Theorem mdslj2i 25746

Description: Meet preservation of the reverse mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdslle1.1	|- A e. CH
mdslle1.2	|- B e. CH
mdslle1.3	|- C e. CH
mdslle1.4	|- D e. CH

Assertion

Ref	Expression
mdslj2i	|- ( ( ( A MH B /\ B MH* A ) /\ ( ( A i^i B ) C_ ( C i^i D ) /\ ( C vH D ) C_ B ) ) -> ( ( C i^i D ) vH A ) = ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) )

Proof of Theorem mdslj2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdslle1.3	. . . 4 |- C e. CH
2		mdslle1.4	. . . 4 |- D e. CH
3		mdslle1.1	. . . 4 |- A e. CH
4	1, 2, 3	lejdiri 24964	. . 3 |- ( ( C i^i D ) vH A ) C_ ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) )
5	4	a1i 11	. 2 |- ( ( ( A MH B /\ B MH* A ) /\ ( ( A i^i B ) C_ ( C i^i D ) /\ ( C vH D ) C_ B ) ) -> ( ( C i^i D ) vH A ) C_ ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) )
6		ssin 3593	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) <-> ( A i^i B ) C_ ( C i^i D ) )
7	6	bicomi 202	. . . 4 |- ( ( A i^i B ) C_ ( C i^i D ) <-> ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) )
8		mdslle1.2	. . . . . 6 |- B e. CH
9	1, 2, 8	chlubi 24896	. . . . 5 |- ( ( C C_ B /\ D C_ B ) <-> ( C vH D ) C_ B )
10	9	bicomi 202	. . . 4 |- ( ( C vH D ) C_ B <-> ( C C_ B /\ D C_ B ) )
11	7, 10	anbi12i 697	. . 3 |- ( ( ( A i^i B ) C_ ( C i^i D ) /\ ( C vH D ) C_ B ) <-> ( ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) /\ ( C C_ B /\ D C_ B ) ) )
12		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( A MH B /\ B MH* A ) -> B MH* A )
13	3, 1	chub2i 24895	. . . . . . . 8 |- A C_ ( C vH A )
14	3, 2	chub2i 24895	. . . . . . . 8 |- A C_ ( D vH A )
15	13, 14	ssini 3594	. . . . . . 7 |- A C_ ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) )
16	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) -> A C_ ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) )
17	1, 8, 3	chlej1i 24898	. . . . . . . . 9 |- ( C C_ B -> ( C vH A ) C_ ( B vH A ) )
18	8, 3	chjcomi 24893	. . . . . . . . 9 |- ( B vH A ) = ( A vH B )
19	17, 18	syl6sseq 3423	. . . . . . . 8 |- ( C C_ B -> ( C vH A ) C_ ( A vH B ) )
20		ssinss1 3599	. . . . . . . 8 |- ( ( C vH A ) C_ ( A vH B ) -> ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) C_ ( A vH B ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . 7 |- ( C C_ B -> ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) C_ ( A vH B ) )
22	21	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( C C_ B /\ D C_ B ) -> ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) C_ ( A vH B ) )
23	1, 3	chjcli 24882	. . . . . . . . 9 |- ( C vH A ) e. CH
24	2, 3	chjcli 24882	. . . . . . . . 9 |- ( D vH A ) e. CH
25	23, 24	chincli 24885	. . . . . . . 8 |- ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) e. CH
26	3, 8, 25	3pm3.2i 1166	. . . . . . 7 |- ( A e. CH /\ B e. CH /\ ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) e. CH )
27		dmdsl3 25741	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) e. CH ) /\ ( B MH* A /\ A C_ ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) /\ ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) C_ ( A vH B ) ) ) -> ( ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) i^i B ) vH A ) = ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) )
28	26, 27	mpan 670	. . . . . 6 |- ( ( B MH* A /\ A C_ ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) /\ ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) C_ ( A vH B ) ) -> ( ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) i^i B ) vH A ) = ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) )
29	12, 16, 22, 28	syl3an 1260	. . . . 5 |- ( ( ( A MH B /\ B MH* A ) /\ ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) /\ ( C C_ B /\ D C_ B ) ) -> ( ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) i^i B ) vH A ) = ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) )
30		inss1 3591	. . . . . . . . 9 |- ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) C_ ( C vH A )
31		ssrin 3596	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) C_ ( C vH A ) -> ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B )
33		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( A MH B /\ B MH* A ) -> A MH B )
34		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) -> ( A i^i B ) C_ C )
35		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( C C_ B /\ D C_ B ) -> C C_ B )
36	3, 8, 1	3pm3.2i 1166	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH )
37		mdsl3 25742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH ) /\ ( A MH B /\ ( A i^i B ) C_ C /\ C C_ B ) ) -> ( ( C vH A ) i^i B ) = C )
38	36, 37	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( A MH B /\ ( A i^i B ) C_ C /\ C C_ B ) -> ( ( C vH A ) i^i B ) = C )
39	33, 34, 35, 38	syl3an 1260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A MH B /\ B MH* A ) /\ ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) /\ ( C C_ B /\ D C_ B ) ) -> ( ( C vH A ) i^i B ) = C )
40	32, 39	syl5sseq 3425	. . . . . . 7 |- ( ( ( A MH B /\ B MH* A ) /\ ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) /\ ( C C_ B /\ D C_ B ) ) -> ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) i^i B ) C_ C )
41		inss2 3592	. . . . . . . . 9 |- ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) C_ ( D vH A )
42		ssrin 3596	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) C_ ( D vH A ) -> ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) i^i B ) C_ ( ( D vH A ) i^i B ) )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) i^i B ) C_ ( ( D vH A ) i^i B )
44		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) -> ( A i^i B ) C_ D )
45		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( C C_ B /\ D C_ B ) -> D C_ B )
46	3, 8, 2	3pm3.2i 1166	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CH /\ B e. CH /\ D e. CH )
47		mdsl3 25742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ D e. CH ) /\ ( A MH B /\ ( A i^i B ) C_ D /\ D C_ B ) ) -> ( ( D vH A ) i^i B ) = D )
48	46, 47	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( A MH B /\ ( A i^i B ) C_ D /\ D C_ B ) -> ( ( D vH A ) i^i B ) = D )
49	33, 44, 45, 48	syl3an 1260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A MH B /\ B MH* A ) /\ ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) /\ ( C C_ B /\ D C_ B ) ) -> ( ( D vH A ) i^i B ) = D )
50	43, 49	syl5sseq 3425	. . . . . . 7 |- ( ( ( A MH B /\ B MH* A ) /\ ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) /\ ( C C_ B /\ D C_ B ) ) -> ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) i^i B ) C_ D )
51	40, 50	ssind 3595	. . . . . 6 |- ( ( ( A MH B /\ B MH* A ) /\ ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) /\ ( C C_ B /\ D C_ B ) ) -> ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) i^i B ) C_ ( C i^i D ) )
52	25, 8	chincli 24885	. . . . . . 7 |- ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) i^i B ) e. CH
53	1, 2	chincli 24885	. . . . . . 7 |- ( C i^i D ) e. CH
54	52, 53, 3	chlej1i 24898	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) i^i B ) C_ ( C i^i D ) -> ( ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) i^i B ) vH A ) C_ ( ( C i^i D ) vH A ) )
55	51, 54	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( A MH B /\ B MH* A ) /\ ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) /\ ( C C_ B /\ D C_ B ) ) -> ( ( ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) i^i B ) vH A ) C_ ( ( C i^i D ) vH A ) )
56	29, 55	eqsstr3d 3412	. . . 4 |- ( ( ( A MH B /\ B MH* A ) /\ ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) /\ ( C C_ B /\ D C_ B ) ) -> ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) C_ ( ( C i^i D ) vH A ) )
57	56	3expb 1188	. . 3 |- ( ( ( A MH B /\ B MH* A ) /\ ( ( ( A i^i B ) C_ C /\ ( A i^i B ) C_ D ) /\ ( C C_ B /\ D C_ B ) ) ) -> ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) C_ ( ( C i^i D ) vH A ) )
58	11, 57	sylan2b 475	. 2 |- ( ( ( A MH B /\ B MH* A ) /\ ( ( A i^i B ) C_ ( C i^i D ) /\ ( C vH D ) C_ B ) ) -> ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) C_ ( ( C i^i D ) vH A ) )
59	5, 58	eqssd 3394	1 |- ( ( ( A MH B /\ B MH* A ) /\ ( ( A i^i B ) C_ ( C i^i D ) /\ ( C vH D ) C_ B ) ) -> ( ( C i^i D ) vH A ) = ( ( C vH A ) i^i ( D vH A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   i^i cin 3348   C_ wss 3349   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   CHcch 24353   vH chj 24357   MH cmd 24390   MH* cdmd 24391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cc 8625  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383  ax-hilex 24423  ax-hfvadd 24424  ax-hvcom 24425  ax-hvass 24426  ax-hv0cl 24427  ax-hvaddid 24428  ax-hfvmul 24429  ax-hvmulid 24430  ax-hvmulass 24431  ax-hvdistr1 24432  ax-hvdistr2 24433  ax-hvmul0 24434  ax-hfi 24503  ax-his1 24506  ax-his2 24507  ax-his3 24508  ax-his4 24509  ax-hcompl 24626

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-lm 18855  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cfil 20788  df-cau 20789  df-cmet 20790  df-grpo 23700  df-gid 23701  df-ginv 23702  df-gdiv 23703  df-ablo 23791  df-subgo 23811  df-vc 23946  df-nv 23992  df-va 23995  df-ba 23996  df-sm 23997  df-0v 23998  df-vs 23999  df-nmcv 24000  df-ims 24001  df-dip 24118  df-ssp 24142  df-ph 24235  df-cbn 24286  df-hnorm 24392  df-hba 24393  df-hvsub 24395  df-hlim 24396  df-hcau 24397  df-sh 24631  df-ch 24646  df-oc 24677  df-ch0 24678  df-shs 24733  df-chj 24735  df-md 25706  df-dmd 25707

This theorem is referenced by: (None)