Theorem mdsymlem3 25981

Description: Lemma for mdsymi 25987. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	|- A e. CH
mdsymlem1.2	|- B e. CH
mdsymlem1.3	|- C = ( A vH p )

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem3	|- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> E. r e. HAtoms E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )

Distinct variable groups:   r, q, C   q, p, r, A   B, p, q, r

Allowed substitution hint:   C( p)

Proof of Theorem mdsymlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 25920	. . . . . 6 |- ( p e. HAtoms -> p e. CH )
2		mdsymlem1.2	. . . . . . 7 |- B e. CH
3		mdsymlem1.3	. . . . . . . 8 |- C = ( A vH p )
4		mdsymlem1.1	. . . . . . . . 9 |- A e. CH
5		chjcl 24932	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CH /\ p e. CH ) -> ( A vH p ) e. CH )
6	4, 5	mpan 670	. . . . . . . 8 |- ( p e. CH -> ( A vH p ) e. CH )
7	3, 6	syl5eqel 2546	. . . . . . 7 |- ( p e. CH -> C e. CH )
8		chincl 25074	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CH /\ C e. CH ) -> ( B i^i C ) e. CH )
9	2, 7, 8	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( p e. CH -> ( B i^i C ) e. CH )
10	1, 9	syl 16	. . . . 5 |- ( p e. HAtoms -> ( B i^i C ) e. CH )
11		chrelat2 25946	. . . . 5 |- ( ( ( B i^i C ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( -. ( B i^i C ) C_ A <-> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) )
12	10, 4, 11	sylancl 662	. . . 4 |- ( p e. HAtoms -> ( -. ( B i^i C ) C_ A <-> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) )
13	12	biimpa 484	. . 3 |- ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) -> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) )
14	13	ad2antrr 725	. 2 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) )
15		ssin 3683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r C_ B /\ r C_ C ) <-> r C_ ( B i^i C ) )
16	3	sseq2i 3492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r C_ C <-> r C_ ( A vH p ) )
17	16	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r C_ C -> r C_ ( A vH p ) )
18	17	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r C_ B /\ r C_ C ) -> r C_ ( A vH p ) )
19	15, 18	sylbir 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( r C_ ( B i^i C ) -> r C_ ( A vH p ) )
20	4	atcvat4i 25973	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r e. HAtoms /\ p e. HAtoms ) -> ( ( A =/= 0H /\ r C_ ( A vH p ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
21	20	exp4b 607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r e. HAtoms -> ( p e. HAtoms -> ( A =/= 0H -> ( r C_ ( A vH p ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) ) ) )
22	21	com34 83	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r e. HAtoms -> ( p e. HAtoms -> ( r C_ ( A vH p ) -> ( A =/= 0H -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) ) ) )
23	22	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. HAtoms -> ( r C_ ( A vH p ) -> ( p e. HAtoms -> ( A =/= 0H -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) ) ) )
24	23	imp4b 590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. HAtoms /\ r C_ ( A vH p ) ) -> ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
25	19, 24	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. HAtoms /\ r C_ ( B i^i C ) ) -> ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
26	25	adantrr 716	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
27	26	com12 31	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
28	27	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ A =/= 0H ) -> ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
29	28	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
30	29	imp 429	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) )
31		nssne2 3524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( q C_ A /\ -. r C_ A ) -> q =/= r )
32	31	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> q =/= r )
33		atnemeq0 25953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( q e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( q =/= r <-> ( q i^i r ) = 0H ) )
34	33	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( r e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( q =/= r <-> ( q i^i r ) = 0H ) )
35	32, 34	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( r e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( q i^i r ) = 0H ) )
36	35	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( q i^i r ) = 0H ) )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( q i^i r ) = 0H ) )
38		atelch 25920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( q e. HAtoms -> q e. CH )
39		chjcom 25081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( p e. CH /\ q e. CH ) -> ( p vH q ) = ( q vH p ) )
40	1, 38, 39	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( p e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( p vH q ) = ( q vH p ) )
41	40	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( p vH q ) = ( q vH p ) )
42	41	sseq2d 3495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( r C_ ( p vH q ) <-> r C_ ( q vH p ) ) )
43		atexch 25957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( q e. CH /\ r e. HAtoms /\ p e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
44	38, 43	syl3an1 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( q e. HAtoms /\ r e. HAtoms /\ p e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
45	44	3com13 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
46	45	3expa 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
47	46	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( r C_ ( q vH p ) -> ( ( q i^i r ) = 0H -> p C_ ( q vH r ) ) ) )
48	42, 47	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( r C_ ( p vH q ) -> ( ( q i^i r ) = 0H -> p C_ ( q vH r ) ) ) )
49	48	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( ( q i^i r ) = 0H -> p C_ ( q vH r ) ) )
50	37, 49	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
51	50	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( q C_ A -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) )
52	51	exp31 604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( q e. HAtoms -> ( r C_ ( p vH q ) -> ( q C_ A -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) ) )
53	52	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( q C_ A -> ( r C_ ( p vH q ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) ) )
54	53	impd 431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) )
55	54	com24 87	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) )
56	55	imp4b 590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
57	56	anasss 647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
58		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> q C_ A )
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> q C_ A ) )
60		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r C_ B /\ r C_ C ) -> r C_ B )
61	15, 60	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r C_ ( B i^i C ) -> r C_ B )
62	61	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> r C_ B )
63	62	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> r C_ B )
64	59, 63	jctird 544	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )
65	57, 64	jcad 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) )
66	65	expd 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
67	66	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
68	67	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
69	68	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
70	69	reximdvai 2932	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) )
71	30, 70	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )
72	71	exp32 605	. . 3 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> ( r e. HAtoms -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
73	72	reximdvai 2932	. 2 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> ( E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> E. r e. HAtoms E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) )
74	14, 73	mpd 15	1 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> E. r e. HAtoms E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   E.wrex 2800   i^i cin 3438   C_ wss 3439  (class class class)co 6203   CHcch 24503   vH chj 24507   0Hc0h 24509  HAtomscat 24539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cc 8718  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476  ax-hilex 24573  ax-hfvadd 24574  ax-hvcom 24575  ax-hvass 24576  ax-hv0cl 24577  ax-hvaddid 24578  ax-hfvmul 24579  ax-hvmulid 24580  ax-hvmulass 24581  ax-hvdistr1 24582  ax-hvdistr2 24583  ax-hvmul0 24584  ax-hfi 24653  ax-his1 24656  ax-his2 24657  ax-his3 24658  ax-his4 24659  ax-hcompl 24776

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-acn 8226  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-lm 18968  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cfil 20901  df-cau 20902  df-cmet 20903  df-grpo 23850  df-gid 23851  df-ginv 23852  df-gdiv 23853  df-ablo 23941  df-subgo 23961  df-vc 24096  df-nv 24142  df-va 24145  df-ba 24146  df-sm 24147  df-0v 24148  df-vs 24149  df-nmcv 24150  df-ims 24151  df-dip 24268  df-ssp 24292  df-ph 24385  df-cbn 24436  df-hnorm 24542  df-hba 24543  df-hvsub 24545  df-hlim 24546  df-hcau 24547  df-sh 24781  df-ch 24796  df-oc 24827  df-ch0 24828  df-shs 24883  df-span 24884  df-chj 24885  df-chsup 24886  df-pjh 24970  df-cv 25855  df-at 25914

This theorem is referenced by:  mdsymlem4  25982