HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsldmd1i Structured version   Unicode version

Theorem mdsldmd1i 27228
Description: Preservation of the dual modular pair property in the one-to-one onto mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1  |-  A  e. 
CH
mdslmd.2  |-  B  e. 
CH
mdslmd.3  |-  C  e. 
CH
mdslmd.4  |-  D  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
mdsldmd1i  |-  ( ( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A )  /\  ( A  C_  ( C  i^i  D )  /\  ( C  vH  D )  C_  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( C  MH*  D  <->  ( C  i^i  B )  MH*  ( D  i^i  B ) ) )

Proof of Theorem mdsldmd1i
StepHypRef Expression
1 mdslmd.1 . . . . 5  |-  A  e. 
CH
2 mdslmd.2 . . . . 5  |-  B  e. 
CH
3 mddmd 27198 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH  B  <->  ( _|_ `  A ) 
MH*  ( _|_ `  B
) ) )
41, 2, 3mp2an 672 . . . 4  |-  ( A  MH  B  <->  ( _|_ `  A )  MH*  ( _|_ `  B ) )
5 dmdmd 27197 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( B  MH*  A  <->  ( _|_ `  B )  MH  ( _|_ `  A
) ) )
62, 1, 5mp2an 672 . . . 4  |-  ( B 
MH*  A  <->  ( _|_ `  B
)  MH  ( _|_ `  A ) )
74, 6anbi12ci 698 . . 3  |-  ( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A )  <->  ( ( _|_ `  B )  MH  ( _|_ `  A
)  /\  ( _|_ `  A )  MH*  ( _|_ `  B ) ) )
8 mdslmd.3 . . . . . . 7  |-  C  e. 
CH
9 mdslmd.4 . . . . . . 7  |-  D  e. 
CH
108, 9chincli 26356 . . . . . 6  |-  ( C  i^i  D )  e. 
CH
111, 10chsscon3i 26357 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( C  i^i  D )  <->  ( _|_ `  ( C  i^i  D ) ) 
C_  ( _|_ `  A
) )
128, 9chdmm1i 26373 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  ( C  i^i  D
) )  =  ( ( _|_ `  C
)  vH  ( _|_ `  D ) )
1312sseq1i 3513 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  ( C  i^i  D ) ) 
C_  ( _|_ `  A
)  <->  ( ( _|_ `  C )  vH  ( _|_ `  D ) ) 
C_  ( _|_ `  A
) )
1411, 13bitri 249 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( C  i^i  D )  <->  ( ( _|_ `  C )  vH  ( _|_ `  D ) ) 
C_  ( _|_ `  A
) )
158, 9chjcli 26353 . . . . . 6  |-  ( C  vH  D )  e. 
CH
161, 2chjcli 26353 . . . . . 6  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
1715, 16chsscon3i 26357 . . . . 5  |-  ( ( C  vH  D ) 
C_  ( A  vH  B )  <->  ( _|_ `  ( A  vH  B
) )  C_  ( _|_ `  ( C  vH  D ) ) )
181, 2chdmj1i 26377 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  ( A  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )
19 incom 3676 . . . . . . 7  |-  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )
2018, 19eqtri 2472 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  ( A  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )
218, 9chdmj1i 26377 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  ( C  vH  D
) )  =  ( ( _|_ `  C
)  i^i  ( _|_ `  D ) )
2220, 21sseq12i 3515 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( _|_ `  ( C  vH  D ) )  <-> 
( ( _|_ `  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  C_  ( ( _|_ `  C
)  i^i  ( _|_ `  D ) ) )
2317, 22bitri 249 . . . 4  |-  ( ( C  vH  D ) 
C_  ( A  vH  B )  <->  ( ( _|_ `  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  C_  (
( _|_ `  C
)  i^i  ( _|_ `  D ) ) )
2414, 23anbi12ci 698 . . 3  |-  ( ( A  C_  ( C  i^i  D )  /\  ( C  vH  D )  C_  ( A  vH  B ) )  <->  ( ( ( _|_ `  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  C_  (
( _|_ `  C
)  i^i  ( _|_ `  D ) )  /\  ( ( _|_ `  C
)  vH  ( _|_ `  D ) )  C_  ( _|_ `  A ) ) )
252choccli 26203 . . . 4  |-  ( _|_ `  B )  e.  CH
261choccli 26203 . . . 4  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
278choccli 26203 . . . 4  |-  ( _|_ `  C )  e.  CH
289choccli 26203 . . . 4  |-  ( _|_ `  D )  e.  CH
2925, 26, 27, 28mdslmd2i 27227 . . 3  |-  ( ( ( ( _|_ `  B
)  MH  ( _|_ `  A )  /\  ( _|_ `  A )  MH*  ( _|_ `  B ) )  /\  ( ( ( _|_ `  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  C_  ( ( _|_ `  C
)  i^i  ( _|_ `  D ) )  /\  ( ( _|_ `  C
)  vH  ( _|_ `  D ) )  C_  ( _|_ `  A ) ) )  ->  (
( _|_ `  C
)  MH  ( _|_ `  D )  <->  ( ( _|_ `  C )  vH  ( _|_ `  B ) )  MH  ( ( _|_ `  D )  vH  ( _|_ `  B
) ) ) )
307, 24, 29syl2anb 479 . 2  |-  ( ( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A )  /\  ( A  C_  ( C  i^i  D )  /\  ( C  vH  D )  C_  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( ( _|_ `  C )  MH  ( _|_ `  D
)  <->  ( ( _|_ `  C )  vH  ( _|_ `  B ) )  MH  ( ( _|_ `  D )  vH  ( _|_ `  B ) ) ) )
31 dmdmd 27197 . . 3  |-  ( ( C  e.  CH  /\  D  e.  CH )  ->  ( C  MH*  D  <->  ( _|_ `  C )  MH  ( _|_ `  D
) ) )
328, 9, 31mp2an 672 . 2  |-  ( C 
MH*  D  <->  ( _|_ `  C
)  MH  ( _|_ `  D ) )
338, 2chincli 26356 . . . 4  |-  ( C  i^i  B )  e. 
CH
349, 2chincli 26356 . . . 4  |-  ( D  i^i  B )  e. 
CH
35 dmdmd 27197 . . . 4  |-  ( ( ( C  i^i  B
)  e.  CH  /\  ( D  i^i  B )  e.  CH )  -> 
( ( C  i^i  B )  MH*  ( D  i^i  B )  <->  ( _|_ `  ( C  i^i  B
) )  MH  ( _|_ `  ( D  i^i  B ) ) ) )
3633, 34, 35mp2an 672 . . 3  |-  ( ( C  i^i  B ) 
MH*  ( D  i^i  B )  <->  ( _|_ `  ( C  i^i  B ) )  MH  ( _|_ `  ( D  i^i  B ) ) )
378, 2chdmm1i 26373 . . . 4  |-  ( _|_ `  ( C  i^i  B
) )  =  ( ( _|_ `  C
)  vH  ( _|_ `  B ) )
389, 2chdmm1i 26373 . . . 4  |-  ( _|_ `  ( D  i^i  B
) )  =  ( ( _|_ `  D
)  vH  ( _|_ `  B ) )
3937, 38breq12i 4446 . . 3  |-  ( ( _|_ `  ( C  i^i  B ) )  MH  ( _|_ `  ( D  i^i  B ) )  <-> 
( ( _|_ `  C
)  vH  ( _|_ `  B ) )  MH  ( ( _|_ `  D
)  vH  ( _|_ `  B ) ) )
4036, 39bitri 249 . 2  |-  ( ( C  i^i  B ) 
MH*  ( D  i^i  B )  <->  ( ( _|_ `  C )  vH  ( _|_ `  B ) )  MH  ( ( _|_ `  D )  vH  ( _|_ `  B ) ) )
4130, 32, 403bitr4g 288 1  |-  ( ( ( A  MH  B  /\  B  MH*  A )  /\  ( A  C_  ( C  i^i  D )  /\  ( C  vH  D )  C_  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( C  MH*  D  <->  ( C  i^i  B )  MH*  ( D  i^i  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804    i^i cin 3460    C_ wss 3461   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CHcch 25824   _|_cort 25825    vH chj 25828    MH cmd 25861    MH* cdmd 25862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575  ax-hilex 25894  ax-hfvadd 25895  ax-hvcom 25896  ax-hvass 25897  ax-hv0cl 25898  ax-hvaddid 25899  ax-hfvmul 25900  ax-hvmulid 25901  ax-hvmulass 25902  ax-hvdistr1 25903  ax-hvdistr2 25904  ax-hvmul0 25905  ax-hfi 25974  ax-his1 25977  ax-his2 25978  ax-his3 25979  ax-his4 25980  ax-hcompl 26097
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-lm 19708  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cfil 21672  df-cau 21673  df-cmet 21674  df-grpo 25171  df-gid 25172  df-ginv 25173  df-gdiv 25174  df-ablo 25262  df-subgo 25282  df-vc 25417  df-nv 25463  df-va 25466  df-ba 25467  df-sm 25468  df-0v 25469  df-vs 25470  df-nmcv 25471  df-ims 25472  df-dip 25589  df-ssp 25613  df-ph 25706  df-cbn 25757  df-hnorm 25863  df-hba 25864  df-hvsub 25866  df-hlim 25867  df-hcau 25868  df-sh 26102  df-ch 26117  df-oc 26148  df-ch0 26149  df-shs 26204  df-chj 26206  df-md 27177  df-dmd 27178
This theorem is referenced by:  dmdcompli  27327
  Copyright terms: Public domain W3C validator