HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1lem3 Structured version   Unicode version

Theorem mdslmd1lem3 25746
Description: Lemma for mdslmd1i 25748. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1  |-  A  e. 
CH
mdslmd.2  |-  B  e. 
CH
mdslmd.3  |-  C  e. 
CH
mdslmd.4  |-  D  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
mdslmd1lem3  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A
)  /\  ( ( A  C_  C  /\  A  C_  D )  /\  ( C  C_  ( A  vH  B )  /\  D  C_  ( A  vH  B
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  vH  A
)  C_  D  ->  ( ( ( x  vH  A )  vH  C
)  i^i  D )  C_  ( ( x  vH  A )  vH  ( C  i^i  D ) ) )  ->  ( (
( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  x  /\  x  C_  ( D  i^i  B
) )  ->  (
( x  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) )  C_  (
x  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, D

Proof of Theorem mdslmd1lem3
StepHypRef Expression
1 oveq1 6113 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
x  vH  A )  =  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A ) )
21sseq1d 3398 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( x  vH  A
)  C_  D  <->  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A )  C_  D
) )
31oveq1d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( x  vH  A
)  vH  C )  =  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A )  vH  C ) )
43ineq1d 3566 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( x  vH  A )  vH  C
)  i^i  D )  =  ( ( ( if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  vH  A
)  vH  C )  i^i  D ) )
51oveq1d 6121 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( x  vH  A
)  vH  ( C  i^i  D ) )  =  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A )  vH  ( C  i^i  D ) ) )
64, 5sseq12d 3400 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( ( x  vH  A )  vH  C )  i^i  D
)  C_  ( (
x  vH  A )  vH  ( C  i^i  D
) )  <->  ( (
( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A
)  vH  C )  i^i  D )  C_  (
( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A
)  vH  ( C  i^i  D ) ) ) )
72, 6imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( x  vH  A )  C_  D  ->  ( ( ( x  vH  A )  vH  C )  i^i  D
)  C_  ( (
x  vH  A )  vH  ( C  i^i  D
) ) )  <->  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A )  C_  D  ->  ( ( ( if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  vH  A
)  vH  C )  i^i  D )  C_  (
( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A
)  vH  ( C  i^i  D ) ) ) ) )
8 sseq2 3393 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  x  <->  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) )  C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )
) )
9 sseq1 3392 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
x  C_  ( D  i^i  B )  <->  if (
x  e.  CH ,  x ,  0H )  C_  ( D  i^i  B
) ) )
108, 9anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) )  C_  x  /\  x  C_  ( D  i^i  B ) )  <-> 
( ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) )  C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  C_  ( D  i^i  B ) ) ) )
11 oveq1 6113 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
x  vH  ( C  i^i  B ) )  =  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( C  i^i  B ) ) )
1211ineq1d 3566 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( x  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) )  =  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) ) )
13 oveq1 6113 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
x  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) )  =  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  (
( C  i^i  B
)  i^i  ( D  i^i  B ) ) ) )
1412, 13sseq12d 3400 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( x  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  ( x  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) )  <->  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) ) ) )
1510, 14imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) )  C_  x  /\  x  C_  ( D  i^i  B ) )  ->  ( ( x  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  ( x  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) ) )  <->  ( (
( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  C_  ( D  i^i  B
) )  ->  (
( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) )  C_  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) ) ) ) )
167, 15imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( ( x  vH  A )  C_  D  ->  ( ( ( x  vH  A )  vH  C )  i^i 
D )  C_  (
( x  vH  A
)  vH  ( C  i^i  D ) ) )  ->  ( ( ( ( C  i^i  B
)  i^i  ( D  i^i  B ) )  C_  x  /\  x  C_  ( D  i^i  B ) )  ->  ( ( x  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  ( x  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) ) ) )  <->  ( (
( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A
)  C_  D  ->  ( ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A )  vH  C
)  i^i  D )  C_  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A )  vH  ( C  i^i  D ) ) )  ->  ( (
( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  C_  ( D  i^i  B
) )  ->  (
( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) )  C_  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) ) ) ) ) )
1716imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A )  /\  (
( A  C_  C  /\  A  C_  D )  /\  ( C  C_  ( A  vH  B )  /\  D  C_  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
( ( x  vH  A )  C_  D  ->  ( ( ( x  vH  A )  vH  C )  i^i  D
)  C_  ( (
x  vH  A )  vH  ( C  i^i  D
) ) )  -> 
( ( ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) )  C_  x  /\  x  C_  ( D  i^i  B ) )  ->  ( ( x  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  ( x  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A )  /\  (
( A  C_  C  /\  A  C_  D )  /\  ( C  C_  ( A  vH  B )  /\  D  C_  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A )  C_  D  ->  ( ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A )  vH  C )  i^i  D
)  C_  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A )  vH  ( C  i^i  D ) ) )  ->  (
( ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) )  C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  C_  ( D  i^i  B ) )  ->  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) ) ) ) ) ) )
18 mdslmd.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
19 mdslmd.2 . . . 4  |-  B  e. 
CH
20 mdslmd.3 . . . 4  |-  C  e. 
CH
21 mdslmd.4 . . . 4  |-  D  e. 
CH
22 h0elch 24673 . . . . 5  |-  0H  e.  CH
2322elimel 3867 . . . 4  |-  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  e.  CH
2418, 19, 20, 21, 23mdslmd1lem1 25744 . . 3  |-  ( ( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A )  /\  ( ( A 
C_  C  /\  A  C_  D )  /\  ( C  C_  ( A  vH  B )  /\  D  C_  ( A  vH  B
) ) ) )  ->  ( ( ( if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  vH  A
)  C_  D  ->  ( ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A )  vH  C
)  i^i  D )  C_  ( ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  A )  vH  ( C  i^i  D ) ) )  ->  ( (
( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  C_  ( D  i^i  B
) )  ->  (
( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) )  C_  ( if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) ) ) ) )
2517, 24dedth 3856 . 2  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A
)  /\  ( ( A  C_  C  /\  A  C_  D )  /\  ( C  C_  ( A  vH  B )  /\  D  C_  ( A  vH  B
) ) ) )  ->  ( ( ( x  vH  A ) 
C_  D  ->  (
( ( x  vH  A )  vH  C
)  i^i  D )  C_  ( ( x  vH  A )  vH  ( C  i^i  D ) ) )  ->  ( (
( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  x  /\  x  C_  ( D  i^i  B
) )  ->  (
( x  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) )  C_  (
x  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) ) ) ) ) )
2625imp 429 1  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A
)  /\  ( ( A  C_  C  /\  A  C_  D )  /\  ( C  C_  ( A  vH  B )  /\  D  C_  ( A  vH  B
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  vH  A
)  C_  D  ->  ( ( ( x  vH  A )  vH  C
)  i^i  D )  C_  ( ( x  vH  A )  vH  ( C  i^i  D ) ) )  ->  ( (
( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B ) ) 
C_  x  /\  x  C_  ( D  i^i  B
) )  ->  (
( x  vH  ( C  i^i  B ) )  i^i  ( D  i^i  B ) )  C_  (
x  vH  ( ( C  i^i  B )  i^i  ( D  i^i  B
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3342    C_ wss 3343   ifcif 3806   class class class wbr 4307  (class class class)co 6106   CHcch 24346    vH chj 24350   0Hc0h 24352    MH cmd 24383    MH* cdmd 24384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cc 8619  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375  ax-addf 9376  ax-mulf 9377  ax-hilex 24416  ax-hfvadd 24417  ax-hvcom 24418  ax-hvass 24419  ax-hv0cl 24420  ax-hvaddid 24421  ax-hfvmul 24422  ax-hvmulid 24423  ax-hvmulass 24424  ax-hvdistr1 24425  ax-hvdistr2 24426  ax-hvmul0 24427  ax-hfi 24496  ax-his1 24499  ax-his2 24500  ax-his3 24501  ax-his4 24502  ax-hcompl 24619
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-omul 6940  df-er 7116  df-map 7231  df-pm 7232  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-fi 7676  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-acn 8127  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-ioo 11319  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-seq 11822  df-exp 11881  df-hash 12119  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-clim 12981  df-rlim 12982  df-sum 13179  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-starv 14268  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-unif 14276  df-hom 14277  df-cco 14278  df-rest 14376  df-topn 14377  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-topgen 14397  df-pt 14398  df-prds 14401  df-xrs 14455  df-qtop 14460  df-imas 14461  df-xps 14463  df-mre 14539  df-mrc 14540  df-acs 14542  df-mnd 15430  df-submnd 15480  df-mulg 15563  df-cntz 15850  df-cmn 16294  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-fbas 17829  df-fg 17830  df-cnfld 17834  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717  df-cn 18846  df-cnp 18847  df-lm 18848  df-haus 18934  df-tx 19150  df-hmeo 19343  df-fil 19434  df-fm 19526  df-flim 19527  df-flf 19528  df-xms 19910  df-ms 19911  df-tms 19912  df-cfil 20781  df-cau 20782  df-cmet 20783  df-grpo 23693  df-gid 23694  df-ginv 23695  df-gdiv 23696  df-ablo 23784  df-subgo 23804  df-vc 23939  df-nv 23985  df-va 23988  df-ba 23989  df-sm 23990  df-0v 23991  df-vs 23992  df-nmcv 23993  df-ims 23994  df-dip 24111  df-ssp 24135  df-ph 24228  df-cbn 24279  df-hnorm 24385  df-hba 24386  df-hvsub 24388  df-hlim 24389  df-hcau 24390  df-sh 24624  df-ch 24639  df-oc 24670  df-ch0 24671  df-shs 24726  df-chj 24728  df-md 25699  df-dmd 25700
This theorem is referenced by:  mdslmd1i  25748
  Copyright terms: Public domain W3C validator