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Theorem mdsymlem3 25981
Description: Lemma for mdsymi 25987. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1  |-  A  e. 
CH
mdsymlem1.2  |-  B  e. 
CH
mdsymlem1.3  |-  C  =  ( A  vH  p
)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem3  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  E. r  e. HAtoms  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, C    q, p, r, A    B, p, q, r
Allowed substitution hint:    C( p)

Proof of Theorem mdsymlem3
StepHypRef Expression
1 atelch 25920 . . . . . 6  |-  ( p  e. HAtoms  ->  p  e.  CH )
2 mdsymlem1.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
CH
3 mdsymlem1.3 . . . . . . . 8  |-  C  =  ( A  vH  p
)
4 mdsymlem1.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
CH
5 chjcl 24932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CH  /\  p  e.  CH )  ->  ( A  vH  p
)  e.  CH )
64, 5mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  CH  ->  ( A  vH  p )  e. 
CH )
73, 6syl5eqel 2546 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  CH  ->  C  e.  CH )
8 chincl 25074 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  i^i  C
)  e.  CH )
92, 7, 8sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( p  e.  CH  ->  ( B  i^i  C )  e. 
CH )
101, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( p  e. HAtoms  ->  ( B  i^i  C )  e.  CH )
11 chrelat2 25946 . . . . 5  |-  ( ( ( B  i^i  C
)  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( -.  ( B  i^i  C )  C_  A 
<->  E. r  e. HAtoms  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )
1210, 4, 11sylancl 662 . . . 4  |-  ( p  e. HAtoms  ->  ( -.  ( B  i^i  C )  C_  A 
<->  E. r  e. HAtoms  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )
1312biimpa 484 . . 3  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  ->  E. r  e. HAtoms  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )
1413ad2antrr 725 . 2  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  E. r  e. HAtoms  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )
15 ssin 3683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  C_  B  /\  r  C_  C )  <->  r  C_  ( B  i^i  C ) )
163sseq2i 3492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r 
C_  C  <->  r  C_  ( A  vH  p
) )
1716biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r 
C_  C  ->  r  C_  ( A  vH  p
) )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  C_  B  /\  r  C_  C )  -> 
r  C_  ( A  vH  p ) )
1915, 18sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r 
C_  ( B  i^i  C )  ->  r  C_  ( A  vH  p
) )
204atcvat4i 25973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  r  C_  ( A  vH  p
) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
2120exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e. HAtoms  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( A  =/=  0H  ->  ( r  C_  ( A  vH  p )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) ) ) ) ) )
2221com34 83 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e. HAtoms  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( r  C_  ( A  vH  p )  -> 
( A  =/=  0H  ->  E. q  e. HAtoms  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) ) ) )
2322com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e. HAtoms  ->  ( r  C_  ( A  vH  p
)  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( A  =/= 
0H  ->  E. q  e. HAtoms  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) ) ) )
2423imp4b 590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  r  C_  ( A  vH  p
) )  ->  (
( p  e. HAtoms  /\  A  =/=  0H )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
2519, 24sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  r  C_  ( B  i^i  C
) )  ->  (
( p  e. HAtoms  /\  A  =/=  0H )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
2625adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  ( ( p  e. HAtoms  /\  A  =/=  0H )  ->  E. q  e. HAtoms  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
2726com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  A  =/= 
0H )  ->  (
( r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  E. q  e. HAtoms  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
2827adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C ) 
C_  A )  /\  A  =/=  0H )  -> 
( ( r  e. HAtoms  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
2928adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  ( ( r  e. HAtoms  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) ) ) )
3029imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B
) )  /\  A  =/=  0H )  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )
31 nssne2 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( q  C_  A  /\  -.  r  C_  A )  ->  q  =/=  r
)
3231adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  q  =/=  r )
33 atnemeq0 25953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( q  =/=  r  <->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
3433ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  q  e. HAtoms )  ->  ( q  =/=  r  <->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
3532, 34syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  q  e. HAtoms )  ->  ( (
q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
3635adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( (
q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms )  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
( q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
38 atelch 25920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( q  e. HAtoms  ->  q  e.  CH )
39 chjcom 25081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  CH  /\  q  e.  CH )  ->  ( p  vH  q
)  =  ( q  vH  p ) )
401, 38, 39syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  q  e. HAtoms )  ->  ( p  vH  q )  =  ( q  vH  p ) )
4140adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( p  vH  q )  =  ( q  vH  p ) )
4241sseq2d 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( r  C_  ( p  vH  q
)  <->  r  C_  (
q  vH  p )
) )
43 atexch 25957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( q  e.  CH  /\  r  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms
)  ->  ( (
r  C_  ( q  vH  p )  /\  (
q  i^i  r )  =  0H )  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) )
4438, 43syl3an1 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( ( r  C_  ( q  vH  p
)  /\  ( q  i^i  r )  =  0H )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
45443com13 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms  /\  q  e. HAtoms )  ->  ( ( r  C_  ( q  vH  p
)  /\  ( q  i^i  r )  =  0H )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
46453expa 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( (
r  C_  ( q  vH  p )  /\  (
q  i^i  r )  =  0H )  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) )
4746expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( r  C_  ( q  vH  p
)  ->  ( (
q  i^i  r )  =  0H  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) ) )
4842, 47sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( r  C_  ( p  vH  q
)  ->  ( (
q  i^i  r )  =  0H  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) ) )
4948imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms )  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
( q  i^i  r
)  =  0H  ->  p 
C_  ( q  vH  r ) ) )
5037, 49syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms )  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
( q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
5150expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms )  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
q  C_  A  ->  ( ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) ) )
5251exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( r  C_  ( p  vH  q
)  ->  ( q  C_  A  ->  ( (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  p  C_  ( q  vH  r ) ) ) ) ) )
5352com24 87 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( q  C_  A  ->  ( r  C_  ( p  vH  q
)  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( ( r 
C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) ) ) ) )
5453impd 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) )  -> 
( q  e. HAtoms  ->  ( ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) ) ) )
5554com24 87 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  -> 
( q  e. HAtoms  ->  ( ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) ) ) )
5655imp4b 590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( r 
C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  -> 
( ( q  e. HAtoms  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
5756anasss 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( (
q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
58 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  q  C_  A
)
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( (
q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  q  C_  A
) )
60 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  C_  B  /\  r  C_  C )  -> 
r  C_  B )
6115, 60sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r 
C_  ( B  i^i  C )  ->  r  C_  B )
6261ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  r  C_  B
)
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  r  C_  B )
6459, 63jctird 544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( (
q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  ( q  C_  A  /\  r  C_  B
) ) )
6557, 64jcad 533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( (
q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) )
6665expd 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
6766adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C ) 
C_  A )  /\  ( r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
6867adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  ( r  e. HAtoms  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  (
q  e. HAtoms  ->  ( ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) )  -> 
( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
6968adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B
) )  /\  A  =/=  0H )  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
7069reximdvai 2932 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B
) )  /\  A  =/=  0H )  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) )
7130, 70mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B
) )  /\  A  =/=  0H )  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
7271exp32 605 . . 3  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  ( r  e. HAtoms  ->  ( ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
7372reximdvai 2932 . 2  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  ( E. r  e. HAtoms  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  E. r  e. HAtoms  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) )
7414, 73mpd 15 1  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  E. r  e. HAtoms  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   E.wrex 2800    i^i cin 3438    C_ wss 3439  (class class class)co 6203   CHcch 24503    vH chj 24507   0Hc0h 24509  HAtomscat 24539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cc 8718  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476  ax-hilex 24573  ax-hfvadd 24574  ax-hvcom 24575  ax-hvass 24576  ax-hv0cl 24577  ax-hvaddid 24578  ax-hfvmul 24579  ax-hvmulid 24580  ax-hvmulass 24581  ax-hvdistr1 24582  ax-hvdistr2 24583  ax-hvmul0 24584  ax-hfi 24653  ax-his1 24656  ax-his2 24657  ax-his3 24658  ax-his4 24659  ax-hcompl 24776
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-acn 8226  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-lm 18968  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cfil 20901  df-cau 20902  df-cmet 20903  df-grpo 23850  df-gid 23851  df-ginv 23852  df-gdiv 23853  df-ablo 23941  df-subgo 23961  df-vc 24096  df-nv 24142  df-va 24145  df-ba 24146  df-sm 24147  df-0v 24148  df-vs 24149  df-nmcv 24150  df-ims 24151  df-dip 24268  df-ssp 24292  df-ph 24385  df-cbn 24436  df-hnorm 24542  df-hba 24543  df-hvsub 24545  df-hlim 24546  df-hcau 24547  df-sh 24781  df-ch 24796  df-oc 24827  df-ch0 24828  df-shs 24883  df-span 24884  df-chj 24885  df-chsup 24886  df-pjh 24970  df-cv 25855  df-at 25914
This theorem is referenced by:  mdsymlem4  25982
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