Theorem mdsymlem3 28034

Description: Lemma for mdsymi 28040. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	|- A e. CH
mdsymlem1.2	|- B e. CH
mdsymlem1.3	|- C = ( A vH p )

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem3	|- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> E. r e. HAtoms E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )

Distinct variable groups:   r, q, C   q, p, r, A   B, p, q, r

Allowed substitution hint:   C( p)

Proof of Theorem mdsymlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssin 3681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r C_ B /\ r C_ C ) <-> r C_ ( B i^i C ) )
2		mdsymlem1.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- C = ( A vH p )
3	2	sseq2i 3486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r C_ C <-> r C_ ( A vH p ) )
4	3	biimpi 197	. . . . . . . . . . 11 |- ( r C_ C -> r C_ ( A vH p ) )
5	4	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r C_ B /\ r C_ C ) -> r C_ ( A vH p ) )
6	1, 5	sylbir 216	. . . . . . . . 9 |- ( r C_ ( B i^i C ) -> r C_ ( A vH p ) )
7		mdsymlem1.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A e. CH
8	7	atcvat4i 28026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r e. HAtoms /\ p e. HAtoms ) -> ( ( A =/= 0H /\ r C_ ( A vH p ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
9	8	exp4b 610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. HAtoms -> ( p e. HAtoms -> ( A =/= 0H -> ( r C_ ( A vH p ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) ) ) )
10	9	com34 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. HAtoms -> ( p e. HAtoms -> ( r C_ ( A vH p ) -> ( A =/= 0H -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) ) ) )
11	10	com23 81	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. HAtoms -> ( r C_ ( A vH p ) -> ( p e. HAtoms -> ( A =/= 0H -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) ) ) )
12	11	imp4b 593	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. HAtoms /\ r C_ ( A vH p ) ) -> ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
13	6, 12	sylan2 476	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. HAtoms /\ r C_ ( B i^i C ) ) -> ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
14	13	adantrr 721	. . . . . . 7 |- ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
15	14	com12 32	. . . . . 6 |- ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
16	15	adantlr 719	. . . . 5 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ A =/= 0H ) -> ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
17	16	adantlr 719	. . . 4 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
18	17	imp 430	. . 3 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) )
19		nssne2 3518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( q C_ A /\ -. r C_ A ) -> q =/= r )
20	19	adantrl 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> q =/= r )
21		atnemeq0 28006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( q e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( q =/= r <-> ( q i^i r ) = 0H ) )
22	21	ancoms 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( r e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( q =/= r <-> ( q i^i r ) = 0H ) )
23	20, 22	syl5ib 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( r e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( q i^i r ) = 0H ) )
24	23	adantll 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( q i^i r ) = 0H ) )
25	24	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( q i^i r ) = 0H ) )
26		atelch 27973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p e. HAtoms -> p e. CH )
27		atelch 27973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q e. HAtoms -> q e. CH )
28		chjcom 27135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( p e. CH /\ q e. CH ) -> ( p vH q ) = ( q vH p ) )
29	26, 27, 28	syl2an 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( p vH q ) = ( q vH p ) )
30	29	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( p vH q ) = ( q vH p ) )
31	30	sseq2d 3489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( r C_ ( p vH q ) <-> r C_ ( q vH p ) ) )
32		atexch 28010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( q e. CH /\ r e. HAtoms /\ p e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
33	27, 32	syl3an1 1297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( q e. HAtoms /\ r e. HAtoms /\ p e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
34	33	3com13 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
35	34	3expa 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
36	35	expd 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( r C_ ( q vH p ) -> ( ( q i^i r ) = 0H -> p C_ ( q vH r ) ) ) )
37	31, 36	sylbid 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( r C_ ( p vH q ) -> ( ( q i^i r ) = 0H -> p C_ ( q vH r ) ) ) )
38	37	imp 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( ( q i^i r ) = 0H -> p C_ ( q vH r ) ) )
39	25, 38	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
40	39	expd 437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( q C_ A -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) )
41	40	exp31 607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( q e. HAtoms -> ( r C_ ( p vH q ) -> ( q C_ A -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) ) )
42	41	com24 90	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( q C_ A -> ( r C_ ( p vH q ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) ) )
43	42	impd 432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) )
44	43	com24 90	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) )
45	44	imp4b 593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
46	45	anasss 651	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
47		simprl 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> q C_ A )
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> q C_ A ) )
49		simpl 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r C_ B /\ r C_ C ) -> r C_ B )
50	1, 49	sylbir 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r C_ ( B i^i C ) -> r C_ B )
51	50	ad2antrl 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> r C_ B )
52	51	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> r C_ B )
53	48, 52	jctird 546	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )
54	46, 53	jcad 535	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) )
55	54	expd 437	. . . . . . 7 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
56	55	adantlr 719	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
57	56	adantlr 719	. . . . 5 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
58	57	adantlr 719	. . . 4 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
59	58	reximdvai 2895	. . 3 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) )
60	18, 59	mpd 15	. 2 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )
61		mdsymlem1.2	. . . . . . 7 |- B e. CH
62		chjcl 26986	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CH /\ p e. CH ) -> ( A vH p ) e. CH )
63	7, 62	mpan 674	. . . . . . . 8 |- ( p e. CH -> ( A vH p ) e. CH )
64	2, 63	syl5eqel 2512	. . . . . . 7 |- ( p e. CH -> C e. CH )
65		chincl 27128	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CH /\ C e. CH ) -> ( B i^i C ) e. CH )
66	61, 64, 65	sylancr 667	. . . . . 6 |- ( p e. CH -> ( B i^i C ) e. CH )
67	26, 66	syl 17	. . . . 5 |- ( p e. HAtoms -> ( B i^i C ) e. CH )
68		chrelat2 27999	. . . . 5 |- ( ( ( B i^i C ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( -. ( B i^i C ) C_ A <-> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) )
69	67, 7, 68	sylancl 666	. . . 4 |- ( p e. HAtoms -> ( -. ( B i^i C ) C_ A <-> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) )
70	69	biimpa 486	. . 3 |- ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) -> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) )
71	70	ad2antrr 730	. 2 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) )
72	60, 71	reximddv 2899	1 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> E. r e. HAtoms E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1867   =/= wne 2616   E.wrex 2774   i^i cin 3432   C_ wss 3433  (class class class)co 6297   CHcch 26558   vH chj 26562   0Hc0h 26564  HAtomscat 26594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-inf2 8144  ax-cc 8861  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-pre-sup 9613  ax-addf 9614  ax-mulf 9615  ax-hilex 26628  ax-hfvadd 26629  ax-hvcom 26630  ax-hvass 26631  ax-hv0cl 26632  ax-hvaddid 26633  ax-hfvmul 26634  ax-hvmulid 26635  ax-hvmulass 26636  ax-hvdistr1 26637  ax-hvdistr2 26638  ax-hvmul0 26639  ax-hfi 26708  ax-his1 26711  ax-his2 26712  ax-his3 26713  ax-his4 26714  ax-hcompl 26831

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-se 4806  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-of 6537  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7882  df-fi 7923  df-sup 7954  df-inf 7955  df-oi 8023  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8594  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-4 10666  df-5 10667  df-6 10668  df-7 10669  df-8 10670  df-9 10671  df-10 10672  df-n0 10866  df-z 10934  df-dec 11048  df-uz 11156  df-q 11261  df-rp 11299  df-xneg 11405  df-xadd 11406  df-xmul 11407  df-ioo 11635  df-ico 11637  df-icc 11638  df-fz 11779  df-fzo 11910  df-fl 12021  df-seq 12207  df-exp 12266  df-hash 12509  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15101  df-ndx 15102  df-slot 15103  df-base 15104  df-sets 15105  df-ress 15106  df-plusg 15181  df-mulr 15182  df-starv 15183  df-sca 15184  df-vsca 15185  df-ip 15186  df-tset 15187  df-ple 15188  df-ds 15190  df-unif 15191  df-hom 15192  df-cco 15193  df-rest 15299  df-topn 15300  df-0g 15318  df-gsum 15319  df-topgen 15320  df-pt 15321  df-prds 15324  df-xrs 15378  df-qtop 15384  df-imas 15385  df-xps 15388  df-mre 15470  df-mrc 15471  df-acs 15473  df-mgm 16466  df-sgrp 16505  df-mnd 16515  df-submnd 16561  df-mulg 16654  df-cntz 16949  df-cmn 17410  df-psmet 18940  df-xmet 18941  df-met 18942  df-bl 18943  df-mopn 18944  df-fbas 18945  df-fg 18946  df-cnfld 18949  df-top 19898  df-bases 19899  df-topon 19900  df-topsp 19901  df-cld 20011  df-ntr 20012  df-cls 20013  df-nei 20091  df-cn 20220  df-cnp 20221  df-lm 20222  df-haus 20308  df-tx 20554  df-hmeo 20747  df-fil 20838  df-fm 20930  df-flim 20931  df-flf 20932  df-xms 21312  df-ms 21313  df-tms 21314  df-cfil 22202  df-cau 22203  df-cmet 22204  df-grpo 25895  df-gid 25896  df-ginv 25897  df-gdiv 25898  df-ablo 25986  df-subgo 26006  df-vc 26141  df-nv 26187  df-va 26190  df-ba 26191  df-sm 26192  df-0v 26193  df-vs 26194  df-nmcv 26195  df-ims 26196  df-dip 26313  df-ssp 26337  df-ph 26430  df-cbn 26481  df-hnorm 26597  df-hba 26598  df-hvsub 26600  df-hlim 26601  df-hcau 26602  df-sh 26836  df-ch 26850  df-oc 26881  df-ch0 26882  df-shs 26937  df-span 26938  df-chj 26939  df-chsup 26940  df-pjh 27024  df-cv 27908  df-at 27967

This theorem is referenced by:  mdsymlem4  28035