Theorem mdexchi 28000

Description: An exchange lemma for modular pairs. Lemma 1.6 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdexch.1	|- A e. CH
mdexch.2	|- B e. CH
mdexch.3	|- C e. CH

Assertion

Ref	Expression
mdexchi	|- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( C vH A ) MH B /\ ( ( C vH A ) i^i B ) = ( A i^i B ) ) )

Proof of Theorem mdexchi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdexch.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C e. CH
2		mdexch.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A e. CH
3		chjass 27198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. CH /\ A e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( C vH A ) vH x ) = ( C vH ( A vH x ) ) )
4	1, 2, 3	mp3an12 1356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CH -> ( ( C vH A ) vH x ) = ( C vH ( A vH x ) ) )
5	1, 2	chjcli 27122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C vH A ) e. CH
6		chjcom 27171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CH /\ ( C vH A ) e. CH ) -> ( x vH ( C vH A ) ) = ( ( C vH A ) vH x ) )
7	5, 6	mpan2 678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CH -> ( x vH ( C vH A ) ) = ( ( C vH A ) vH x ) )
8		chjcl 27022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( A vH x ) e. CH )
9	2, 8	mpan 677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( A vH x ) e. CH )
10		chjcom 27171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A vH x ) e. CH /\ C e. CH ) -> ( ( A vH x ) vH C ) = ( C vH ( A vH x ) ) )
11	9, 1, 10	sylancl 669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CH -> ( ( A vH x ) vH C ) = ( C vH ( A vH x ) ) )
12	4, 7, 11	3eqtr4d 2497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CH -> ( x vH ( C vH A ) ) = ( ( A vH x ) vH C ) )
13	12	ineq1d 3635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CH -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) = ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i B ) )
14		inass 3644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) = ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) )
15		incom 3627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A vH B ) i^i B ) = ( B i^i ( A vH B ) )
16		mdexch.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- B e. CH
17	2, 16	chjcomi 27133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A vH B ) = ( B vH A )
18	17	ineq2i 3633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B i^i ( A vH B ) ) = ( B i^i ( B vH A ) )
19	16, 2	chabs2i 27184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B i^i ( B vH A ) ) = B
20	18, 19	eqtri 2475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B i^i ( A vH B ) ) = B
21	15, 20	eqtri 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A vH B ) i^i B ) = B
22	21	ineq2i 3633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) ) = ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i B )
23	14, 22	eqtri 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) = ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i B )
24	13, 23	syl6eqr 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CH -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) = ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) )
25	24	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) = ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) )
26		chlej2 27176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CH /\ B e. CH /\ A e. CH ) /\ x C_ B ) -> ( A vH x ) C_ ( A vH B ) )
27	26	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CH /\ B e. CH /\ A e. CH ) -> ( x C_ B -> ( A vH x ) C_ ( A vH B ) ) )
28	16, 2, 27	mp3an23 1358	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( A vH x ) C_ ( A vH B ) ) )
29	2, 16	chjcli 27122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A vH B ) e. CH
30		mdi 27960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( C e. CH /\ ( A vH B ) e. CH /\ ( A vH x ) e. CH ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( A vH x ) C_ ( A vH B ) ) ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
31	30	exp32 610	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. CH /\ ( A vH B ) e. CH /\ ( A vH x ) e. CH ) -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( A vH x ) C_ ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
32	1, 29, 31	mp3an12 1356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A vH x ) e. CH -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( A vH x ) C_ ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
33	9, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CH -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( A vH x ) C_ ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
34	33	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( ( A vH x ) C_ ( A vH B ) -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
35	28, 34	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( C MH ( A vH B ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
36	35	imp31 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ C MH ( A vH B ) ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
37	36	adantrr 724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
38	1, 29	chincli 27125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C i^i ( A vH B ) ) e. CH
39		chlej2 27176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C i^i ( A vH B ) ) e. CH /\ A e. CH /\ ( A vH x ) e. CH ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) )
40	39	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( C i^i ( A vH B ) ) e. CH /\ A e. CH /\ ( A vH x ) e. CH ) -> ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) ) )
41	38, 2, 40	mp3an12 1356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A vH x ) e. CH -> ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) ) )
42	9, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) ) )
43	42	imp 431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CH /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( ( A vH x ) vH A ) )
44		chjcom 27171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A vH x ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( A vH x ) vH A ) = ( A vH ( A vH x ) ) )
45	9, 2, 44	sylancl 669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CH -> ( ( A vH x ) vH A ) = ( A vH ( A vH x ) ) )
46	2	chjidmi 27186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A vH A ) = A
47	46	oveq1i 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A vH A ) vH x ) = ( A vH x )
48		chjass 27198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CH /\ A e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( A vH A ) vH x ) = ( A vH ( A vH x ) ) )
49	2, 2, 48	mp3an12 1356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CH -> ( ( A vH A ) vH x ) = ( A vH ( A vH x ) ) )
50		chjcom 27171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( A vH x ) = ( x vH A ) )
51	2, 50	mpan 677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CH -> ( A vH x ) = ( x vH A ) )
52	47, 49, 51	3eqtr3a 2511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CH -> ( A vH ( A vH x ) ) = ( x vH A ) )
53	45, 52	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CH -> ( ( A vH x ) vH A ) = ( x vH A ) )
54	53	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CH /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH x ) vH A ) = ( x vH A ) )
55	43, 54	sseqtrd 3470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CH /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( x vH A ) )
56	55	ad2ant2rl 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( A vH x ) vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) C_ ( x vH A ) )
57	37, 56	eqsstrd 3468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( x vH A ) )
58		ssrin 3659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( x vH A ) -> ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) C_ ( ( x vH A ) i^i B ) )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( ( ( A vH x ) vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) C_ ( ( x vH A ) i^i B ) )
60	25, 59	eqsstrd 3468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( ( x vH A ) i^i B ) )
61	60	adantrl 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( ( x vH A ) i^i B ) )
62		mdi 27960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ x e. CH ) /\ ( A MH B /\ x C_ B ) ) -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) )
63	62	exp32 610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ x e. CH ) -> ( A MH B -> ( x C_ B -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) ) ) )
64	2, 16, 63	mp3an12 1356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CH -> ( A MH B -> ( x C_ B -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) ) ) )
65	64	com23 81	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( A MH B -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) ) ) )
66	65	imp31 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ A MH B ) -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) )
67	2, 1	chub2i 27135	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ ( C vH A )
68		ssrin 3659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ ( C vH A ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B ) )
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B )
70	2, 16	chincli 27125	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i B ) e. CH
71	5, 16	chincli 27125	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C vH A ) i^i B ) e. CH
72		chlej2 27176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A i^i B ) e. CH /\ ( ( C vH A ) i^i B ) e. CH /\ x e. CH ) /\ ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B ) ) -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
73	72	ex 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A i^i B ) e. CH /\ ( ( C vH A ) i^i B ) e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B ) -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) )
74	70, 71, 73	mp3an12 1356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CH -> ( ( A i^i B ) C_ ( ( C vH A ) i^i B ) -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) )
75	69, 74	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CH -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
76	75	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ A MH B ) -> ( x vH ( A i^i B ) ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
77	66, 76	eqsstrd 3468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ A MH B ) -> ( ( x vH A ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
78	77	adantrr 724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) ) -> ( ( x vH A ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
79	61, 78	sstrd 3444	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CH /\ x C_ B ) /\ ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) )
80	79	exp31 609	. . . . . 6 |- ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) ) )
81	80	com3r 82	. . . . 5 |- ( ( A MH B /\ ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) ) -> ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) ) )
82	81	3impb 1205	. . . 4 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( x e. CH -> ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) ) )
83	82	ralrimiv 2802	. . 3 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> A. x e. CH ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) )
84		mdbr2 27961	. . . 4 |- ( ( ( C vH A ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( C vH A ) MH B <-> A. x e. CH ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) ) )
85	5, 16, 84	mp2an 679	. . 3 |- ( ( C vH A ) MH B <-> A. x e. CH ( x C_ B -> ( ( x vH ( C vH A ) ) i^i B ) C_ ( x vH ( ( C vH A ) i^i B ) ) ) )
86	83, 85	sylibr 216	. 2 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( C vH A ) MH B )
87	1, 2	chjcomi 27133	. . . . 5 |- ( C vH A ) = ( A vH C )
88		incom 3627	. . . . . 6 |- ( B i^i ( A vH B ) ) = ( ( A vH B ) i^i B )
89	18, 88, 19	3eqtr3ri 2484	. . . . 5 |- B = ( ( A vH B ) i^i B )
90	87, 89	ineq12i 3634	. . . 4 |- ( ( C vH A ) i^i B ) = ( ( A vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) )
91		inass 3644	. . . . 5 |- ( ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) = ( ( A vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) )
92	2, 16	chub1i 27134	. . . . . . . 8 |- A C_ ( A vH B )
93		mdi 27960	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. CH /\ ( A vH B ) e. CH /\ A e. CH ) /\ ( C MH ( A vH B ) /\ A C_ ( A vH B ) ) ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
94	93	exp32 610	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. CH /\ ( A vH B ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( C MH ( A vH B ) -> ( A C_ ( A vH B ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
95	1, 29, 2, 94	mp3an 1366	. . . . . . . 8 |- ( C MH ( A vH B ) -> ( A C_ ( A vH B ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) ) )
96	92, 95	mpi 20	. . . . . . 7 |- ( C MH ( A vH B ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) )
97	2, 38	chjcomi 27133	. . . . . . . 8 |- ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) = ( ( C i^i ( A vH B ) ) vH A )
98	38, 2	chlejb1i 27141	. . . . . . . . 9 |- ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A <-> ( ( C i^i ( A vH B ) ) vH A ) = A )
99	98	biimpi 198	. . . . . . . 8 |- ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( ( C i^i ( A vH B ) ) vH A ) = A )
100	97, 99	syl5eq 2499	. . . . . . 7 |- ( ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A -> ( A vH ( C i^i ( A vH B ) ) ) = A )
101	96, 100	sylan9eq 2507	. . . . . 6 |- ( ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) = A )
102	101	ineq1d 3635	. . . . 5 |- ( ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( ( A vH C ) i^i ( A vH B ) ) i^i B ) = ( A i^i B ) )
103	91, 102	syl5eqr 2501	. . . 4 |- ( ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( A vH C ) i^i ( ( A vH B ) i^i B ) ) = ( A i^i B ) )
104	90, 103	syl5eq 2499	. . 3 |- ( ( C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( C vH A ) i^i B ) = ( A i^i B ) )
105	104	3adant1 1027	. 2 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( C vH A ) i^i B ) = ( A i^i B ) )
106	86, 105	jca 535	1 |- ( ( A MH B /\ C MH ( A vH B ) /\ ( C i^i ( A vH B ) ) C_ A ) -> ( ( C vH A ) MH B /\ ( ( C vH A ) i^i B ) = ( A i^i B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   i^i cin 3405   C_ wss 3406   class class class wbr 4405  (class class class)co 6295   CHcch 26594   vH chj 26598   MH cmd 26631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cc 8870  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624  ax-hilex 26664  ax-hfvadd 26665  ax-hvcom 26666  ax-hvass 26667  ax-hv0cl 26668  ax-hvaddid 26669  ax-hfvmul 26670  ax-hvmulid 26671  ax-hvmulass 26672  ax-hvdistr1 26673  ax-hvdistr2 26674  ax-hvmul0 26675  ax-hfi 26744  ax-his1 26747  ax-his2 26748  ax-his3 26749  ax-his4 26750  ax-hcompl 26867

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-acn 8381  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-lm 20257  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cfil 22237  df-cau 22238  df-cmet 22239  df-grpo 25931  df-gid 25932  df-ginv 25933  df-gdiv 25934  df-ablo 26022  df-subgo 26042  df-vc 26177  df-nv 26223  df-va 26226  df-ba 26227  df-sm 26228  df-0v 26229  df-vs 26230  df-nmcv 26231  df-ims 26232  df-dip 26349  df-ssp 26373  df-ph 26466  df-cbn 26517  df-hnorm 26633  df-hba 26634  df-hvsub 26636  df-hlim 26637  df-hcau 26638  df-sh 26872  df-ch 26886  df-oc 26917  df-ch0 26918  df-shs 26973  df-chj 26975  df-md 27945

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