Theorem mdslj2i 11892

Description: Meet preservation of the reverse mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2.

Hypotheses

Ref	Expression
mdslle1.1	|- A e. CH
mdslle1.2	|- B e. CH
mdslle1.3	|- C e. CH
mdslle1.4	|- D e. CH

Assertion

Ref	Expression
mdslj2i	|- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ (C i^i D) /\ (C vH D) C_ B)) -> ((C i^i D) vH A) = ((C vH A) i^i (D vH A)))

Proof of Theorem mdslj2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdslle1.3	. . . 4 |- C e. CH
2		mdslle1.4	. . . 4 |- D e. CH
3		mdslle1.1	. . . 4 |- A e. CH
4	1, 2, 3	lejdiri 11095	. . 3 |- ((C i^i D) vH A) C_ ((C vH A) i^i (D vH A))
5	4	a1i 8	. 2 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ (C i^i D) /\ (C vH D) C_ B)) -> ((C i^i D) vH A) C_ ((C vH A) i^i (D vH A)))
6		mdslle1.2	. . . . . . . 8 |- B e. CH
7	1, 3	chjcli 11013	. . . . . . . . 9 |- (C vH A) e. CH
8	2, 3	chjcli 11013	. . . . . . . . 9 |- (D vH A) e. CH
9	7, 8	chincli 11016	. . . . . . . 8 |- ((C vH A) i^i (D vH A)) e. CH
10	3, 6, 9	3pm3.2i 1048	. . . . . . 7 |- (A e. CH /\ B e. CH /\ ((C vH A) i^i (D vH A)) e. CH)
11		dmdsl3 11887	. . . . . . 7 |- (((A e. CH /\ B e. CH /\ ((C vH A) i^i (D vH A)) e. CH) /\ (B MH* A /\ A C_ ((C vH A) i^i (D vH A)) /\ ((C vH A) i^i (D vH A)) C_ (A vH B))) -> ((((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) vH A) = ((C vH A) i^i (D vH A)))
12	10, 11	mpan 759	. . . . . 6 |- ((B MH* A /\ A C_ ((C vH A) i^i (D vH A)) /\ ((C vH A) i^i (D vH A)) C_ (A vH B)) -> ((((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) vH A) = ((C vH A) i^i (D vH A)))
13		simpr 350	. . . . . 6 |- ((A MH B /\ B MH* A) -> B MH* A)
14	3, 1	chub2i 11026	. . . . . . . 8 |- A C_ (C vH A)
15	3, 2	chub2i 11026	. . . . . . . 8 |- A C_ (D vH A)
16	14, 15	ssini 2816	. . . . . . 7 |- A C_ ((C vH A) i^i (D vH A))
17	16	a1i 8	. . . . . 6 |- (((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) -> A C_ ((C vH A) i^i (D vH A)))
18	1, 6, 3	chlej1i 11029	. . . . . . . . 9 |- (C C_ B -> (C vH A) C_ (B vH A))
19	6, 3	chjcomi 11024	. . . . . . . . 9 |- (B vH A) = (A vH B)
20	18, 19	syl6ss 2663	. . . . . . . 8 |- (C C_ B -> (C vH A) C_ (A vH B))
21		ssinss1 2821	. . . . . . . 8 |- ((C vH A) C_ (A vH B) -> ((C vH A) i^i (D vH A)) C_ (A vH B))
22	20, 21	syl 12	. . . . . . 7 |- (C C_ B -> ((C vH A) i^i (D vH A)) C_ (A vH B))
23	22	adantr 425	. . . . . 6 |- ((C C_ B /\ D C_ B) -> ((C vH A) i^i (D vH A)) C_ (A vH B))
24	12, 13, 17, 23	syl3an 1139	. . . . 5 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) /\ (C C_ B /\ D C_ B)) -> ((((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) vH A) = ((C vH A) i^i (D vH A)))
25		inss1 2812	. . . . . . . . . . 11 |- ((C vH A) i^i (D vH A)) C_ (C vH A)
26		ssrin 2817	. . . . . . . . . . 11 |- (((C vH A) i^i (D vH A)) C_ (C vH A) -> (((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ ((C vH A) i^i B))
27	25, 26	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ ((C vH A) i^i B)
28	27	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) /\ (C C_ B /\ D C_ B)) -> (((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ ((C vH A) i^i B))
29	3, 6, 1	3pm3.2i 1048	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH)
30		mdsl3 11888	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) /\ (A MH B /\ (A i^i B) C_ C /\ C C_ B)) -> ((C vH A) i^i B) = C)
31	29, 30	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- ((A MH B /\ (A i^i B) C_ C /\ C C_ B) -> ((C vH A) i^i B) = C)
32		simpl 346	. . . . . . . . . 10 |- ((A MH B /\ B MH* A) -> A MH B)
33		simpl 346	. . . . . . . . . 10 |- (((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) -> (A i^i B) C_ C)
34		simpl 346	. . . . . . . . . 10 |- ((C C_ B /\ D C_ B) -> C C_ B)
35	31, 32, 33, 34	syl3an 1139	. . . . . . . . 9 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) /\ (C C_ B /\ D C_ B)) -> ((C vH A) i^i B) = C)
36	28, 35	sseqtrd 2653	. . . . . . . 8 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) /\ (C C_ B /\ D C_ B)) -> (((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ C)
37		inss2 2813	. . . . . . . . . . 11 |- ((C vH A) i^i (D vH A)) C_ (D vH A)
38		ssrin 2817	. . . . . . . . . . 11 |- (((C vH A) i^i (D vH A)) C_ (D vH A) -> (((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ ((D vH A) i^i B))
39	37, 38	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ ((D vH A) i^i B)
40	39	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) /\ (C C_ B /\ D C_ B)) -> (((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ ((D vH A) i^i B))
41	3, 6, 2	3pm3.2i 1048	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CH /\ B e. CH /\ D e. CH)
42		mdsl3 11888	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CH /\ B e. CH /\ D e. CH) /\ (A MH B /\ (A i^i B) C_ D /\ D C_ B)) -> ((D vH A) i^i B) = D)
43	41, 42	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- ((A MH B /\ (A i^i B) C_ D /\ D C_ B) -> ((D vH A) i^i B) = D)
44		simpr 350	. . . . . . . . . 10 |- (((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) -> (A i^i B) C_ D)
45		simpr 350	. . . . . . . . . 10 |- ((C C_ B /\ D C_ B) -> D C_ B)
46	43, 32, 44, 45	syl3an 1139	. . . . . . . . 9 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) /\ (C C_ B /\ D C_ B)) -> ((D vH A) i^i B) = D)
47	40, 46	sseqtrd 2653	. . . . . . . 8 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) /\ (C C_ B /\ D C_ B)) -> (((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ D)
48	36, 47	jca 310	. . . . . . 7 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) /\ (C C_ B /\ D C_ B)) -> ((((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ C /\ (((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ D))
49		ssin 2814	. . . . . . 7 |- (((((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ C /\ (((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ D) <-> (((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ (C i^i D))
50	48, 49	sylib 215	. . . . . 6 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) /\ (C C_ B /\ D C_ B)) -> (((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ (C i^i D))
51	9, 6	chincli 11016	. . . . . . 7 |- (((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) e. CH
52	1, 2	chincli 11016	. . . . . . 7 |- (C i^i D) e. CH
53	51, 52, 3	chlej1i 11029	. . . . . 6 |- ((((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) C_ (C i^i D) -> ((((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) vH A) C_ ((C i^i D) vH A))
54	50, 53	syl 12	. . . . 5 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) /\ (C C_ B /\ D C_ B)) -> ((((C vH A) i^i (D vH A)) i^i B) vH A) C_ ((C i^i D) vH A))
55	24, 54	eqsstr3d 2652	. . . 4 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) /\ (C C_ B /\ D C_ B)) -> ((C vH A) i^i (D vH A)) C_ ((C i^i D) vH A))
56	55	3expb 1068	. . 3 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ (((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) /\ (C C_ B /\ D C_ B))) -> ((C vH A) i^i (D vH A)) C_ ((C i^i D) vH A))
57		ssin 2814	. . . . 5 |- (((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) <-> (A i^i B) C_ (C i^i D))
58	57	bicomi 189	. . . 4 |- ((A i^i B) C_ (C i^i D) <-> ((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D))
59	1, 2, 6	chlubi 11027	. . . . 5 |- ((C C_ B /\ D C_ B) <-> (C vH D) C_ B)
60	59	bicomi 189	. . . 4 |- ((C vH D) C_ B <-> (C C_ B /\ D C_ B))
61	58, 60	anbi12i 540	. . 3 |- (((A i^i B) C_ (C i^i D) /\ (C vH D) C_ B) <-> (((A i^i B) C_ C /\ (A i^i B) C_ D) /\ (C C_ B /\ D C_ B)))
62	56, 61	sylan2b 501	. 2 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ (C i^i D) /\ (C vH D) C_ B)) -> ((C vH A) i^i (D vH A)) C_ ((C i^i D) vH A))
63	5, 62	eqssd 2633	1 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ ((A i^i B) C_ (C i^i D) /\ (C vH D) C_ B)) -> ((C i^i D) vH A) = ((C vH A) i^i (D vH A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CHcch 10430   vH chj 10434   MH cmd 10467   MH* cdmd 10468

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-shsum 10906  df-chj 10908  df-md 11852  df-dmd 11853

Copyright terms: Public domain