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Theorem mdetunilem6 19097
Description: Lemma for mdetuni 19102. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
mdetunilem6.ph  |-  ( ps 
->  ph )
mdetunilem6.ef  |-  ( ps 
->  ( E  e.  N  /\  F  e.  N  /\  E  =/=  F
) )
mdetunilem6.gh  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  ( G  e.  K  /\  H  e.  K )
)
mdetunilem6.i  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  I  e.  K )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w, a, b   
x, B, y, z, w, a, b    x, K, y, z, w, a, b    x, N, y, z, w, a, b   
x, D, y, z, w, a, b    x,  .x. , y, z, w    .+ , a,
b, x, y, z, w    .0. , a, b, x, y, z, w    .1. , a, b, x, y, z, w    x, R, y, z, w    A, a, b, x, y, z, w    x, E, y, z, w    x, F, y, z, w    x, G, y, z, w    x, H, y, z, w    ps, a, b, x, y, z, w    E, a, b    F, a, b    G, a    H, a    x, I, y, z, w
Allowed substitution hints:    R( a, b)    .x. ( a, b)    G( b)    H( b)    I( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem6
StepHypRef Expression
1 mdetuni.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mdetuni.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 mdetuni.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 mdetuni.0g . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 mdetuni.1r . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
6 mdetuni.pg . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
7 mdetuni.tg . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
8 mdetuni.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
9 mdetuni.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 mdetuni.ff . . . . 5  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
11 mdetuni.al . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
12 mdetuni.li . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
13 mdetuni.sc . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
14 mdetunilem6.ph . . . . 5  |-  ( ps 
->  ph )
15 mdetunilem6.ef . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( E  e.  N  /\  F  e.  N  /\  E  =/=  F
) )
1615simp1d 1009 . . . . 5  |-  ( ps 
->  E  e.  N
)
17 mdetunilem6.gh . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  ( G  e.  K  /\  H  e.  K )
)
1817simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  H  e.  K )
19183adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  H  e.  K )
2017simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  G  e.  K )
21203adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  G  e.  K )
22 ringgrp 17182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2314, 9, 223syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  R  e.  Grp )
2423adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  R  e.  Grp )
253, 6grpcl 16042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  H  e.  K  /\  G  e.  K )  ->  ( H  .+  G
)  e.  K )
2624, 18, 20, 25syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  b  e.  N )  ->  ( H  .+  G )  e.  K )
27263adant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( H  .+  G )  e.  K )
28 mdetunilem6.i . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  I  e.  K )
2927, 28ifcld 3969 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
)  e.  K )
3019, 21, 293jca 1177 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( H  e.  K  /\  G  e.  K  /\  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
)  e.  K ) )
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 30mdetunilem5 19096 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  I ) ) ) ) ) )
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 26, 28mdetunilem2 19093 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  .0.  )
3315simp2d 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  F  e.  N
)
3419, 28ifcld 3969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  H ,  I
)  e.  K )
3519, 21, 343jca 1177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( H  e.  K  /\  G  e.  K  /\  if ( a  =  E ,  H ,  I
)  e.  K ) )
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 33, 35mdetunilem5 19096 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) ) ) )
3715simp3d 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ps 
->  E  =/=  F
)
3837necomd 2714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  F  =/=  E
)
3933, 16, 383jca 1177 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( F  e.  N  /\  E  e.  N  /\  F  =/=  E
) )
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 39, 18, 28mdetunilem2 19093 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )  =  .0.  )
4140oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) )  =  (  .0.  .+  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) ) )
4237neneqd 2645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  -.  E  =  F )
43 eqtr2 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  E  =  F )
4442, 43nsyl 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  -.  ( a  =  E  /\  a  =  F ) )
45443ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  -.  ( a  =  E  /\  a  =  F ) )
46 ifcomnan 3975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  if (
a  =  E ,  H ,  if (
a  =  F ,  G ,  I )
)  =  if ( a  =  F ,  G ,  if (
a  =  E ,  H ,  I )
) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) )  =  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) )
4847mpt2eq3dva 6346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )
4948fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) )
5014, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  D : B --> K )
5114, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ps 
->  N  e.  Fin )
5221, 28ifcld 3969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  F ,  G ,  I
)  e.  K )
5319, 52ifcld 3969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) )  e.  K
)
541, 3, 2, 51, 23, 53matbas2d 18903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) )  e.  B )
5550, 54ffvelrnd 6017 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) )  e.  K )
5649, 55eqeltrrd 2532 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )  e.  K )
573, 6, 4grplid 16059 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if (
a  =  E ,  H ,  I )
) ) )  e.  K )  ->  (  .0.  .+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) ) )
5823, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  (  .0.  .+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if (
a  =  E ,  H ,  I )
) ) ) )
5936, 41, 583eqtrd 2488 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) ) ) )
60 ifcomnan 3975 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  if (
a  =  E ,  H ,  if (
a  =  F , 
( H  .+  G
) ,  I ) )  =  if ( a  =  F , 
( H  .+  G
) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I )
) )
6145, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) )  =  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I
) ) )
6261mpt2eq3dva 6346 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) )
6362fveq2d 5860 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  if ( a  =  E ,  H ,  I ) ) ) ) )
6459, 63, 493eqtr4d 2494 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) )
6521, 28ifcld 3969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  I
)  e.  K )
6619, 21, 653jca 1177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( H  e.  K  /\  G  e.  K  /\  if ( a  =  E ,  G ,  I
)  e.  K ) )
671, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 33, 66mdetunilem5 19096 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )  =  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  G ,  I ) ) ) ) ) )
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 39, 20, 28mdetunilem2 19093 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )  =  .0.  )
6968oveq2d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  G ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) ) )  .+  .0.  ) )
70 ifcomnan 3975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  if (
a  =  E ,  G ,  if (
a  =  F ,  H ,  I )
)  =  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) )
7145, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) )  =  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) )
7271mpt2eq3dva 6346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )
7372fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) )
7419, 28ifcld 3969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  F ,  H ,  I
)  e.  K )
7521, 74ifcld 3969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) )  e.  K
)
761, 3, 2, 51, 23, 75matbas2d 18903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) )  e.  B )
7750, 76ffvelrnd 6017 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) )  e.  K )
7873, 77eqeltrrd 2532 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )  e.  K )
793, 6, 4grprid 16060 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) ) )  e.  K )  ->  (
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) 
.+  .0.  )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) ) ) )
8023, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) 
.+  .0.  )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if (
a  =  E ,  G ,  I )
) ) ) )
8167, 69, 803eqtrd 2488 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  H ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) ) ) )
82 ifcomnan 3975 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( a  =  E  /\  a  =  F )  ->  if (
a  =  E ,  G ,  if (
a  =  F , 
( H  .+  G
) ,  I ) )  =  if ( a  =  F , 
( H  .+  G
) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I )
) )
8345, 82syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) )  =  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I
) ) )
8483mpt2eq3dva 6346 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I ) ) ) )
8584fveq2d 5860 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  F ,  ( H 
.+  G ) ,  if ( a  =  E ,  G ,  I ) ) ) ) )
8681, 85, 733eqtr4d 2494 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) ) )
8764, 86oveq12d 6299 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  ( H  .+  G ) ,  I
) ) ) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if (
a  =  F ,  G ,  I )
) ) )  .+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if (
a  =  F ,  H ,  I )
) ) ) ) )
8831, 32, 873eqtr3rd 2493 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) ) )  =  .0.  )
89 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
903, 6, 4, 89grpinvid1 16077 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if (
a  =  F ,  G ,  I )
) ) )  e.  K  /\  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) )  e.  K )  ->  ( ( ( invg `  R
) `  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) )  <->  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) ) )  =  .0.  ) )
9123, 55, 77, 90syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ( ( invg `  R ) `
 ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) )  <->  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I ) ) ) )  .+  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I ) ) ) ) )  =  .0.  ) )
9288, 91mpbird 232 . 2  |-  ( ps 
->  ( ( invg `  R ) `  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I ) ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if (
a  =  F ,  H ,  I )
) ) ) )
9392eqcomd 2451 1  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  if ( a  =  F ,  H ,  I
) ) ) )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  H ,  if ( a  =  F ,  G ,  I
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793    \ cdif 3458   ifcif 3926   {csn 4014    X. cxp 4987    |` cres 4991   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283    oFcof 6523   Fincfn 7518   Basecbs 14614   +g cplusg 14679   .rcmulr 14680   0gc0g 14819   Grpcgrp 16032   invgcminusg 16033   1rcur 17132   Ringcrg 17177   Mat cmat 18887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-hom 14703  df-cco 14704  df-0g 14821  df-prds 14827  df-pws 14829  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-ring 17179  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-dsmm 18741  df-frlm 18756  df-mat 18888
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