Theorem mdexchi 27370

Description: An exchange lemma for modular pairs. Lemma 1.6 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdexch.1	|- A e. CH
mdexch.2	|- B e. CH
mdexch.3	|- C e. CH

Assertion

Ref	Expression
mdexchi	|- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( C vH A ) MH B /\ ( ( C vH A ) i^i B ) = ( A i^i B ) ) )

Proof of Theorem mdexchi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdexch.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C e. CH
2		mdexch.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A e. CH
3		chjass 26568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. CH /\ A e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( C vH A ) vH x ) = ( C vH ( A vH x ) ) )
4	1, 2, 3	mp3an12 1312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CH -> ( ( C vH A ) vH x ) = ( C vH ( A vH x ) ) )
5	1, 2	chjcli 26492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C vH A ) e. CH
6		chjcom 26541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CH /\ ( C vH A ) e. CH ) -> ( x vH ( C vH A ) ) = ( ( C vH A ) vH x ) )
7	5, 6	mpan2 669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CH -> ( x vH ( C vH A ) ) = ( ( C vH A ) vH x ) )
8		chjcl 26392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( A vH x ) e. CH )
9	2, 8	mpan 668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( A vH x ) e. CH )
10		chjcom 26541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A vH x ) e. CH /\ C e. CH ) -> ( ( A vH x ) vH C ) = ( C vH ( A vH x ) ) )
11	9, 1, 10	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CH -> ( ( A vH x ) vH C ) = ( C vH ( A vH x ) ) )
12	4, 7, 11	3eqtr4d 2433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CH -> ( x vH ( C vH A ) ) = ( ( A vH x ) vH C ) )
13	12	ineq1d 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CH -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) = ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i B ) )
14		inass 3622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) = ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) )
15		incom 3605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A vH B ) i^i B ) = ( B i^i ( A vH B ) )
16		mdexch.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- B e. CH
17	2, 16	chjcomi 26503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A vH B ) = ( B vH A )
18	17	ineq2i 3611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B i^i ( A vH B ) ) = ( B i^i ( B vH A ) )
19	16, 2	chabs2i 26554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B i^i ( B vH A ) ) = B
20	18, 19	eqtri 2411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B i^i ( A vH B ) ) = B
21	15, 20	eqtri 2411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A vH B ) i^i B ) = B
22	21	ineq2i 3611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) ) = ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i B )
23	14, 22	eqtri 2411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) = ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i B )
24	13, 23	syl6eqr 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CH -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) = ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) )
25	24	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) = ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) )
26		chlej2 26546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CH /\ B e. CH /\ A e. CH ) /\ x C_ B ) -> ( A vH x ) C_ ( A vH B ) )
27	26	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CH /\ B e. CH /\ A e. CH ) -> ( x C_ B -> ( A vH x ) C_ ( A vH B ) ) )
28	16, 2, 27	mp3an23 1314	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( A vH x ) C_ ( A vH B ) ) )
29	2, 16	chjcli 26492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A vH B ) e. CH
30		mdi 27330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( C e. CH /\ ( A vH B ) e. CH /\ ( A vH x ) e. CH ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( A vH x ) C_ ( A vH B ) ) ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
31	30	exp32 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. CH /\ ( A vH B ) e. CH /\ ( A vH x ) e. CH ) -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( A vH x ) C_ ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
32	1, 29, 31	mp3an12 1312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A vH x ) e. CH -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( A vH x ) C_ ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
33	9, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CH -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( A vH x ) C_ ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
34	33	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( ( A vH x ) C_ ( A vH B ) -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
35	28, 34	syld 44	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
36	35	imp31 430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ C MH ( A vH B ) ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
37	36	adantrr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
38	1, 29	chincli 26495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C i^i ( A vH B ) ) e. CH
39		chlej2 26546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C i^i ( A vH B ) ) e. CH /\ A e. CH /\ ( A vH x ) e. CH ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) )
40	39	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( C i^i ( A vH B ) ) e. CH /\ A e. CH /\ ( A vH x ) e. CH ) -> ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) ) )
41	38, 2, 40	mp3an12 1312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A vH x ) e. CH -> ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) ) )
42	9, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) ) )
43	42	imp 427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CH /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) )
44		chjcom 26541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A vH x ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( A vH x ) vH A ) = ( A vH ( A vH x ) ) )
45	9, 2, 44	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CH -> ( ( A vH x ) vH A ) = ( A vH ( A vH x ) ) )
46	2	chjidmi 26556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A vH A ) = A
47	46	oveq1i 6206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A vH A ) vH x ) = ( A vH x )
48		chjass 26568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CH /\ A e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( A vH A ) vH x ) = ( A vH ( A vH x ) ) )
49	2, 2, 48	mp3an12 1312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CH -> ( ( A vH A ) vH x ) = ( A vH ( A vH x ) ) )
50		chjcom 26541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( A vH x ) = ( x vH A ) )
51	2, 50	mpan 668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CH -> ( A vH x ) = ( x vH A ) )
52	47, 49, 51	3eqtr3a 2447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CH -> ( A vH ( A vH x ) ) = ( x vH A ) )
53	45, 52	eqtrd 2423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( ( A vH x ) vH A ) = ( x vH A ) )
54	53	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CH /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH x ) vH A ) = ( x vH A ) )
55	43, 54	sseqtrd 3453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CH /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( x vH A ) )
56	55	ad2ant2rl 746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( x vH A ) )
57	37, 56	eqsstrd 3451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( x vH A ) )
58		ssrin 3637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( x vH A ) -> ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) C_ ( ( x vH A ) i^i B ) )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) C_ ( ( x vH A ) i^i B ) )
60	25, 59	eqsstrd 3451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( ( x vH A ) i^i B ) )
61	60	adantrl 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( ( x vH A ) i^i B ) )
62		mdi 27330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ x e. CH ) /\ ( A MH B /\ x C_ B ) ) -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) )
63	62	exp32 603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ x e. CH ) -> ( A MH B -> ( x C_ B -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) ) ) )
64	2, 16, 63	mp3an12 1312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CH -> ( A MH B -> ( x C_ B -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) ) ) )
65	64	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( A MH B -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) ) ) )
66	65	imp31 430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ A MH B ) -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) )
67	2, 1	chub2i 26505	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ ( C vH A )
68		ssrin 3637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ ( C vH A ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B ) )
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B )
70	2, 16	chincli 26495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i B ) e. CH
71	5, 16	chincli 26495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C vH A ) i^i B ) e. CH
72		chlej2 26546	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A i^i B ) e. CH /\ ( ( C vH A ) i^i B ) e. CH /\ x e. CH ) /\ ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B ) ) -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
73	72	ex 432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A i^i B ) e. CH /\ ( ( C vH A ) i^i B ) e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B ) -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) )
74	70, 71, 73	mp3an12 1312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CH -> ( ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B ) -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) )
75	69, 74	mpi 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CH -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
76	75	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ A MH B ) -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
77	66, 76	eqsstrd 3451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ A MH B ) -> ( ( x vH A ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
78	77	adantrr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) ) -> ( ( x vH A ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
79	61, 78	sstrd 3427	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
80	79	exp31 602	. . . . . 6 |- ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) ) )
81	80	com3r 79	. . . . 5 |- ( ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) ) )
82	81	3impb 1190	. . . 4 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) ) )
83	82	ralrimiv 2794	. . 3 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> A. x e. CH ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) )
84		mdbr2 27331	. . . 4 |- ( ( ( C vH A ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( C vH A ) MH B <-> A. x e. CH ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) ) )
85	5, 16, 84	mp2an 670	. . 3 |- ( ( C vH A ) MH B <-> A. x e. CH ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) )
86	83, 85	sylibr 212	. 2 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( C vH A ) MH B )
87	1, 2	chjcomi 26503	. . . . 5 |- ( C vH A ) = ( A vH C )
88		incom 3605	. . . . . 6 |- ( B i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH B ) i^i B )
89	18, 88, 19	3eqtr3ri 2420	. . . . 5 |- B = ( ( A vH B ) i^i B )
90	87, 89	ineq12i 3612	. . . 4 |- ( ( C vH A ) i^i B ) = ( ( A vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) )
91		inass 3622	. . . . 5 |- ( ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) = ( ( A vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) )
92	2, 16	chub1i 26504	. . . . . . . 8 |- A C_ ( A vH B )
93		mdi 27330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. CH /\ ( A vH B ) e. CH /\ A e. CH ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ A C_ ( A vH B ) ) ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
94	93	exp32 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. CH /\ ( A vH B ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( C MH ( A vH B ) -> ( A C_ ( A vH B ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
95	1, 29, 2, 94	mp3an 1322	. . . . . . . 8 |- ( C MH ( A vH B ) -> ( A C_ ( A vH B ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) )
96	92, 95	mpi 17	. . . . . . 7 |- ( C MH ( A vH B ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
97	2, 38	chjcomi 26503	. . . . . . . 8 |- ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) = ( ( C i^i ( A vH B ) ) vH A )
98	38, 2	chlejb1i 26511	. . . . . . . . 9 |- ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A <-> ( ( C i^i ( A vH B ) ) vH A ) = A )
99	98	biimpi 194	. . . . . . . 8 |- ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( ( C i^i ( A vH B ) ) vH A ) = A )
100	97, 99	syl5eq 2435	. . . . . . 7 |- ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) = A )
101	96, 100	sylan9eq 2443	. . . . . 6 |- ( ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = A )
102	101	ineq1d 3613	. . . . 5 |- ( ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) = ( A i^i B ) )
103	91, 102	syl5eqr 2437	. . . 4 |- ( ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) ) = ( A i^i B ) )
104	90, 103	syl5eq 2435	. . 3 |- ( ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( C vH A ) i^i B ) = ( A i^i B ) )
105	104	3adant1 1012	. 2 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( C vH A ) i^i B ) = ( A i^i B ) )
106	86, 105	jca 530	1 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( C vH A ) MH B /\ ( ( C vH A ) i^i B ) = ( A i^i B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1826   A.wral 2732   i^i cin 3388   C_ wss 3389   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   CHcch 25963   vH chj 25967   MH cmd 26000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cc 8728  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483  ax-hilex 26033  ax-hfvadd 26034  ax-hvcom 26035  ax-hvass 26036  ax-hv0cl 26037  ax-hvaddid 26038  ax-hfvmul 26039  ax-hvmulid 26040  ax-hvmulass 26041  ax-hvdistr1 26042  ax-hvdistr2 26043  ax-hvmul0 26044  ax-hfi 26113  ax-his1 26116  ax-his2 26117  ax-his3 26118  ax-his4 26119  ax-hcompl 26236

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-acn 8236  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-lm 19816  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cfil 21779  df-cau 21780  df-cmet 21781  df-grpo 25310  df-gid 25311  df-ginv 25312  df-gdiv 25313  df-ablo 25401  df-subgo 25421  df-vc 25556  df-nv 25602  df-va 25605  df-ba 25606  df-sm 25607  df-0v 25608  df-vs 25609  df-nmcv 25610  df-ims 25611  df-dip 25728  df-ssp 25752  df-ph 25845  df-cbn 25896  df-hnorm 26002  df-hba 26003  df-hvsub 26005  df-hlim 26006  df-hcau 26007  df-sh 26241  df-ch 26256  df-oc 26287  df-ch0 26288  df-shs 26343  df-chj 26345  df-md 27315

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