HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsymlem2 Structured version   Unicode version

Theorem mdsymlem2 25980
Description: Lemma for mdsymi 25987. (Contributed by NM, 1-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1  |-  A  e. 
CH
mdsymlem1.2  |-  B  e. 
CH
mdsymlem1.3  |-  C  =  ( A  vH  p
)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem2  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  ( B  MH*  A  /\  p  C_  ( A  vH  B
) ) )  -> 
( B  =/=  0H  ->  E. r  e. HAtoms  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, C    q, p, r, A    B, p, q, r
Allowed substitution hint:    C( p)

Proof of Theorem mdsymlem2
StepHypRef Expression
1 mdsymlem1.2 . . 3  |-  B  e. 
CH
21hatomici 25935 . 2  |-  ( B  =/=  0H  ->  E. r  e. HAtoms  r  C_  B )
3 simplll 757 . . . . 5  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  ( B  i^i  C
)  C_  A )  /\  ( B  MH*  A  /\  p  C_  ( A  vH  B ) ) )  /\  ( r  e. HAtoms  /\  r  C_  B
) )  ->  p  e. HAtoms )
4 atelch 25920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e. HAtoms  ->  p  e.  CH )
5 atelch 25920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e. HAtoms  ->  r  e.  CH )
6 chub1 25082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  CH  /\  r  e.  CH )  ->  p  C_  ( p  vH  r ) )
74, 5, 6syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  p  C_  (
p  vH  r )
)
87adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  r  e. HAtoms )  ->  p  C_  (
p  vH  r )
)
98adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  ( B  i^i  C
)  C_  A )  /\  ( B  MH*  A  /\  p  C_  ( A  vH  B ) ) )  /\  r  e. HAtoms
)  ->  p  C_  (
p  vH  r )
)
10 mdsymlem1.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e. 
CH
11 mdsymlem1.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( A  vH  p
)
1210, 1, 11mdsymlem1 25979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  CH  /\  ( B  i^i  C
)  C_  A )  /\  ( B  MH*  A  /\  p  C_  ( A  vH  B ) ) )  ->  p  C_  A
)
134, 12sylanl1 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  ( B  MH*  A  /\  p  C_  ( A  vH  B
) ) )  ->  p  C_  A )
1413adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  ( B  i^i  C
)  C_  A )  /\  ( B  MH*  A  /\  p  C_  ( A  vH  B ) ) )  /\  r  e. HAtoms
)  ->  p  C_  A
)
159, 14jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  ( B  i^i  C
)  C_  A )  /\  ( B  MH*  A  /\  p  C_  ( A  vH  B ) ) )  /\  r  e. HAtoms
)  ->  ( p  C_  ( p  vH  r
)  /\  p  C_  A
) )
1615anim1i 568 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  ( B  MH*  A  /\  p  C_  ( A  vH  B ) ) )  /\  r  e. HAtoms
)  /\  r  C_  B )  ->  (
( p  C_  (
p  vH  r )  /\  p  C_  A )  /\  r  C_  B
) )
17 anass 649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  C_  (
p  vH  r )  /\  p  C_  A )  /\  r  C_  B
)  <->  ( p  C_  ( p  vH  r
)  /\  ( p  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
1816, 17sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  ( B  MH*  A  /\  p  C_  ( A  vH  B ) ) )  /\  r  e. HAtoms
)  /\  r  C_  B )  ->  (
p  C_  ( p  vH  r )  /\  (
p  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
1918anasss 647 . . . . 5  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  ( B  i^i  C
)  C_  A )  /\  ( B  MH*  A  /\  p  C_  ( A  vH  B ) ) )  /\  ( r  e. HAtoms  /\  r  C_  B
) )  ->  (
p  C_  ( p  vH  r )  /\  (
p  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
20 oveq1 6210 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  p  ->  (
q  vH  r )  =  ( p  vH  r ) )
2120sseq2d 3495 . . . . . . 7  |-  ( q  =  p  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  <->  p  C_  (
p  vH  r )
) )
22 sseq1 3488 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  p  ->  (
q  C_  A  <->  p  C_  A
) )
2322anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( q  =  p  ->  (
( q  C_  A  /\  r  C_  B )  <-> 
( p  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
2421, 23anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( q  =  p  ->  (
( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  <->  ( p  C_  ( p  vH  r
)  /\  ( p  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) )
2524rspcev 3179 . . . . 5  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
p  C_  ( p  vH  r )  /\  (
p  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
263, 19, 25syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  ( B  i^i  C
)  C_  A )  /\  ( B  MH*  A  /\  p  C_  ( A  vH  B ) ) )  /\  ( r  e. HAtoms  /\  r  C_  B
) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
2726exp32 605 . . 3  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  ( B  MH*  A  /\  p  C_  ( A  vH  B
) ) )  -> 
( r  e. HAtoms  ->  ( r  C_  B  ->  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
2827reximdvai 2932 . 2  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  ( B  MH*  A  /\  p  C_  ( A  vH  B
) ) )  -> 
( E. r  e. HAtoms  r  C_  B  ->  E. r  e. HAtoms  E. q  e. HAtoms  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) )
292, 28syl5 32 1  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  ( B  MH*  A  /\  p  C_  ( A  vH  B
) ) )  -> 
( B  =/=  0H  ->  E. r  e. HAtoms  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   E.wrex 2800    i^i cin 3438    C_ wss 3439   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   CHcch 24503    vH chj 24507   0Hc0h 24509  HAtomscat 24539    MH* cdmd 24541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cc 8718  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476  ax-hilex 24573  ax-hfvadd 24574  ax-hvcom 24575  ax-hvass 24576  ax-hv0cl 24577  ax-hvaddid 24578  ax-hfvmul 24579  ax-hvmulid 24580  ax-hvmulass 24581  ax-hvdistr1 24582  ax-hvdistr2 24583  ax-hvmul0 24584  ax-hfi 24653  ax-his1 24656  ax-his2 24657  ax-his3 24658  ax-his4 24659  ax-hcompl 24776
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-acn 8226  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-lm 18968  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cfil 20901  df-cau 20902  df-cmet 20903  df-grpo 23850  df-gid 23851  df-ginv 23852  df-gdiv 23853  df-ablo 23941  df-subgo 23961  df-vc 24096  df-nv 24142  df-va 24145  df-ba 24146  df-sm 24147  df-0v 24148  df-vs 24149  df-nmcv 24150  df-ims 24151  df-dip 24268  df-ssp 24292  df-ph 24385  df-cbn 24436  df-hnorm 24542  df-hba 24543  df-hvsub 24545  df-hlim 24546  df-hcau 24547  df-sh 24781  df-ch 24796  df-oc 24827  df-ch0 24828  df-shs 24883  df-span 24884  df-chj 24885  df-cv 25855  df-dmd 25857  df-at 25914
This theorem is referenced by:  mdsymlem4  25982
  Copyright terms: Public domain W3C validator