HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsl2bi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mdsl2bi 27969
Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsl.1  |-  A  e. 
CH
mdsl.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
mdsl2bi  |-  ( A  MH  B  <->  A. x  e.  CH  ( ( ( A  i^i  B ) 
C_  x  /\  x  C_  B )  ->  (
( x  vH  A
)  i^i  B )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem mdsl2bi
StepHypRef Expression
1 mdsl.1 . . 3  |-  A  e. 
CH
2 mdsl.2 . . 3  |-  B  e. 
CH
31, 2mdsl2i 27968 . 2  |-  ( A  MH  B  <->  A. x  e.  CH  ( ( ( A  i^i  B ) 
C_  x  /\  x  C_  B )  ->  (
( x  vH  A
)  i^i  B )  C_  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) ) )
41, 2chincli 27106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
5 inss1 3651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
6 chlej2 27157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  e.  CH  /\  A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  /\  ( A  i^i  B )  C_  A )  ->  (
x  vH  ( A  i^i  B ) )  C_  ( x  vH  A ) )
75, 6mpan2 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  e.  CH  /\  A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  (
x  vH  ( A  i^i  B ) )  C_  ( x  vH  A ) )
84, 1, 7mp3an12 1353 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CH  ->  (
x  vH  ( A  i^i  B ) )  C_  ( x  vH  A ) )
98adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  B )  -> 
( x  vH  ( A  i^i  B ) ) 
C_  ( x  vH  A ) )
10 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  B )  ->  x  C_  B )
11 inss2 3652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
1210, 11jctir 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  B )  -> 
( x  C_  B  /\  ( A  i^i  B
)  C_  B )
)
13 chlub 27155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  i^i  B )  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  (
( x  C_  B  /\  ( A  i^i  B
)  C_  B )  <->  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) 
C_  B ) )
144, 2, 13mp3an23 1355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( x  C_  B  /\  ( A  i^i  B
)  C_  B )  <->  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) 
C_  B ) )
1514adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  B )  -> 
( ( x  C_  B  /\  ( A  i^i  B )  C_  B )  <->  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) 
C_  B ) )
1612, 15mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  B )  -> 
( x  vH  ( A  i^i  B ) ) 
C_  B )
179, 16ssind 3655 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  B )  -> 
( x  vH  ( A  i^i  B ) ) 
C_  ( ( x  vH  A )  i^i 
B ) )
1817biantrud 510 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  B )  -> 
( ( ( x  vH  A )  i^i 
B )  C_  (
x  vH  ( A  i^i  B ) )  <->  ( (
( x  vH  A
)  i^i  B )  C_  ( x  vH  ( A  i^i  B ) )  /\  ( x  vH  ( A  i^i  B ) )  C_  ( (
x  vH  A )  i^i  B ) ) ) )
19 eqss 3446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  vH  A
)  i^i  B )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) )  <->  ( ( ( x  vH  A )  i^i  B )  C_  ( x  vH  ( A  i^i  B ) )  /\  ( x  vH  ( A  i^i  B ) )  C_  ( (
x  vH  A )  i^i  B ) ) )
2018, 19syl6bbr 267 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  B )  -> 
( ( ( x  vH  A )  i^i 
B )  C_  (
x  vH  ( A  i^i  B ) )  <->  ( (
x  vH  A )  i^i  B )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) ) )
2120ex 436 . . . . 5  |-  ( x  e.  CH  ->  (
x  C_  B  ->  ( ( ( x  vH  A )  i^i  B
)  C_  ( x  vH  ( A  i^i  B
) )  <->  ( (
x  vH  A )  i^i  B )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
2221adantld 469 . . . 4  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  B )  -> 
( ( ( x  vH  A )  i^i 
B )  C_  (
x  vH  ( A  i^i  B ) )  <->  ( (
x  vH  A )  i^i  B )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
2322pm5.74d 251 . . 3  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  B
)  ->  ( (
x  vH  A )  i^i  B )  C_  (
x  vH  ( A  i^i  B ) ) )  <-> 
( ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  B
)  ->  ( (
x  vH  A )  i^i  B )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
2423ralbiia 2817 . 2  |-  ( A. x  e.  CH  ( ( ( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  B )  -> 
( ( x  vH  A )  i^i  B
)  C_  ( x  vH  ( A  i^i  B
) ) )  <->  A. x  e.  CH  ( ( ( A  i^i  B ) 
C_  x  /\  x  C_  B )  ->  (
( x  vH  A
)  i^i  B )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) ) )
253, 24bitri 253 1  |-  ( A  MH  B  <->  A. x  e.  CH  ( ( ( A  i^i  B ) 
C_  x  /\  x  C_  B )  ->  (
( x  vH  A
)  i^i  B )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736    i^i cin 3402    C_ wss 3403   class class class wbr 4401  (class class class)co 6288   CHcch 26575    vH chj 26579    MH cmd 26612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hvcom 26647  ax-hvass 26648  ax-hv0cl 26649  ax-hvaddid 26650  ax-hfvmul 26651  ax-hvmulid 26652  ax-hvmulass 26653  ax-hvdistr1 26654  ax-hvdistr2 26655  ax-hvmul0 26656  ax-hfi 26725  ax-his1 26728  ax-his2 26729  ax-his3 26730  ax-his4 26731  ax-hcompl 26848
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-lm 20238  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cfil 22218  df-cau 22219  df-cmet 22220  df-grpo 25912  df-gid 25913  df-ginv 25914  df-gdiv 25915  df-ablo 26003  df-subgo 26023  df-vc 26158  df-nv 26204  df-va 26207  df-ba 26208  df-sm 26209  df-0v 26210  df-vs 26211  df-nmcv 26212  df-ims 26213  df-dip 26330  df-ssp 26354  df-ph 26447  df-cbn 26498  df-hnorm 26614  df-hba 26615  df-hvsub 26617  df-hlim 26618  df-hcau 26619  df-sh 26853  df-ch 26867  df-oc 26898  df-ch0 26899  df-shs 26954  df-chj 26956  df-md 27926
This theorem is referenced by:  csmdsymi  27980
  Copyright terms: Public domain W3C validator