Theorem mdexchi 11907

Description: An exchange lemma for modular pairs. Lemma 1.6 of [MaedaMaeda] p. 2.

Hypotheses

Ref	Expression
mdexch.1	|- A e. CH
mdexch.2	|- B e. CH
mdexch.3	|- C e. CH

Assertion

Ref	Expression
mdexchi	|- ((A MH B /\ C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A) -> ((C vH A) MH B /\ ((C vH A) i^i B) = (A i^i B)))

Proof of Theorem mdexchi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdexch.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C e. CH
2		mdexch.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A e. CH
3		chjass 11089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((C e. CH /\ A e. CH /\ x e. CH) -> ((C vH A) vH x) = (C vH (A vH x)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. CH -> ((C vH A) vH x) = (C vH (A vH x)))
5	1, 2	chjcli 11013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (C vH A) e. CH
6		chjcom 11062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. CH /\ (C vH A) e. CH) -> (x vH (C vH A)) = ((C vH A) vH x))
7	5, 6	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. CH -> (x vH (C vH A)) = ((C vH A) vH x))
8		chjcl 10962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> (A vH x) e. CH)
9	2, 8	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. CH -> (A vH x) e. CH)
10		chjcom 11062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A vH x) e. CH /\ C e. CH) -> ((A vH x) vH C) = (C vH (A vH x)))
11	1, 10	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A vH x) e. CH -> ((A vH x) vH C) = (C vH (A vH x)))
12	9, 11	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. CH -> ((A vH x) vH C) = (C vH (A vH x)))
13	4, 7, 12	3eqtr4d 1937	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. CH -> (x vH (C vH A)) = ((A vH x) vH C))
14	13	ineq1d 2795	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. CH -> ((x vH (C vH A)) i^i B) = (((A vH x) vH C) i^i B))
15		inass 2804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) i^i B) = (((A vH x) vH C) i^i ((A vH B) i^i B))
16		incom 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A vH B) i^i B) = (B i^i (A vH B))
17		mdexch.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- B e. CH
18	2, 17	chjcomi 11024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A vH B) = (B vH A)
19	18	ineq2i 2793	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B i^i (A vH B)) = (B i^i (B vH A))
20	17, 2	chabs2i 11075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B i^i (B vH A)) = B
21	16, 19, 20	3eqtri 1912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A vH B) i^i B) = B
22	21	ineq2i 2793	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A vH x) vH C) i^i ((A vH B) i^i B)) = (((A vH x) vH C) i^i B)
23	15, 22	eqtri 1908	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) i^i B) = (((A vH x) vH C) i^i B)
24	14, 23	syl6eqr 1946	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. CH -> ((x vH (C vH A)) i^i B) = ((((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) i^i B))
25	24	ad2antrr 440	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. CH /\ x C_ B) /\ (C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A)) -> ((x vH (C vH A)) i^i B) = ((((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) i^i B))
26		chlej2 11067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((x e. CH /\ B e. CH /\ A e. CH) /\ x C_ B) -> (A vH x) C_ (A vH B))
27	26	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. CH /\ B e. CH /\ A e. CH) -> (x C_ B -> (A vH x) C_ (A vH B)))
28	17, 2, 27	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. CH -> (x C_ B -> (A vH x) C_ (A vH B)))
29	2, 17	chjcli 11013	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A vH B) e. CH
30		mdi 11867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((C e. CH /\ (A vH B) e. CH /\ (A vH x) e. CH) /\ (C MH (A vH B) /\ (A vH x) C_ (A vH B))) -> (((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) = ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))))
31	30	exp32 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((C e. CH /\ (A vH B) e. CH /\ (A vH x) e. CH) -> (C MH (A vH B) -> ((A vH x) C_ (A vH B) -> (((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) = ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))))))
32	1, 29, 31	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A vH x) e. CH -> (C MH (A vH B) -> ((A vH x) C_ (A vH B) -> (((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) = ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))))))
33	9, 32	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. CH -> (C MH (A vH B) -> ((A vH x) C_ (A vH B) -> (((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) = ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))))))
34	33	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. CH -> ((A vH x) C_ (A vH B) -> (C MH (A vH B) -> (((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) = ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))))))
35	28, 34	syld 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. CH -> (x C_ B -> (C MH (A vH B) -> (((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) = ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))))))
36	35	imp31 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. CH /\ x C_ B) /\ C MH (A vH B)) -> (((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) = ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))))
37	36	adantrr 431	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. CH /\ x C_ B) /\ (C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A)) -> (((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) = ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))))
38	1, 29	chincli 11016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (C i^i (A vH B)) e. CH
39		chlej2 11067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((C i^i (A vH B)) e. CH /\ A e. CH /\ (A vH x) e. CH) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A) -> ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))) C_ ((A vH x) vH A))
40	39	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((C i^i (A vH B)) e. CH /\ A e. CH /\ (A vH x) e. CH) -> ((C i^i (A vH B)) C_ A -> ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))) C_ ((A vH x) vH A)))
41	38, 2, 40	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A vH x) e. CH -> ((C i^i (A vH B)) C_ A -> ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))) C_ ((A vH x) vH A)))
42	9, 41	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. CH -> ((C i^i (A vH B)) C_ A -> ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))) C_ ((A vH x) vH A)))
43	42	imp 377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. CH /\ (C i^i (A vH B)) C_ A) -> ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))) C_ ((A vH x) vH A))
44		chjcom 11062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A vH x) e. CH /\ A e. CH) -> ((A vH x) vH A) = (A vH (A vH x)))
45	2, 44	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A vH x) e. CH -> ((A vH x) vH A) = (A vH (A vH x)))
46	9, 45	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. CH -> ((A vH x) vH A) = (A vH (A vH x)))
47		chjass 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A e. CH /\ A e. CH /\ x e. CH) -> ((A vH A) vH x) = (A vH (A vH x)))
48	2, 2, 47	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. CH -> ((A vH A) vH x) = (A vH (A vH x)))
49	2	chjidmi 11077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A vH A) = A
50	49	opreq1i 4892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A vH A) vH x) = (A vH x)
51	48, 50	syl5reqr 1943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. CH -> (A vH (A vH x)) = (A vH x))
52		chjcom 11062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> (A vH x) = (x vH A))
53	2, 52	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. CH -> (A vH x) = (x vH A))
54	46, 51, 53	3eqtrd 1929	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. CH -> ((A vH x) vH A) = (x vH A))
55	54	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. CH /\ (C i^i (A vH B)) C_ A) -> ((A vH x) vH A) = (x vH A))
56	43, 55	sseqtrd 2653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. CH /\ (C i^i (A vH B)) C_ A) -> ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))) C_ (x vH A))
57	56	ad2ant2rl 447	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. CH /\ x C_ B) /\ (C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A)) -> ((A vH x) vH (C i^i (A vH B))) C_ (x vH A))
58	37, 57	eqsstrd 2651	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. CH /\ x C_ B) /\ (C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A)) -> (((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) C_ (x vH A))
59		ssrin 2817	. . . . . . . . . . 11 |- ((((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) C_ (x vH A) -> ((((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) i^i B) C_ ((x vH A) i^i B))
60	58, 59	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. CH /\ x C_ B) /\ (C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A)) -> ((((A vH x) vH C) i^i (A vH B)) i^i B) C_ ((x vH A) i^i B))
61	25, 60	eqsstrd 2651	. . . . . . . . 9 |- (((x e. CH /\ x C_ B) /\ (C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A)) -> ((x vH (C vH A)) i^i B) C_ ((x vH A) i^i B))
62	61	adantrl 430	. . . . . . . 8 |- (((x e. CH /\ x C_ B) /\ (A MH B /\ (C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A))) -> ((x vH (C vH A)) i^i B) C_ ((x vH A) i^i B))
63		mdi 11867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. CH /\ B e. CH /\ x e. CH) /\ (A MH B /\ x C_ B)) -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)))
64	63	exp32 408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CH /\ B e. CH /\ x e. CH) -> (A MH B -> (x C_ B -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)))))
65	2, 17, 64	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. CH -> (A MH B -> (x C_ B -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)))))
66	65	com23 36	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. CH -> (x C_ B -> (A MH B -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)))))
67	66	imp31 389	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. CH /\ x C_ B) /\ A MH B) -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)))
68	2, 1	chub2i 11026	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ (C vH A)
69		ssrin 2817	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A C_ (C vH A) -> (A i^i B) C_ ((C vH A) i^i B))
70	68, 69	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- (A i^i B) C_ ((C vH A) i^i B)
71	2, 17	chincli 11016	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A i^i B) e. CH
72	5, 17	chincli 11016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C vH A) i^i B) e. CH
73		chlej2 11067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((A i^i B) e. CH /\ ((C vH A) i^i B) e. CH /\ x e. CH) /\ (A i^i B) C_ ((C vH A) i^i B)) -> (x vH (A i^i B)) C_ (x vH ((C vH A) i^i B)))
74	73	ex 402	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A i^i B) e. CH /\ ((C vH A) i^i B) e. CH /\ x e. CH) -> ((A i^i B) C_ ((C vH A) i^i B) -> (x vH (A i^i B)) C_ (x vH ((C vH A) i^i B))))
75	71, 72, 74	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. CH -> ((A i^i B) C_ ((C vH A) i^i B) -> (x vH (A i^i B)) C_ (x vH ((C vH A) i^i B))))
76	70, 75	mpi 55	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. CH -> (x vH (A i^i B)) C_ (x vH ((C vH A) i^i B)))
77	76	ad2antrr 440	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. CH /\ x C_ B) /\ A MH B) -> (x vH (A i^i B)) C_ (x vH ((C vH A) i^i B)))
78	67, 77	eqsstrd 2651	. . . . . . . . 9 |- (((x e. CH /\ x C_ B) /\ A MH B) -> ((x vH A) i^i B) C_ (x vH ((C vH A) i^i B)))
79	78	adantrr 431	. . . . . . . 8 |- (((x e. CH /\ x C_ B) /\ (A MH B /\ (C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A))) -> ((x vH A) i^i B) C_ (x vH ((C vH A) i^i B)))
80	62, 79	sstrd 2627	. . . . . . 7 |- (((x e. CH /\ x C_ B) /\ (A MH B /\ (C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A))) -> ((x vH (C vH A)) i^i B) C_ (x vH ((C vH A) i^i B)))
81	80	exp31 407	. . . . . 6 |- (x e. CH -> (x C_ B -> ((A MH B /\ (C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A)) -> ((x vH (C vH A)) i^i B) C_ (x vH ((C vH A) i^i B)))))
82	81	com3r 39	. . . . 5 |- ((A MH B /\ (C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A)) -> (x e. CH -> (x C_ B -> ((x vH (C vH A)) i^i B) C_ (x vH ((C vH A) i^i B)))))
83	82	3impb 1063	. . . 4 |- ((A MH B /\ C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A) -> (x e. CH -> (x C_ B -> ((x vH (C vH A)) i^i B) C_ (x vH ((C vH A) i^i B)))))
84	83	r19.21aiv 2175	. . 3 |- ((A MH B /\ C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A) -> A.x e. CH (x C_ B -> ((x vH (C vH A)) i^i B) C_ (x vH ((C vH A) i^i B))))
85		mdbr2 11868	. . . 4 |- (((C vH A) e. CH /\ B e. CH) -> ((C vH A) MH B <-> A.x e. CH (x C_ B -> ((x vH (C vH A)) i^i B) C_ (x vH ((C vH A) i^i B)))))
86	5, 17, 85	mp2an 761	. . 3 |- ((C vH A) MH B <-> A.x e. CH (x C_ B -> ((x vH (C vH A)) i^i B) C_ (x vH ((C vH A) i^i B))))
87	84, 86	sylibr 217	. 2 |- ((A MH B /\ C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A) -> (C vH A) MH B)
88	2, 17	chub1i 11025	. . . . . . . 8 |- A C_ (A vH B)
89		mdi 11867	. . . . . . . . . 10 |- (((C e. CH /\ (A vH B) e. CH /\ A e. CH) /\ (C MH (A vH B) /\ A C_ (A vH B))) -> ((A vH C) i^i (A vH B)) = (A vH (C i^i (A vH B))))
90	89	exp32 408	. . . . . . . . 9 |- ((C e. CH /\ (A vH B) e. CH /\ A e. CH) -> (C MH (A vH B) -> (A C_ (A vH B) -> ((A vH C) i^i (A vH B)) = (A vH (C i^i (A vH B))))))
91	1, 29, 2, 90	mp3an 1191	. . . . . . . 8 |- (C MH (A vH B) -> (A C_ (A vH B) -> ((A vH C) i^i (A vH B)) = (A vH (C i^i (A vH B)))))
92	88, 91	mpi 55	. . . . . . 7 |- (C MH (A vH B) -> ((A vH C) i^i (A vH B)) = (A vH (C i^i (A vH B))))
93	38, 2	chlejb1i 11032	. . . . . . . . 9 |- ((C i^i (A vH B)) C_ A <-> ((C i^i (A vH B)) vH A) = A)
94	93	biimpi 168	. . . . . . . 8 |- ((C i^i (A vH B)) C_ A -> ((C i^i (A vH B)) vH A) = A)
95	2, 38	chjcomi 11024	. . . . . . . 8 |- (A vH (C i^i (A vH B))) = ((C i^i (A vH B)) vH A)
96	94, 95	syl5eq 1940	. . . . . . 7 |- ((C i^i (A vH B)) C_ A -> (A vH (C i^i (A vH B))) = A)
97	92, 96	sylan9eq 1948	. . . . . 6 |- ((C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A) -> ((A vH C) i^i (A vH B)) = A)
98	97	ineq1d 2795	. . . . 5 |- ((C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A) -> (((A vH C) i^i (A vH B)) i^i B) = (A i^i B))
99		inass 2804	. . . . 5 |- (((A vH C) i^i (A vH B)) i^i B) = ((A vH C) i^i ((A vH B) i^i B))
100	98, 99	syl5eqr 1942	. . . 4 |- ((C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A) -> ((A vH C) i^i ((A vH B) i^i B)) = (A i^i B))
101	1, 2	chjcomi 11024	. . . . 5 |- (C vH A) = (A vH C)
102		incom 2787	. . . . . 6 |- (B i^i (A vH B)) = ((A vH B) i^i B)
103	19, 102, 20	3eqtr3ri 1920	. . . . 5 |- B = ((A vH B) i^i B)
104	101, 103	ineq12i 2794	. . . 4 |- ((C vH A) i^i B) = ((A vH C) i^i ((A vH B) i^i B))
105	100, 104	syl5eq 1940	. . 3 |- ((C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A) -> ((C vH A) i^i B) = (A i^i B))
106	105	3adant1 894	. 2 |- ((A MH B /\ C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A) -> ((C vH A) i^i B) = (A i^i B))
107	87, 106	jca 310	1 |- ((A MH B /\ C MH (A vH B) /\ (C i^i (A vH B)) C_ A) -> ((C vH A) MH B /\ ((C vH A) i^i B) = (A i^i B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   i^i cin 2592   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CHcch 10430   vH chj 10434   MH cmd 10467

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-shsum 10906  df-chj 10908  df-md 11852

Copyright terms: Public domain