-span 26938  df-chj 26939  df-chsup 26940  df-pjh 27024  df-cv 27908  df-at 27967
This theorem is referenced by:  mdsymlem4  28035
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