HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1lem4 Structured version   Unicode version

Theorem mdslmd1lem4 27646
Description: Lemma for mdslmd1i 27647. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1  |-  A  e. 
CH
mdslmd.2  |-  B  e. 
CH
mdslmd.3  |-  C  e. 
CH
mdslmd.4  |-  D  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
mdslmd1lem4  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A
)  /\  ( ( A  C_  C  /\  A  C_  D )  /\  ( C  C_  ( A  vH  B )  /\  D  C_  ( A  vH  B
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  i^i  B
)  C_  ( D  i^i  B )  ->  (
( ( x  i^i 
B )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) )  C_  (
( x  i^i  B
)  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) ) )  ->  ( ( ( C  i^i  D ) 
C_  x  /\  x  C_  D )  ->  (
( x  vH  C
)  i^i  D )  C_  ( x  vH  ( C  i^i  D ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, D

Proof of Theorem mdslmd1lem4
StepHypRef Expression
1 ineq1 3633 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
x  i^i  B )  =  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B ) )
21sseq1d 3468 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( x  i^i  B
)  C_  ( D  i^i  B )  <->  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B )  C_  ( D  i^i  B ) ) )
31oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( x  i^i  B
)  vH  ( C  i^i  B ) )  =  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B )  vH  ( C  i^i  B ) ) )
43ineq1d 3639 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( x  i^i 
B )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) )  =  ( ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) ) )
51oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( x  i^i  B
)  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) )  =  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B )  vH  (
( C  i^i  B
)  i^i  ( D  i^i  B ) ) ) )
64, 5sseq12d 3470 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( ( x  i^i  B )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  ( ( x  i^i  B )  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) )  <->  ( ( ( if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  i^i  B
)  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B
) )  C_  (
( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B
)  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) ) ) )
72, 6imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( x  i^i 
B )  C_  ( D  i^i  B )  -> 
( ( ( x  i^i  B )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  ( ( x  i^i  B )  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) ) )  <->  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B )  C_  ( D  i^i  B )  ->  ( ( ( if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  i^i  B
)  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B
) )  C_  (
( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B
)  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) ) ) ) )
8 sseq2 3463 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( C  i^i  D
)  C_  x  <->  ( C  i^i  D )  C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )
) )
9 sseq1 3462 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
x  C_  D  <->  if (
x  e.  CH ,  x ,  0H )  C_  D ) )
108, 9anbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( C  i^i  D )  C_  x  /\  x  C_  D )  <->  ( ( C  i^i  D )  C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  C_  D
) ) )
11 oveq1 6284 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
x  vH  C )  =  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  C ) )
1211ineq1d 3639 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( x  vH  C
)  i^i  D )  =  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  C )  i^i 
D ) )
13 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
x  vH  ( C  i^i  D ) )  =  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( C  i^i  D ) ) )
1412, 13sseq12d 3470 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( x  vH  C )  i^i  D
)  C_  ( x  vH  ( C  i^i  D
) )  <->  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  C )  i^i 
D )  C_  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( C  i^i  D ) ) ) )
1510, 14imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( ( C  i^i  D )  C_  x  /\  x  C_  D
)  ->  ( (
x  vH  C )  i^i  D )  C_  (
x  vH  ( C  i^i  D ) ) )  <-> 
( ( ( C  i^i  D )  C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  C_  D
)  ->  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  C )  i^i 
D )  C_  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( C  i^i  D ) ) ) ) )
167, 15imbi12d 318 . . . 4  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( ( x  i^i  B )  C_  ( D  i^i  B )  ->  ( ( ( x  i^i  B )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  ( ( x  i^i  B )  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) ) )  ->  (
( ( C  i^i  D )  C_  x  /\  x  C_  D )  -> 
( ( x  vH  C )  i^i  D
)  C_  ( x  vH  ( C  i^i  D
) ) ) )  <-> 
( ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B )  C_  ( D  i^i  B )  ->  ( ( ( if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  i^i  B
)  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B
) )  C_  (
( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B
)  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) ) )  ->  ( ( ( C  i^i  D ) 
C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  C_  D )  ->  (
( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  C
)  i^i  D )  C_  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( C  i^i  D ) ) ) ) ) )
1716imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A )  /\  (
( A  C_  C  /\  A  C_  D )  /\  ( C  C_  ( A  vH  B )  /\  D  C_  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
( ( x  i^i 
B )  C_  ( D  i^i  B )  -> 
( ( ( x  i^i  B )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  ( ( x  i^i  B )  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) ) )  ->  (
( ( C  i^i  D )  C_  x  /\  x  C_  D )  -> 
( ( x  vH  C )  i^i  D
)  C_  ( x  vH  ( C  i^i  D
) ) ) ) )  <->  ( ( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A )  /\  ( ( A  C_  C  /\  A  C_  D
)  /\  ( C  C_  ( A  vH  B
)  /\  D  C_  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B )  C_  ( D  i^i  B )  -> 
( ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B )  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) ) )  ->  (
( ( C  i^i  D )  C_  if (
x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  C_  D
)  ->  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  C )  i^i 
D )  C_  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( C  i^i  D ) ) ) ) ) ) )
18 mdslmd.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
19 mdslmd.2 . . . 4  |-  B  e. 
CH
20 mdslmd.3 . . . 4  |-  C  e. 
CH
21 mdslmd.4 . . . 4  |-  D  e. 
CH
22 h0elch 26573 . . . . 5  |-  0H  e.  CH
2322elimel 3946 . . . 4  |-  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  e.  CH
2418, 19, 20, 21, 23mdslmd1lem2 27644 . . 3  |-  ( ( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A )  /\  ( ( A 
C_  C  /\  A  C_  D )  /\  ( C  C_  ( A  vH  B )  /\  D  C_  ( A  vH  B
) ) ) )  ->  ( ( ( if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  i^i  B
)  C_  ( D  i^i  B )  ->  (
( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) )  C_  (
( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  i^i  B
)  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) ) )  ->  ( ( ( C  i^i  D ) 
C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  C_  D )  ->  (
( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  C
)  i^i  D )  C_  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( C  i^i  D ) ) ) ) )
2517, 24dedth 3935 . 2  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A
)  /\  ( ( A  C_  C  /\  A  C_  D )  /\  ( C  C_  ( A  vH  B )  /\  D  C_  ( A  vH  B
) ) ) )  ->  ( ( ( x  i^i  B ) 
C_  ( D  i^i  B )  ->  ( (
( x  i^i  B
)  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B
) )  C_  (
( x  i^i  B
)  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) ) )  ->  ( ( ( C  i^i  D ) 
C_  x  /\  x  C_  D )  ->  (
( x  vH  C
)  i^i  D )  C_  ( x  vH  ( C  i^i  D ) ) ) ) ) )
2625imp 427 1  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A
)  /\  ( ( A  C_  C  /\  A  C_  D )  /\  ( C  C_  ( A  vH  B )  /\  D  C_  ( A  vH  B
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  i^i  B
)  C_  ( D  i^i  B )  ->  (
( ( x  i^i 
B )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) )  C_  (
( x  i^i  B
)  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) ) )  ->  ( ( ( C  i^i  D ) 
C_  x  /\  x  C_  D )  ->  (
( x  vH  C
)  i^i  D )  C_  ( x  vH  ( C  i^i  D ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    i^i cin 3412    C_ wss 3413   ifcif 3884   class class class wbr 4394  (class class class)co 6277   CHcch 26246    vH chj 26250   0Hc0h 26252    MH cmd 26283    MH* cdmd 26284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cc 8846  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601  ax-hilex 26316  ax-hfvadd 26317  ax-hvcom 26318  ax-hvass 26319  ax-hv0cl 26320  ax-hvaddid 26321  ax-hfvmul 26322  ax-hvmulid 26323  ax-hvmulass 26324  ax-hvdistr1 26325  ax-hvdistr2 26326  ax-hvmul0 26327  ax-hfi 26396  ax-his1 26399  ax-his2 26400  ax-his3 26401  ax-his4 26402  ax-hcompl 26519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-lm 20021  df-haus 20107  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cfil 21984  df-cau 21985  df-cmet 21986  df-grpo 25593  df-gid 25594  df-ginv 25595  df-gdiv 25596  df-ablo 25684  df-subgo 25704  df-vc 25839  df-nv 25885  df-va 25888  df-ba 25889  df-sm 25890  df-0v 25891  df-vs 25892  df-nmcv 25893  df-ims 25894  df-dip 26011  df-ssp 26035  df-ph 26128  df-cbn 26179  df-hnorm 26285  df-hba 26286  df-hvsub 26288  df-hlim 26289  df-hcau 26290  df-sh 26524  df-ch 26539  df-oc 26570  df-ch0 26571  df-shs 26626  df-chj 26628  df-md 27598  df-dmd 27599
This theorem is referenced by:  mdslmd1i  27647
  Copyright terms: Public domain W3C validator