Theorem mdexchi 23791

Description: An exchange lemma for modular pairs. Lemma 1.6 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdexch.1	|- A e. CH
mdexch.2	|- B e. CH
mdexch.3	|- C e. CH

Assertion

Ref	Expression
mdexchi	|- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( C vH A ) MH B /\ ( ( C vH A ) i^i B ) = ( A i^i B ) ) )

Proof of Theorem mdexchi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdexch.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C e. CH
2		mdexch.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A e. CH
3		chjass 22988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. CH /\ A e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( C vH A ) vH x ) = ( C vH ( A vH x ) ) )
4	1, 2, 3	mp3an12 1269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CH -> ( ( C vH A ) vH x ) = ( C vH ( A vH x ) ) )
5	1, 2	chjcli 22912	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C vH A ) e. CH
6		chjcom 22961	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CH /\ ( C vH A ) e. CH ) -> ( x vH ( C vH A ) ) = ( ( C vH A ) vH x ) )
7	5, 6	mpan2 653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CH -> ( x vH ( C vH A ) ) = ( ( C vH A ) vH x ) )
8		chjcl 22812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( A vH x ) e. CH )
9	2, 8	mpan 652	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( A vH x ) e. CH )
10		chjcom 22961	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A vH x ) e. CH /\ C e. CH ) -> ( ( A vH x ) vH C ) = ( C vH ( A vH x ) ) )
11	9, 1, 10	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CH -> ( ( A vH x ) vH C ) = ( C vH ( A vH x ) ) )
12	4, 7, 11	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CH -> ( x vH ( C vH A ) ) = ( ( A vH x ) vH C ) )
13	12	ineq1d 3501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CH -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) = ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i B ) )
14		inass 3511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) = ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) )
15		incom 3493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A vH B ) i^i B ) = ( B i^i ( A vH B ) )
16		mdexch.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- B e. CH
17	2, 16	chjcomi 22923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A vH B ) = ( B vH A )
18	17	ineq2i 3499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B i^i ( A vH B ) ) = ( B i^i ( B vH A ) )
19	16, 2	chabs2i 22974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B i^i ( B vH A ) ) = B
20	18, 19	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B i^i ( A vH B ) ) = B
21	15, 20	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A vH B ) i^i B ) = B
22	21	ineq2i 3499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) ) = ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i B )
23	14, 22	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) = ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i B )
24	13, 23	syl6eqr 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CH -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) = ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) )
25	24	ad2antrr 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) = ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) )
26		chlej2 22966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CH /\ B e. CH /\ A e. CH ) /\ x C_ B ) -> ( A vH x ) C_ ( A vH B ) )
27	26	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CH /\ B e. CH /\ A e. CH ) -> ( x C_ B -> ( A vH x ) C_ ( A vH B ) ) )
28	16, 2, 27	mp3an23 1271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( A vH x ) C_ ( A vH B ) ) )
29	2, 16	chjcli 22912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A vH B ) e. CH
30		mdi 23751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( C e. CH /\ ( A vH B ) e. CH /\ ( A vH x ) e. CH ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( A vH x ) C_ ( A vH B ) ) ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
31	30	exp32 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. CH /\ ( A vH B ) e. CH /\ ( A vH x ) e. CH ) -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( A vH x ) C_ ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
32	1, 29, 31	mp3an12 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A vH x ) e. CH -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( A vH x ) C_ ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
33	9, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CH -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( A vH x ) C_ ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
34	33	com23 74	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( ( A vH x ) C_ ( A vH B ) -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
35	28, 34	syld 42	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
36	35	imp31 422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ C MH ( A vH B ) ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
37	36	adantrr 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
38	1, 29	chincli 22915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C i^i ( A vH B ) ) e. CH
39		chlej2 22966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C i^i ( A vH B ) ) e. CH /\ A e. CH /\ ( A vH x ) e. CH ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) )
40	39	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( C i^i ( A vH B ) ) e. CH /\ A e. CH /\ ( A vH x ) e. CH ) -> ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) ) )
41	38, 2, 40	mp3an12 1269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A vH x ) e. CH -> ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) ) )
42	9, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) ) )
43	42	imp 419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CH /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) )
44		chjcom 22961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A vH x ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( A vH x ) vH A ) = ( A vH ( A vH x ) ) )
45	9, 2, 44	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CH -> ( ( A vH x ) vH A ) = ( A vH ( A vH x ) ) )
46	2	chjidmi 22976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A vH A ) = A
47	46	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A vH A ) vH x ) = ( A vH x )
48		chjass 22988	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CH /\ A e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( A vH A ) vH x ) = ( A vH ( A vH x ) ) )
49	2, 2, 48	mp3an12 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CH -> ( ( A vH A ) vH x ) = ( A vH ( A vH x ) ) )
50		chjcom 22961	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( A vH x ) = ( x vH A ) )
51	2, 50	mpan 652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CH -> ( A vH x ) = ( x vH A ) )
52	47, 49, 51	3eqtr3a 2460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CH -> ( A vH ( A vH x ) ) = ( x vH A ) )
53	45, 52	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( ( A vH x ) vH A ) = ( x vH A ) )
54	53	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CH /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH x ) vH A ) = ( x vH A ) )
55	43, 54	sseqtrd 3344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CH /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( x vH A ) )
56	55	ad2ant2rl 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( x vH A ) )
57	37, 56	eqsstrd 3342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( x vH A ) )
58		ssrin 3526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( x vH A ) -> ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) C_ ( ( x vH A ) i^i B ) )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) C_ ( ( x vH A ) i^i B ) )
60	25, 59	eqsstrd 3342	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( ( x vH A ) i^i B ) )
61	60	adantrl 697	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( ( x vH A ) i^i B ) )
62		mdi 23751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ x e. CH ) /\ ( A MH B /\ x C_ B ) ) -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) )
63	62	exp32 589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ x e. CH ) -> ( A MH B -> ( x C_ B -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) ) ) )
64	2, 16, 63	mp3an12 1269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CH -> ( A MH B -> ( x C_ B -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) ) ) )
65	64	com23 74	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( A MH B -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) ) ) )
66	65	imp31 422	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ A MH B ) -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) )
67	2, 1	chub2i 22925	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ ( C vH A )
68		ssrin 3526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ ( C vH A ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B ) )
69	67, 68	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B )
70	2, 16	chincli 22915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i B ) e. CH
71	5, 16	chincli 22915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C vH A ) i^i B ) e. CH
72		chlej2 22966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A i^i B ) e. CH /\ ( ( C vH A ) i^i B ) e. CH /\ x e. CH ) /\ ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B ) ) -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
73	72	ex 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A i^i B ) e. CH /\ ( ( C vH A ) i^i B ) e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B ) -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) )
74	70, 71, 73	mp3an12 1269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CH -> ( ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B ) -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) )
75	69, 74	mpi 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CH -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
76	75	ad2antrr 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ A MH B ) -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
77	66, 76	eqsstrd 3342	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ A MH B ) -> ( ( x vH A ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
78	77	adantrr 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) ) -> ( ( x vH A ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
79	61, 78	sstrd 3318	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
80	79	exp31 588	. . . . . 6 |- ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) ) )
81	80	com3r 75	. . . . 5 |- ( ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) ) )
82	81	3impb 1149	. . . 4 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) ) )
83	82	ralrimiv 2748	. . 3 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> A. x e. CH ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) )
84		mdbr2 23752	. . . 4 |- ( ( ( C vH A ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( C vH A ) MH B <-> A. x e. CH ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) ) )
85	5, 16, 84	mp2an 654	. . 3 |- ( ( C vH A ) MH B <-> A. x e. CH ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) )
86	83, 85	sylibr 204	. 2 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( C vH A ) MH B )
87	1, 2	chjcomi 22923	. . . . 5 |- ( C vH A ) = ( A vH C )
88		incom 3493	. . . . . 6 |- ( B i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH B ) i^i B )
89	18, 88, 19	3eqtr3ri 2433	. . . . 5 |- B = ( ( A vH B ) i^i B )
90	87, 89	ineq12i 3500	. . . 4 |- ( ( C vH A ) i^i B ) = ( ( A vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) )
91		inass 3511	. . . . 5 |- ( ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) = ( ( A vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) )
92	2, 16	chub1i 22924	. . . . . . . 8 |- A C_ ( A vH B )
93		mdi 23751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. CH /\ ( A vH B ) e. CH /\ A e. CH ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ A C_ ( A vH B ) ) ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
94	93	exp32 589	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. CH /\ ( A vH B ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( C MH ( A vH B ) -> ( A C_ ( A vH B ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
95	1, 29, 2, 94	mp3an 1279	. . . . . . . 8 |- ( C MH ( A vH B ) -> ( A C_ ( A vH B ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) )
96	92, 95	mpi 17	. . . . . . 7 |- ( C MH ( A vH B ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
97	2, 38	chjcomi 22923	. . . . . . . 8 |- ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) = ( ( C i^i ( A vH B ) ) vH A )
98	38, 2	chlejb1i 22931	. . . . . . . . 9 |- ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A <-> ( ( C i^i ( A vH B ) ) vH A ) = A )
99	98	biimpi 187	. . . . . . . 8 |- ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( ( C i^i ( A vH B ) ) vH A ) = A )
100	97, 99	syl5eq 2448	. . . . . . 7 |- ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) = A )
101	96, 100	sylan9eq 2456	. . . . . 6 |- ( ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = A )
102	101	ineq1d 3501	. . . . 5 |- ( ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) = ( A i^i B ) )
103	91, 102	syl5eqr 2450	. . . 4 |- ( ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) ) = ( A i^i B ) )
104	90, 103	syl5eq 2448	. . 3 |- ( ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( C vH A ) i^i B ) = ( A i^i B ) )
105	104	3adant1 975	. 2 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( C vH A ) i^i B ) = ( A i^i B ) )
106	86, 105	jca 519	1 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( C vH A ) MH B /\ ( ( C vH A ) i^i B ) = ( A i^i B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   i^i cin 3279   C_ wss 3280   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   CHcch 22385   vH chj 22389   MH cmd 22422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540  ax-hcompl 22657

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-lm 17247  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-subgo 21843  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-dip 22150  df-ssp 22174  df-ph 22267  df-cbn 22318  df-hnorm 22424  df-hba 22425  df-hvsub 22427  df-hlim 22428  df-hcau 22429  df-sh 22662  df-ch 22677  df-oc 22707  df-ch0 22708  df-shs 22763  df-chj 22765  df-md 23736