Theorem mdsl0 11882

Description: A sublattice condition that transfers the modular pair property. Exercise 12 of [Kalmbach] p. 103. Also Lemma 1.5.3 of [MaedaMaeda] p. 2.

Assertion

Ref	Expression
mdsl0	|- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) -> ((((C C_ A /\ D C_ B) /\ (A i^i B) = 0H) /\ A MH B) -> C MH D))

Proof of Theorem mdsl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 2623	. . . . . . . 8 |- (x C_ D -> (D C_ B -> x C_ B))
2	1	com12 14	. . . . . . 7 |- (D C_ B -> (x C_ D -> x C_ B))
3	2	ad2antlr 441	. . . . . 6 |- (((C C_ A /\ D C_ B) /\ (A i^i B) = 0H) -> (x C_ D -> x C_ B))
4	3	ad2antlr 441	. . . . 5 |- (((((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) /\ ((C C_ A /\ D C_ B) /\ (A i^i B) = 0H)) /\ x e. CH) -> (x C_ D -> x C_ B))
5		chlej2 11067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((C e. CH /\ A e. CH /\ x e. CH) /\ C C_ A) -> (x vH C) C_ (x vH A))
6		ss2in 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((x vH C) C_ (x vH A) /\ D C_ B) -> ((x vH C) i^i D) C_ ((x vH A) i^i B))
7	6	ex 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x vH C) C_ (x vH A) -> (D C_ B -> ((x vH C) i^i D) C_ ((x vH A) i^i B)))
8	5, 7	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((C e. CH /\ A e. CH /\ x e. CH) /\ C C_ A) -> (D C_ B -> ((x vH C) i^i D) C_ ((x vH A) i^i B)))
9	8	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. CH /\ A e. CH /\ x e. CH) -> (C C_ A -> (D C_ B -> ((x vH C) i^i D) C_ ((x vH A) i^i B))))
10	9	3expia 1069	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. CH /\ A e. CH) -> (x e. CH -> (C C_ A -> (D C_ B -> ((x vH C) i^i D) C_ ((x vH A) i^i B)))))
11	10	ancoms 484	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CH /\ C e. CH) -> (x e. CH -> (C C_ A -> (D C_ B -> ((x vH C) i^i D) C_ ((x vH A) i^i B)))))
12	11	ad2ant2r 445	. . . . . . . . 9 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) -> (x e. CH -> (C C_ A -> (D C_ B -> ((x vH C) i^i D) C_ ((x vH A) i^i B)))))
13	12	imp43 397	. . . . . . . 8 |- (((((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) /\ x e. CH) /\ (C C_ A /\ D C_ B)) -> ((x vH C) i^i D) C_ ((x vH A) i^i B))
14	13	adantrr 431	. . . . . . 7 |- (((((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) /\ x e. CH) /\ ((C C_ A /\ D C_ B) /\ (A i^i B) = 0H)) -> ((x vH C) i^i D) C_ ((x vH A) i^i B))
15		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A i^i B) = 0H -> (x vH (A i^i B)) = (x vH 0H))
16		chj0 11053	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. CH -> (x vH 0H) = x)
17	15, 16	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. CH /\ (A i^i B) = 0H) -> (x vH (A i^i B)) = x)
18	17	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. CH /\ D e. CH) /\ (x e. CH /\ (A i^i B) = 0H)) -> (x vH (A i^i B)) = x)
19		chub1 11063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. CH /\ (C i^i D) e. CH) -> x C_ (x vH (C i^i D)))
20	19	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((C i^i D) e. CH /\ x e. CH) -> x C_ (x vH (C i^i D)))
21		chincl 11055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. CH /\ D e. CH) -> (C i^i D) e. CH)
22	20, 21	sylan 497	. . . . . . . . . . . 12 |- (((C e. CH /\ D e. CH) /\ x e. CH) -> x C_ (x vH (C i^i D)))
23	22	adantrr 431	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. CH /\ D e. CH) /\ (x e. CH /\ (A i^i B) = 0H)) -> x C_ (x vH (C i^i D)))
24	18, 23	eqsstrd 2651	. . . . . . . . . 10 |- (((C e. CH /\ D e. CH) /\ (x e. CH /\ (A i^i B) = 0H)) -> (x vH (A i^i B)) C_ (x vH (C i^i D)))
25	24	adantll 428	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) /\ (x e. CH /\ (A i^i B) = 0H)) -> (x vH (A i^i B)) C_ (x vH (C i^i D)))
26	25	anassrs 489	. . . . . . . 8 |- (((((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) /\ x e. CH) /\ (A i^i B) = 0H) -> (x vH (A i^i B)) C_ (x vH (C i^i D)))
27	26	adantrl 430	. . . . . . 7 |- (((((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) /\ x e. CH) /\ ((C C_ A /\ D C_ B) /\ (A i^i B) = 0H)) -> (x vH (A i^i B)) C_ (x vH (C i^i D)))
28		sstr2 2623	. . . . . . . . 9 |- (((x vH C) i^i D) C_ ((x vH A) i^i B) -> (((x vH A) i^i B) C_ (x vH (A i^i B)) -> ((x vH C) i^i D) C_ (x vH (A i^i B))))
29		sstr2 2623	. . . . . . . . 9 |- (((x vH C) i^i D) C_ (x vH (A i^i B)) -> ((x vH (A i^i B)) C_ (x vH (C i^i D)) -> ((x vH C) i^i D) C_ (x vH (C i^i D))))
30	28, 29	syl6 25	. . . . . . . 8 |- (((x vH C) i^i D) C_ ((x vH A) i^i B) -> (((x vH A) i^i B) C_ (x vH (A i^i B)) -> ((x vH (A i^i B)) C_ (x vH (C i^i D)) -> ((x vH C) i^i D) C_ (x vH (C i^i D)))))
31	30	com23 36	. . . . . . 7 |- (((x vH C) i^i D) C_ ((x vH A) i^i B) -> ((x vH (A i^i B)) C_ (x vH (C i^i D)) -> (((x vH A) i^i B) C_ (x vH (A i^i B)) -> ((x vH C) i^i D) C_ (x vH (C i^i D)))))
32	14, 27, 31	sylc 83	. . . . . 6 |- (((((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) /\ x e. CH) /\ ((C C_ A /\ D C_ B) /\ (A i^i B) = 0H)) -> (((x vH A) i^i B) C_ (x vH (A i^i B)) -> ((x vH C) i^i D) C_ (x vH (C i^i D))))
33	32	an1rs 547	. . . . 5 |- (((((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) /\ ((C C_ A /\ D C_ B) /\ (A i^i B) = 0H)) /\ x e. CH) -> (((x vH A) i^i B) C_ (x vH (A i^i B)) -> ((x vH C) i^i D) C_ (x vH (C i^i D))))
34	4, 33	imim12d 69	. . . 4 |- (((((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) /\ ((C C_ A /\ D C_ B) /\ (A i^i B) = 0H)) /\ x e. CH) -> ((x C_ B -> ((x vH A) i^i B) C_ (x vH (A i^i B))) -> (x C_ D -> ((x vH C) i^i D) C_ (x vH (C i^i D)))))
35	34	ralimdvaa 2171	. . 3 |- ((((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) /\ ((C C_ A /\ D C_ B) /\ (A i^i B) = 0H)) -> (A.x e. CH (x C_ B -> ((x vH A) i^i B) C_ (x vH (A i^i B))) -> A.x e. CH (x C_ D -> ((x vH C) i^i D) C_ (x vH (C i^i D)))))
36		mdbr2 11868	. . . 4 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH B <-> A.x e. CH (x C_ B -> ((x vH A) i^i B) C_ (x vH (A i^i B)))))
37	36	ad2antrr 440	. . 3 |- ((((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) /\ ((C C_ A /\ D C_ B) /\ (A i^i B) = 0H)) -> (A MH B <-> A.x e. CH (x C_ B -> ((x vH A) i^i B) C_ (x vH (A i^i B)))))
38		mdbr2 11868	. . . 4 |- ((C e. CH /\ D e. CH) -> (C MH D <-> A.x e. CH (x C_ D -> ((x vH C) i^i D) C_ (x vH (C i^i D)))))
39	38	ad2antlr 441	. . 3 |- ((((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) /\ ((C C_ A /\ D C_ B) /\ (A i^i B) = 0H)) -> (C MH D <-> A.x e. CH (x C_ D -> ((x vH C) i^i D) C_ (x vH (C i^i D)))))
40	35, 37, 39	3imtr4d 602	. 2 |- ((((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) /\ ((C C_ A /\ D C_ B) /\ (A i^i B) = 0H)) -> (A MH B -> C MH D))
41	40	expimpd 404	1 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ (C e. CH /\ D e. CH)) -> ((((C C_ A /\ D C_ B) /\ (A i^i B) = 0H) /\ A MH B) -> C MH D))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   i^i cin 2592   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CHcch 10430   vH chj 10434  0Hc0h 10436   MH cmd 10467

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-shsum 10906  df-chj 10908  df-md 11852

Copyright terms: Public domain