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Theorem mdetunilem6 19409
Description: Lemma for mdetuni 19414. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
mdetunilem6.ph  |-  ( ps 
->  ph )
mdetunilem6.ef  |-  ( ps 
->  ( E  e.  N  /\  F  e.  N  /\  E  =/=  F
) )
mdetunilem6.gh  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  ( G  e.  K  /\  H  e.  K )
)
mdetunilem6.i  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  I  e.  K )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w, a, b   
x, B, y, z, w, a, b    x, K, y, z, w, a, b    x, N, y, z, w, a, b   
x, D, y, z, w, a, b    x,  .x. , y, z, w    .+ , a,
b, x, y, z, w    .0. , a, b, x, y, z, w    .1. , a, b, x, y, z, w    x, R, y, z, w    A, a, b, x, y, z, w    x, E, y, z, w    x, F, y, z, w    x, G, y, z, w    x, H, y, z, w    ps, a, b, x, y, z, w    E, a, b    F, a, b    G, a    H, a    x, I, y, z, w
Allowed substitution hints:    R( a, b)    .x. ( a, b)    G( b)    H( b)    I( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem6
StepHypRef Expression
1 mdetuni.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mdetuni.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 mdetuni.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 mdetuni.0g . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 mdetuni.1r . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
6 mdetuni.pg . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
7 mdetuni.tg . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
8 mdetuni.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
9 mdetuni.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 mdetuni.ff . . . . 5  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
11 mdetuni.al . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
12 mdetuni.li . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
13 mdetuni.sc . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
14 mdetunilem6.ph . . . . 5  |-  ( ps 
->  ph )
15 mdetunilem6.ef . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( E  e.  N  /\  F  e.  N  /\  E  =/=  F
) )
1615simp1d 1009 . . . . 5  |-  ( ps 
->  E  e.  N
)
17 mdetunilem6.gh . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  ( G  e.  K  /\  H  e.  K )
)
1817simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  H  e.  K )
19183adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  H  e.  K )
2017simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  G  e.  K )
21203adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  G  e.  K )
22 ringgrp 17521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2314, 9, 223syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  R  e.  Grp )
2423adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  R  e.  Grp )
253, 6grpcl 16385 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  H  e.  K  /\  G  e.  K )  ->  ( H  .+  G
)  e.  K )
2624, 18, 20, 25syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  ( H  .+  G )  e.  K )
27263adant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( H  .+  G )  e.  K )
28 mdetunilem6.i . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  I  e.  K )
2927, 28ifcld 3927 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
)  e.  K )
3019, 21, 293jca 1177 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( H  e.  K  /\  G  e.  K  /\  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
)  e.  K ) )
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 30mdetunilem5 19408 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  I ) ) ) ) ) )
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 26, 28mdetunilem2 19405 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  .0.  )
3315simp2d 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  F  e.  N
)
3419, 28ifcld 3927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  H ,  I
)  e.  K )
3519, 21, 343jca 1177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( H  e.  K  /\  G  e.  K  /\  if ( a  =  E ,  H ,  I
)  e.  K ) )
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 33, 35mdetunilem5 19408 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) ) ) )
3715simp3d 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ps 
->  E  =/=  F
)
3837necomd 2674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  F  =/=  E
)
3933, 16, 383jca 1177 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( F  e.  N  /\  E  e.  N  /\  F  =/=  E
) )
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 39, 18, 28mdetunilem2 19405 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )  =  .0.  )
4140oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) )  =  (  .0.  .+  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) ) )
4237neneqd 2605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  -.  E  =  F )
43 eqtr2 2429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  E  =  F )
4442, 43nsyl 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  -.  ( a  =  E  /\  a  =  F ) )
45443ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  -.  ( a  =  E  /\  a  =  F ) )
46 ifcomnan 3933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  if (
a  =  E ,  H ,  if (
a  =  F ,  G ,  I )
)  =  if ( a  =  F ,  G ,  if (
a  =  E ,  H ,  I )
) )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) )  =  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) )
4847mpt2eq3dva 6341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )
4948fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) )
5014, 10syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  D : B --> K )
5114, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ps 
->  N  e.  Fin )
5221, 28ifcld 3927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  F ,  G ,  I
)  e.  K )
5319, 52ifcld 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) )  e.  K
)
541, 3, 2, 51, 23, 53matbas2d 19215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) )  e.  B )
5550, 54ffvelrnd 6009 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) )  e.  K )
5649, 55eqeltrrd 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )  e.  K )
573, 6, 4grplid 16402 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if (
a  =  E ,  H ,  I )
) ) )  e.  K )  ->  (  .0.  .+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) ) )
5823, 56, 57syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  (  .0.  .+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if (
a  =  E ,  H ,  I )
) ) ) )
5936, 41, 583eqtrd 2447 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) )
60 ifcomnan 3933 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  if (
a  =  E ,  H ,  if (
a  =  F , 
( H  .+  G
) ,  I ) )  =  if ( a  =  F , 
( H  .+  G
) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I )
) )
6145, 60syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) )  =  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) )
6261mpt2eq3dva 6341 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) )
6362fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) ) )
6459, 63, 493eqtr4d 2453 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) )
6521, 28ifcld 3927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  I
)  e.  K )
6619, 21, 653jca 1177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( H  e.  K  /\  G  e.  K  /\  if ( a  =  E ,  G ,  I
)  e.  K ) )
671, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 33, 66mdetunilem5 19408 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )  =  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  G ,  I ) ) ) ) ) )
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 39, 20, 28mdetunilem2 19405 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )  =  .0.  )
6968oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) ) )  .+  .0.  ) )
70 ifcomnan 3933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  if (
a  =  E ,  G ,  if (
a  =  F ,  H ,  I )
)  =  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) )
7145, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) )  =  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) )
7271mpt2eq3dva 6341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )
7372fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) )
7419, 28ifcld 3927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  F ,  H ,  I
)  e.  K )
7521, 74ifcld 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) )  e.  K
)
761, 3, 2, 51, 23, 75matbas2d 19215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) )  e.  B )
7750, 76ffvelrnd 6009 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) )  e.  K )
7873, 77eqeltrrd 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )  e.  K )
793, 6, 4grprid 16403 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) ) )  e.  K )  ->  (
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) 
.+  .0.  )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) ) ) )
8023, 78, 79syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) 
.+  .0.  )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) ) ) )
8167, 69, 803eqtrd 2447 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) )
82 ifcomnan 3933 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  if (
a  =  E ,  G ,  if (
a  =  F , 
( H  .+  G
) ,  I ) )  =  if ( a  =  F , 
( H  .+  G
) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I )
) )
8345, 82syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) )  =  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) )
8483mpt2eq3dva 6341 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I ) ) ) )
8584fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I ) ) ) ) )
8681, 85, 733eqtr4d 2453 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) ) )
8764, 86oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if (
a  =  F ,  G ,  I )
) ) )  .+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if (
a  =  F ,  H ,  I )
) ) ) ) )
8831, 32, 873eqtr3rd 2452 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) ) )  =  .0.  )
89 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
903, 6, 4, 89grpinvid1 16420 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if (
a  =  F ,  G ,  I )
) ) )  e.  K  /\  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) )  e.  K )  ->  ( ( ( invg `  R
) `  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) )  <->  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) ) )  =  .0.  ) )
9123, 55, 77, 90syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ( ( invg `  R ) `
 ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) )  <->  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) ) )  =  .0.  ) )
9288, 91mpbird 232 . 2  |-  ( ps 
->  ( ( invg `  R ) `  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I ) ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if (
a  =  F ,  H ,  I )
) ) ) )
9392eqcomd 2410 1  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753    \ cdif 3410   ifcif 3884   {csn 3971    X. cxp 4820    |` cres 4824   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279    oFcof 6518   Fincfn 7553   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   .rcmulr 14908   0gc0g 15052   Grpcgrp 16375   invgcminusg 16376   1rcur 17471   Ringcrg 17516   Mat cmat 19199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-hom 14931  df-cco 14932  df-0g 15054  df-prds 15060  df-pws 15062  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-ring 17518  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-dsmm 19059  df-frlm 19074  df-mat 19200
This theorem is referenced by:  mdetunilem7  19410
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