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Theorem mdetunilem6 18382
Description: Lemma for mdetuni 18387. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
mdetunilem6.ph  |-  ( ps 
->  ph )
mdetunilem6.ef  |-  ( ps 
->  ( E  e.  N  /\  F  e.  N  /\  E  =/=  F
) )
mdetunilem6.gh  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  ( G  e.  K  /\  H  e.  K )
)
mdetunilem6.i  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  I  e.  K )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w, a, b   
x, B, y, z, w, a, b    x, K, y, z, w, a, b    x, N, y, z, w, a, b   
x, D, y, z, w, a, b    x,  .x. , y, z, w    .+ , a,
b, x, y, z, w    .0. , a, b, x, y, z, w    .1. , a, b, x, y, z, w    x, R, y, z, w    A, a, b, x, y, z, w    x, E, y, z, w    x, F, y, z, w    x, G, y, z, w    x, H, y, z, w    ps, a, b, x, y, z, w    E, a, b    F, a, b    G, a    H, a    x, I, y, z, w
Allowed substitution hints:    R( a, b)    .x. ( a, b)    G( b)    H( b)    I( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem6
StepHypRef Expression
1 mdetuni.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mdetuni.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 mdetuni.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 mdetuni.0g . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 mdetuni.1r . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
6 mdetuni.pg . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
7 mdetuni.tg . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
8 mdetuni.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
9 mdetuni.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 mdetuni.ff . . . . 5  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
11 mdetuni.al . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
12 mdetuni.li . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
13 mdetuni.sc . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
14 mdetunilem6.ph . . . . 5  |-  ( ps 
->  ph )
15 mdetunilem6.ef . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( E  e.  N  /\  F  e.  N  /\  E  =/=  F
) )
1615simp1d 995 . . . . 5  |-  ( ps 
->  E  e.  N
)
17 mdetunilem6.gh . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  ( G  e.  K  /\  H  e.  K )
)
1817simprd 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  H  e.  K )
19183adant2 1002 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  H  e.  K )
2017simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  G  e.  K )
21203adant2 1002 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  G  e.  K )
22 rnggrp 16640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2314, 9, 223syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  R  e.  Grp )
2423adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  R  e.  Grp )
253, 6grpcl 15544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  H  e.  K  /\  G  e.  K )  ->  ( H  .+  G
)  e.  K )
2624, 18, 20, 25syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  ( H  .+  G )  e.  K )
27263adant2 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( H  .+  G )  e.  K )
28 mdetunilem6.i . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  I  e.  K )
2927, 28ifcld 3829 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
)  e.  K )
3019, 21, 293jca 1163 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( H  e.  K  /\  G  e.  K  /\  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
)  e.  K ) )
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 30mdetunilem5 18381 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  I ) ) ) ) ) )
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 26, 28mdetunilem2 18378 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  .0.  )
3315simp2d 996 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  F  e.  N
)
3419, 28ifcld 3829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  H ,  I
)  e.  K )
3519, 21, 343jca 1163 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( H  e.  K  /\  G  e.  K  /\  if ( a  =  E ,  H ,  I
)  e.  K ) )
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 33, 35mdetunilem5 18381 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) ) ) )
3715simp3d 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ps 
->  E  =/=  F
)
3837necomd 2693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  F  =/=  E
)
3933, 16, 383jca 1163 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( F  e.  N  /\  E  e.  N  /\  F  =/=  E
) )
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 39, 18, 28mdetunilem2 18378 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )  =  .0.  )
4140oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) )  =  (  .0.  .+  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) ) )
4237neneqd 2622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  -.  E  =  F )
43 eqtr2 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  E  =  F )
4442, 43nsyl 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  -.  ( a  =  E  /\  a  =  F ) )
45443ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  -.  ( a  =  E  /\  a  =  F ) )
46 ifcomnan 3835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  if (
a  =  E ,  H ,  if (
a  =  F ,  G ,  I )
)  =  if ( a  =  F ,  G ,  if (
a  =  E ,  H ,  I )
) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) )  =  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) )
4847mpt2eq3dva 6149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )
4948fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) )
5014, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  D : B --> K )
5114, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ps 
->  N  e.  Fin )
5221, 28ifcld 3829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  F ,  G ,  I
)  e.  K )
5319, 52ifcld 3829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) )  e.  K
)
541, 3, 2, 51, 23, 53matbas2d 18283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) )  e.  B )
5550, 54ffvelrnd 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) )  e.  K )
5649, 55eqeltrrd 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )  e.  K )
573, 6, 4grplid 15561 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if (
a  =  E ,  H ,  I )
) ) )  e.  K )  ->  (  .0.  .+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) ) )
5823, 56, 57syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  (  .0.  .+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if (
a  =  E ,  H ,  I )
) ) ) )
5936, 41, 583eqtrd 2477 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) )
60 ifcomnan 3835 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  if (
a  =  E ,  H ,  if (
a  =  F , 
( H  .+  G
) ,  I ) )  =  if ( a  =  F , 
( H  .+  G
) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I )
) )
6145, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) )  =  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) )
6261mpt2eq3dva 6149 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) )
6362fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) ) )
6459, 63, 493eqtr4d 2483 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) )
6521, 28ifcld 3829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  I
)  e.  K )
6619, 21, 653jca 1163 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( H  e.  K  /\  G  e.  K  /\  if ( a  =  E ,  G ,  I
)  e.  K ) )
671, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 33, 66mdetunilem5 18381 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )  =  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  G ,  I ) ) ) ) ) )
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 39, 20, 28mdetunilem2 18378 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )  =  .0.  )
6968oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) ) )  .+  .0.  ) )
70 ifcomnan 3835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  if (
a  =  E ,  G ,  if (
a  =  F ,  H ,  I )
)  =  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) )
7145, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) )  =  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) )
7271mpt2eq3dva 6149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )
7372fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) )
7419, 28ifcld 3829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  F ,  H ,  I
)  e.  K )
7521, 74ifcld 3829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) )  e.  K
)
761, 3, 2, 51, 23, 75matbas2d 18283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) )  e.  B )
7750, 76ffvelrnd 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) )  e.  K )
7873, 77eqeltrrd 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )  e.  K )
793, 6, 4grprid 15562 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) ) )  e.  K )  ->  (
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) 
.+  .0.  )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) ) ) )
8023, 78, 79syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) 
.+  .0.  )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) ) ) )
8167, 69, 803eqtrd 2477 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) )
82 ifcomnan 3835 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  if (
a  =  E ,  G ,  if (
a  =  F , 
( H  .+  G
) ,  I ) )  =  if ( a  =  F , 
( H  .+  G
) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I )
) )
8345, 82syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) )  =  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) )
8483mpt2eq3dva 6149 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I ) ) ) )
8584fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I ) ) ) ) )
8681, 85, 733eqtr4d 2483 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) ) )
8764, 86oveq12d 6108 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if (
a  =  F ,  G ,  I )
) ) )  .+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if (
a  =  F ,  H ,  I )
) ) ) ) )
8831, 32, 873eqtr3rd 2482 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) ) )  =  .0.  )
89 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
903, 6, 4, 89grpinvid1 15579 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if (
a  =  F ,  G ,  I )
) ) )  e.  K  /\  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) )  e.  K )  ->  ( ( ( invg `  R
) `  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) )  <->  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) ) )  =  .0.  ) )
9123, 55, 77, 90syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ( ( invg `  R ) `
 ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) )  <->  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) ) )  =  .0.  ) )
9288, 91mpbird 232 . 2  |-  ( ps 
->  ( ( invg `  R ) `  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I ) ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if (
a  =  F ,  H ,  I )
) ) ) )
9392eqcomd 2446 1  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713    \ cdif 3322   ifcif 3788   {csn 3874    X. cxp 4834    |` cres 4838   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092    oFcof 6317   Fincfn 7306   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   1rcur 16593   Ringcrg 16635   Mat cmat 18239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-ot 3883  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-hom 14258  df-cco 14259  df-0g 14376  df-prds 14382  df-pws 14384  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-rng 16637  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-dsmm 18116  df-frlm 18131  df-mat 18241
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