Theorem mdetunilem7 18989

Description: Lemma for mdetuni 18993. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	|- A = ( N Mat R )
mdetuni.b	|- B = ( Base ` A )
mdetuni.k	|- K = ( Base ` R )
mdetuni.0g	|- .0. = ( 0g ` R )
mdetuni.1r	|- .1. = ( 1r ` R )
mdetuni.pg	|- .+ = ( +g ` R )
mdetuni.tg	|- .x. = ( .r ` R )
mdetuni.n	|- ( ph -> N e. Fin )
mdetuni.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mdetuni.ff	|- ( ph -> D : B --> K )
mdetuni.al	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
mdetuni.li	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
mdetuni.sc	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mdetunilem7	|- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( E ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. ( D ` F ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y, z, w, a, b   x, B, y, z, w, a, b   x, K, y, z, w, a, b   x, N, y, z, w, a, b   x, D, y, z, w, a, b   x, .x. , y, z, w   .+ , a, b, x, y, z, w   .0. , a, b, x, y, z, w   .1. , a, b, x, y, z, w   x, R, y, z, w   A, a, b, x, y, z, w   x, E, y, z, w   x, F, y, z, w   E, a, b   F, a, b

Allowed substitution hints:   R( a, b)   .x. ( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem7

Dummy variables c d e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5871	. . . . . 6 |- ( c = d -> ( c ` a ) = ( d ` a ) )
2	1	oveq1d 6310	. . . . 5 |- ( c = d -> ( ( c ` a ) F b ) = ( ( d ` a ) F b ) )
3	2	mpt2eq3dv 6358	. . . 4 |- ( c = d -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) )
4	3	fveq2d 5876	. . 3 |- ( c = d -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
5		fveq2 5872	. . . 4 |- ( c = d -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) = ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) )
6	5	oveq1d 6310	. . 3 |- ( c = d -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) )
7	4, 6	eqeq12d 2489	. 2 |- ( c = d -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) <-> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) )
8		fveq1 5871	. . . . . 6 |- ( c = ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) -> ( c ` a ) = ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) )
9	8	oveq1d 6310	. . . . 5 |- ( c = ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) -> ( ( c ` a ) F b ) = ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) )
10	9	mpt2eq3dv 6358	. . . 4 |- ( c = ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) )
11	10	fveq2d 5876	. . 3 |- ( c = ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) ) )
12		fveq2 5872	. . . 4 |- ( c = ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) = ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) )
13	12	oveq1d 6310	. . 3 |- ( c = ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) .x. ( D ` F ) ) )
14	11, 13	eqeq12d 2489	. 2 |- ( c = ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) <-> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) .x. ( D ` F ) ) ) )
15		fveq1 5871	. . . . . 6 |- ( c = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) -> ( c ` a ) = ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) )
16	15	oveq1d 6310	. . . . 5 |- ( c = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) -> ( ( c ` a ) F b ) = ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) )
17	16	mpt2eq3dv 6358	. . . 4 |- ( c = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) ) )
18	17	fveq2d 5876	. . 3 |- ( c = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) ) ) )
19		fveq2 5872	. . . 4 |- ( c = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) = ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) )
20	19	oveq1d 6310	. . 3 |- ( c = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) .x. ( D ` F ) ) )
21	18, 20	eqeq12d 2489	. 2 |- ( c = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) <-> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) .x. ( D ` F ) ) ) )
22		fveq1 5871	. . . . . 6 |- ( c = E -> ( c ` a ) = ( E ` a ) )
23	22	oveq1d 6310	. . . . 5 |- ( c = E -> ( ( c ` a ) F b ) = ( ( E ` a ) F b ) )
24	23	mpt2eq3dv 6358	. . . 4 |- ( c = E -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> ( ( E ` a ) F b ) ) )
25	24	fveq2d 5876	. . 3 |- ( c = E -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( E ` a ) F b ) ) ) )
26		fveq2 5872	. . . 4 |- ( c = E -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) = ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) )
27	26	oveq1d 6310	. . 3 |- ( c = E -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. ( D ` F ) ) )
28	25, 27	eqeq12d 2489	. 2 |- ( c = E -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) <-> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( E ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. ( D ` F ) ) ) )
29		eqid 2467	. 2 |- ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) )
30		eqid 2467	. 2 |- ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) = ( +g ` ( SymGrp ` N ) )
31		eqid 2467	. 2 |- ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
32		mdetuni.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. Fin )
33	32	3ad2ant1 1017	. . 3 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> N e. Fin )
34		eqid 2467	. . . 4 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
35	34	symggrp 16297	. . 3 |- ( N e. Fin -> ( SymGrp ` N ) e. Grp )
36		grpmnd 15934	. . 3 |- ( ( SymGrp ` N ) e. Grp -> ( SymGrp ` N ) e. Mnd )
37	33, 35, 36	3syl 20	. 2 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( SymGrp ` N ) e. Mnd )
38		eqid 2467	. . . 4 |- ran (pmTrsp ` N ) = ran (pmTrsp ` N )
39	38, 34, 31	symgtrf 16367	. . 3 |- ran (pmTrsp ` N ) C_ ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
40	39	a1i 11	. 2 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ran (pmTrsp ` N ) C_ ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
41		eqid 2467	. . . . . 6 |- (mrCls ` (SubMnd ` ( SymGrp ` N ) ) ) = (mrCls ` (SubMnd ` ( SymGrp ` N ) ) )
42	38, 34, 31, 41	symggen2 16369	. . . . 5 |- ( N e. Fin -> ( (mrCls ` (SubMnd ` ( SymGrp ` N ) ) ) ` ran (pmTrsp ` N ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
43	32, 42	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( (mrCls ` (SubMnd ` ( SymGrp ` N ) ) ) ` ran (pmTrsp ` N ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
44	43	eqcomd 2475	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( (mrCls ` (SubMnd ` ( SymGrp ` N ) ) ) ` ran (pmTrsp ` N ) ) )
45	44	3ad2ant1 1017	. 2 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( (mrCls ` (SubMnd ` ( SymGrp ` N ) ) ) ` ran (pmTrsp ` N ) ) )
46		mdetuni.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
47	46	3ad2ant1 1017	. . . 4 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> R e. Ring )
48		mdetuni.ff	. . . . . 6 |- ( ph -> D : B --> K )
49	48	3ad2ant1 1017	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> D : B --> K )
50		simp3 998	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> F e. B )
51	49, 50	ffvelrnd 6033	. . . 4 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( D ` F ) e. K )
52		mdetuni.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
53		mdetuni.tg	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
54		mdetuni.1r	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` R )
55	52, 53, 54	ringlidm 17094	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( D ` F ) e. K ) -> ( .1. .x. ( D ` F ) ) = ( D ` F ) )
56	47, 51, 55	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( .1. .x. ( D ` F ) ) = ( D ` F ) )
57		zrhpsgnmhm 18489	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
58	46, 32, 57	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
59		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
60	59, 54	rngidval 17027	. . . . . . 7 |- .1. = ( 0g ` (mulGrp ` R ) )
61	29, 60	mhm0 15847	. . . . . 6 |- ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) = .1. )
62	58, 61	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) = .1. )
63	62	3ad2ant1 1017	. . . 4 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) = .1. )
64	63	oveq1d 6310	. . 3 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) .x. ( D ` F ) ) = ( .1. .x. ( D ` F ) ) )
65	34	symgid 16298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. Fin -> ( _I |` N ) = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) )
66	32, 65	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _I |` N ) = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) )
67	66	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( _I |` N ) = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) )
68	67	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( _I |` N ) = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) )
69	68	fveq1d 5874	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( _I |` N ) ` a ) = ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) )
70		simp2 997	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> a e. N )
71		fvresi 6098	. . . . . . . . 9 |- ( a e. N -> ( ( _I |` N ) ` a ) = a )
72	70, 71	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( _I |` N ) ` a ) = a )
73	69, 72	eqtr3d 2510	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) = a )
74	73	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) = ( a F b ) )
75	74	mpt2eq3dva 6356	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> ( a F b ) ) )
76		mdetuni.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( N Mat R )
77		mdetuni.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` A )
78	76, 52, 77	matbas2i 18793	. . . . . . . 8 |- ( F e. B -> F e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
79	78	3ad2ant3 1019	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> F e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
80		elmapi 7452	. . . . . . 7 |- ( F e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> F : ( N X. N ) --> K )
81		ffn 5737	. . . . . . 7 |- ( F : ( N X. N ) --> K -> F Fn ( N X. N ) )
82	79, 80, 81	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> F Fn ( N X. N ) )
83		fnov 6405	. . . . . 6 |- ( F Fn ( N X. N ) <-> F = ( a e. N , b e. N |-> ( a F b ) ) )
84	82, 83	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> F = ( a e. N , b e. N |-> ( a F b ) ) )
85	75, 84	eqtr4d 2511	. . . 4 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) ) = F )
86	85	fveq2d 5876	. . 3 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) ) ) = ( D ` F ) )
87	56, 64, 86	3eqtr4rd 2519	. 2 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) .x. ( D ` F ) ) )
88		simp2 997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
89	39	sseli 3505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e e. ran (pmTrsp ` N ) -> e e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
90	89	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> e e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
91	34, 31, 30	symgov 16287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) = ( d o. e ) )
92	88, 90, 91	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) = ( d o. e ) )
93	92	fveq1d 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) = ( ( d o. e ) ` a ) )
94	93	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) = ( ( d o. e ) ` a ) )
95	34, 31	symgbasf1o 16280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) -> e : N -1-1-onto-> N )
96		f1of 5822	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e : N -1-1-onto-> N -> e : N --> N )
97	90, 95, 96	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> e : N --> N )
98	97	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> e : N --> N )
99		simp2 997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> a e. N )
100		fvco3 5951	. . . . . . . . . 10 |- ( ( e : N --> N /\ a e. N ) -> ( ( d o. e ) ` a ) = ( d ` ( e ` a ) ) )
101	98, 99, 100	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( d o. e ) ` a ) = ( d ` ( e ` a ) ) )
102	94, 101	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) = ( d ` ( e ` a ) ) )
103	102	oveq1d 6310	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) = ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) )
104	103	mpt2eq3dva 6356	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) )
105	104	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) )
106	34, 31	symgbasf1o 16280	. . . . . . 7 |- ( d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) -> d : N -1-1-onto-> N )
107		f1of 5822	. . . . . . 7 |- ( d : N -1-1-onto-> N -> d : N --> N )
108	106, 107	syl 16	. . . . . 6 |- ( d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) -> d : N --> N )
109		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- (pmTrsp ` N ) = (pmTrsp ` N )
110	109, 38	pmtrrn2 16358	. . . . . . . 8 |- ( e e. ran (pmTrsp ` N ) -> E. c e. N E. f e. N ( c =/= f /\ e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ) )
111		mdetuni.0g	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .0. = ( 0g ` R )
112		mdetuni.pg	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .+ = ( +g ` R )
113		mdetuni.al	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
114		mdetuni.li	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
115		mdetuni.sc	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )
116		simpll1 1035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ph )
117		df-3an 975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c e. N /\ f e. N /\ c =/= f ) <-> ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) )
118	117	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) -> ( c e. N /\ f e. N /\ c =/= f ) )
119	118	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( c e. N /\ f e. N /\ c =/= f ) )
120	79, 80	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> F : ( N X. N ) --> K )
121	120	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) -> F : ( N X. N ) --> K )
122	121	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> F : ( N X. N ) --> K )
123		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> d : N --> N )
124		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> f e. N )
125	124	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> f e. N )
126	123, 125	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> ( d ` f ) e. N )
127		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> b e. N )
128	122, 126, 127	fovrnd 6442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> ( ( d ` f ) F b ) e. K )
129		simprll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> c e. N )
130	129	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> c e. N )
131	123, 130	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> ( d ` c ) e. N )
132	122, 131, 127	fovrnd 6442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> ( ( d ` c ) F b ) e. K )
133	128, 132	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> ( ( ( d ` f ) F b ) e. K /\ ( ( d ` c ) F b ) e. K ) )
134	120	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> F : ( N X. N ) --> K )
135	134	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> F : ( N X. N ) --> K )
136		simp1lr 1060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> d : N --> N )
137		simp2 997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> a e. N )
138	136, 137	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( d ` a ) e. N )
139		simp3 998	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> b e. N )
140	135, 138, 139	fovrnd 6442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( d ` a ) F b ) e. K )
141	76, 77, 52, 111, 54, 112, 53, 32, 46, 48, 113, 114, 115, 116, 119, 133, 140	mdetunilem6 18988	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) ) )
142		simpl1 999	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) -> ph )
143		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = c -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` c ) )
144	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> N e. Fin )
145		simprll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> c e. N )
146		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> f e. N )
147		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> c =/= f )
148	109	pmtrprfv 16351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. Fin /\ ( c e. N /\ f e. N /\ c =/= f ) ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` c ) = f )
149	144, 145, 146, 147, 148	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` c ) = f )
150	149	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` c ) = f )
151	143, 150	sylan9eqr 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = c ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = f )
152	151	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = c ) -> ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) = ( d ` f ) )
153	152	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = c ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = ( ( d ` f ) F b ) )
154		iftrue 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = c -> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( d ` f ) F b ) )
155	154	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = c ) -> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( d ` f ) F b ) )
156	153, 155	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = c ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
157		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( a = f -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` f ) )
158		prcom 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- { c , f } = { f , c }
159	158	fveq2i 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) = ( (pmTrsp ` N ) ` { f , c } )
160	159	fveq1i 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` f ) = ( ( (pmTrsp ` N ) ` { f , c } ) ` f )
161	32	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> N e. Fin )
162		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( c e. N /\ f e. N ) )
163	162	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> f e. N )
164	162	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> c e. N )
165		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> c =/= f )
166	165	necomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> f =/= c )
167	109	pmtrprfv 16351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. Fin /\ ( f e. N /\ c e. N /\ f =/= c ) ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { f , c } ) ` f ) = c )
168	161, 163, 164, 166, 167	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { f , c } ) ` f ) = c )
169	160, 168	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` f ) = c )
170	157, 169	sylan9eqr 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = f ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = c )
171	170	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = f ) -> ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) = ( d ` c ) )
172	171	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = f ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = ( ( d ` c ) F b ) )
173		iftrue 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = f -> if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) = ( ( d ` c ) F b ) )
174	173	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = f ) -> if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) = ( ( d ` c ) F b ) )
175	172, 174	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = f ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
176	175	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ a = f ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
177		vex 3121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- a e. _V
178	177	elpr 4051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( a e. { c , f } <-> ( a = c \/ a = f ) )
179	178	notbii 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( -. a e. { c , f } <-> -. ( a = c \/ a = f ) )
180		ioran 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( -. ( a = c \/ a = f ) <-> ( -. a = c /\ -. a = f ) )
181	179, 180	bitr2i 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( -. a = c /\ -. a = f ) <-> -. a e. { c , f } )
182	181	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( -. a = c /\ -. a = f ) -> -. a e. { c , f } )
183	182	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> -. a e. { c , f } )
184		prssi 4189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( c e. N /\ f e. N ) -> { c , f } C_ N )
185	162, 184	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> { c , f } C_ N )
186		pr2ne 8395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( c e. N /\ f e. N ) -> ( { c , f } ~~ 2o <-> c =/= f ) )
187	162, 186	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( { c , f } ~~ 2o <-> c =/= f ) )
188	165, 187	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> { c , f } ~~ 2o )
189	109	pmtrmvd 16354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. Fin /\ { c , f } C_ N /\ { c , f } ~~ 2o ) -> dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) = { c , f } )
190	161, 185, 188, 189	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) = { c , f } )
191	190	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) <-> a e. { c , f } ) )
192	191	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( -. a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) <-> -. a e. { c , f } ) )
193	192	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> ( -. a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) <-> -. a e. { c , f } ) )
194	183, 193	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> -. a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) )
195	109	pmtrf 16353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( N e. Fin /\ { c , f } C_ N /\ { c , f } ~~ 2o ) -> ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) : N --> N )
196	161, 185, 188, 195	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) : N --> N )
197		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) : N --> N -> ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) Fn N )
198	196, 197	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) Fn N )
199		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> a e. N )
200		fnelnfp 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) Fn N /\ a e. N ) -> ( a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) <-> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) =/= a ) )
201	200	necon2bbid 2723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) Fn N /\ a e. N ) -> ( ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = a <-> -. a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) ) )
202	198, 199, 201	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = a <-> -. a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) ) )
203	202	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> ( ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = a <-> -. a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) ) )
204	194, 203	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = a )
205	204	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) = ( d ` a ) )
206	205	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = ( ( d ` a ) F b ) )
207		iffalse 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. a = f -> if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) = ( ( d ` a ) F b ) )
208	207	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) = ( ( d ` a ) F b ) )
209	206, 208	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
210	176, 209	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
211		iffalse 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. a = c -> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) = if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
212	211	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) -> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) = if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
213	210, 212	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
214	156, 213	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
215	214	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
216	215	mpt2eq3dva 6356	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
217	142, 216	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
218	217	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) )
219		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = c -> ( d ` a ) = ( d ` c ) )
220	219	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = c -> ( ( d ` a ) F b ) = ( ( d ` c ) F b ) )
221		iftrue 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = c -> if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( d ` c ) F b ) )
222	220, 221	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = c -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
223		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( a = f -> ( d ` a ) = ( d ` f ) )
224	223	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = f -> ( ( d ` a ) F b ) = ( ( d ` f ) F b ) )
225		iftrue 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = f -> if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) = ( ( d ` f ) F b ) )
226	224, 225	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = f -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
227	226	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. a = c /\ a = f ) -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
228		iffalse 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. a = f -> if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) = ( ( d ` a ) F b ) )
229	228	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. a = f -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
230	229	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. a = c /\ -. a = f ) -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
231	227, 230	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. a = c -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
232		iffalse 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. a = c -> if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) = if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
233	231, 232	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. a = c -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
234	222, 233	pm2.61i 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
235	234	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
236	235	mpt2eq3ia 6357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
237	236	fveq2i 5875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
238	237	fveq2i 5875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) )
239	238	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) ) )
240	141, 218, 239	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
241		fveq1 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( e ` a ) = ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) )
242	241	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( d ` ( e ` a ) ) = ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) )
243	242	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) = ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) )
244	243	mpt2eq3dv 6358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) ) )
245	244	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) ) ) )
246	245	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) <-> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) )
247	240, 246	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) )
248	247	expr 615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( c e. N /\ f e. N ) ) -> ( c =/= f -> ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) ) )
249	248	impd 431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( c e. N /\ f e. N ) ) -> ( ( c =/= f /\ e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) )
250	249	rexlimdvva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) -> ( E. c e. N E. f e. N ( c =/= f /\ e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) )
251	110, 250	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) -> ( e e. ran (pmTrsp ` N ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) )
252	251	3impia 1193	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
253	108, 252	syl3an2 1262	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
254	105, 253	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
255	254	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
256		fveq2 5872	. . . 4 |- ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) )
257	256	adantl 466	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) )
258		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
259	47	3ad2ant1 1017	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> R e. Ring )
260	58	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
261	260	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
262	59, 52	mgpbas 17019	. . . . . . . . 9 |- K = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
263	31, 262	mhmf 15844	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> K )
264	261, 263	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> K )
265	264, 88	ffvelrnd 6033	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) e. K )
266	49	3ad2ant1 1017	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> D : B --> K )
267		simp13 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> F e. B )
268	266, 267	ffvelrnd 6033	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( D ` F ) e. K )
269	52, 53, 258, 259, 265, 268	ringmneg1 17114	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) )
270	59, 53	mgpplusg 17017	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
271	31, 30, 270	mhmlin 15846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` e ) ) )
272	261, 88, 90, 271	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` e ) ) )
273	33	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> N e. Fin )
274		simp3 998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> e e. ran (pmTrsp ` N ) )
275	34, 31, 38	pmtrodpm 18502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> e e. ( ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) \ (pmEven ` N ) ) )
276	273, 274, 275	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> e e. ( ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) \ (pmEven ` N ) ) )
277		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( ZRHom ` R ) = ( ZRHom ` R )
278		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- (pmSgn ` N ) = (pmSgn ` N )
279	277, 278, 54, 31, 258	zrhpsgnodpm 18497	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ e e. ( ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) \ (pmEven ` N ) ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` e ) = ( ( invg ` R ) ` .1. ) )
280	259, 273, 276, 279	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` e ) = ( ( invg ` R ) ` .1. ) )
281	280	oveq2d 6311	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` e ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( ( invg ` R ) ` .1. ) ) )
282	52, 53, 54, 258, 259, 265	rngnegr 17113	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( ( invg ` R ) ` .1. ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) ) )
283	272, 281, 282	3eqtrrd 2513	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) ) = ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) )
284	283	oveq1d 6310	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) .x. ( D ` F ) ) )
285	269, 284	eqtr3d 2510	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) .x. ( D ` F ) ) )
286	285	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) .x. ( D ` F ) ) )
287	255, 257, 286	3eqtrd 2512	. 2 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) .x. ( D ` F ) ) )
288		simp2 997	. . 3 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> E : N -1-1-onto-> N )
289	34, 31	elsymgbas 16279	. . . 4 |- ( N e. Fin -> ( E e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) <-> E : N -1-1-onto-> N ) )
290	33, 289	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( E e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) <-> E : N -1-1-onto-> N ) )
291	288, 290	mpbird 232	. 2 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> E e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
292	7, 14, 21, 28, 29, 30, 31, 37, 40, 45, 87, 287, 291	mrcmndind 15869	1 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( E ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. ( D ` F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   \ cdif 3478   C_ wss 3481   ifcif 3945   {csn 4033   {cpr 4035   class class class wbr 4453   _I cid 4796   X. cxp 5003   dom cdm 5005   ran crn 5006   |` cres 5007   o. ccom 5009   Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   oFcof 6533   2oc2o 7136   ^m cmap 7432   ~~ cen 7525   Fincfn 7528   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   .rcmulr 14573   0gc0g 14712  mrClscmrc 14855   Mndcmnd 15793   MndHom cmhm 15837  SubMndcsubmnd 15838   Grpcgrp 15925   invgcminusg 15926   SymGrpcsymg 16274  pmTrspcpmtr 16339  pmSgncpsgn 16387  pmEvencevpm 16388  mulGrpcmgp 17013   1rcur 17025   Ringcrg 17070   ZRHomczrh 18406   Mat cmat 18778

This theorem wa