MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem5 Structured version   Unicode version

Theorem mdetunilem5 18913
Description: Lemma for mdetuni 18919. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
mdetunilem5.ph  |-  ( ps 
->  ph )
mdetunilem5.e  |-  ( ps 
->  E  e.  N
)
mdetunilem5.fgh  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( F  e.  K  /\  G  e.  K  /\  H  e.  K )
)
Assertion
Ref Expression
mdetunilem5  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w, a, b   
x, B, y, z, w, a, b    x, K, y, z, w, a, b    x, N, y, z, w, a, b   
x, D, y, z, w, a, b    x,  .x. , y, z, w    .+ , a,
b, x, y, z, w    .0. , a, b, x, y, z, w    .1. , a, b, x, y, z, w    x, R, y, z, w    A, a, b, x, y, z, w    x, E, y, z, w    x, F, y, z, w    x, G, y, z, w    x, H, y, z, w    ps, a, b, x, y, z, w    E, a, b
Allowed substitution hints:    R( a, b)    .x. ( a, b)    F( a, b)    G( a, b)    H( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem5
StepHypRef Expression
1 mdetunilem5.ph . 2  |-  ( ps 
->  ph )
2 mdetuni.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 mdetuni.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 mdetuni.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
5 mdetuni.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( ps 
->  N  e.  Fin )
7 mdetuni.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
81, 7syl 16 . . 3  |-  ( ps 
->  R  e.  Ring )
983ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
10 mdetunilem5.fgh . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( F  e.  K  /\  G  e.  K  /\  H  e.  K )
)
1110simp1d 1008 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  F  e.  K )
1210simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  G  e.  K )
13 mdetuni.pg . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
143, 13rngacl 17027 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K  /\  G  e.  K )  ->  ( F  .+  G )  e.  K )
159, 11, 12, 14syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( F  .+  G )  e.  K )
1610simp3d 1010 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  H  e.  K )
1715, 16ifcld 3982 . . 3  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  e.  K )
182, 3, 4, 6, 8, 17matbas2d 18720 . 2  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F 
.+  G ) ,  H ) )  e.  B )
1911, 16ifcld 3982 . . 3  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  F ,  H
)  e.  K )
202, 3, 4, 6, 8, 19matbas2d 18720 . 2  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  e.  B )
2112, 16ifcld 3982 . . 3  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  H
)  e.  K )
222, 3, 4, 6, 8, 21matbas2d 18720 . 2  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  e.  B )
23 mdetunilem5.e . 2  |-  ( ps 
->  E  e.  N
)
24 snex 4688 . . . . . . 7  |-  { E }  e.  _V
2524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  { E }  e.  _V )
2623snssd 4172 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  { E }  C_  N )
27263ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  { E }  C_  N )
28 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  a  e.  { E } )
2927, 28sseldd 3505 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  a  e.  N )
3029, 11syld3an2 1275 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  F  e.  K )
3129, 12syld3an2 1275 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  G  e.  K )
32 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  F )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  F ) )
33 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G ) )
3425, 6, 30, 31, 32, 33offval22 6862 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( ( a  e. 
{ E } , 
b  e.  N  |->  F )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G ) )  =  ( a  e. 
{ E } , 
b  e.  N  |->  ( F  .+  G ) ) )
3534eqcomd 2475 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  ( F  .+  G ) )  =  ( ( a  e. 
{ E } , 
b  e.  N  |->  F )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G ) ) )
36 elsni 4052 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  { E }  ->  a  =  E )
3736adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  { E }  /\  b  e.  N
)  ->  a  =  E )
38 iftrue 3945 . . . . . 6  |-  ( a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  ( F 
.+  G ) )
3937, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  { E }  /\  b  e.  N
)  ->  if (
a  =  E , 
( F  .+  G
) ,  H )  =  ( F  .+  G ) )
4039mpt2eq3ia 6346 . . . 4  |-  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F 
.+  G ) ,  H ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  ( F  .+  G ) )
41 iftrue 3945 . . . . . . 7  |-  ( a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  F ,  H
)  =  F )
4237, 41syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  { E }  /\  b  e.  N
)  ->  if (
a  =  E ,  F ,  H )  =  F )
4342mpt2eq3ia 6346 . . . . 5  |-  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  F )
44 iftrue 3945 . . . . . . 7  |-  ( a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  G ,  H
)  =  G )
4537, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  { E }  /\  b  e.  N
)  ->  if (
a  =  E ,  G ,  H )  =  G )
4645mpt2eq3ia 6346 . . . . 5  |-  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G )
4743, 46oveq12i 6296 . . . 4  |-  ( ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) )  =  ( ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  F )  oF  .+  ( a  e. 
{ E } , 
b  e.  N  |->  G ) )
4835, 40, 473eqtr4g 2533 . . 3  |-  ( ps 
->  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  =  ( ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) )
49 ssid 3523 . . . 4  |-  N  C_  N
50 resmpt2 6384 . . . 4  |-  ( ( { E }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) ) )
5126, 49, 50sylancl 662 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) ) )
52 resmpt2 6384 . . . . 5  |-  ( ( { E }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) )
5326, 49, 52sylancl 662 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) )
54 resmpt2 6384 . . . . 5  |-  ( ( { E }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) )
5526, 49, 54sylancl 662 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) )
5653, 55oveq12d 6302 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)  |`  ( { E }  X.  N ) )  oF  .+  (
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) ) )  =  ( ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) )
5748, 51, 563eqtr4d 2518 . 2  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  =  ( ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)  |`  ( { E }  X.  N ) )  oF  .+  (
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) ) ) )
58 eldifsni 4153 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( N  \  { E } )  -> 
a  =/=  E )
59583ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  ( N  \  { E } )  /\  b  e.  N )  ->  a  =/=  E )
60 df-ne 2664 . . . . . 6  |-  ( a  =/=  E  <->  -.  a  =  E )
6159, 60sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  ( N  \  { E } )  /\  b  e.  N )  ->  -.  a  =  E )
62 iffalse 3948 . . . . . 6  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  H )
63 iffalse 3948 . . . . . 6  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  F ,  H
)  =  H )
6462, 63eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)
6561, 64syl 16 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  a  e.  ( N  \  { E } )  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)
6665mpt2eq3dva 6345 . . 3  |-  ( ps 
->  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E , 
( F  .+  G
) ,  H ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H
) ) )
67 difss 3631 . . . 4  |-  ( N 
\  { E }
)  C_  N
68 resmpt2 6384 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  { E } )  C_  N  /\  N  C_  N )  ->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E , 
( F  .+  G
) ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E }
)  X.  N ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) ) )
6967, 49, 68mp2an 672 . . 3  |-  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  |`  (
( N  \  { E } )  X.  N
) )  =  ( a  e.  ( N 
\  { E }
) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )
70 resmpt2 6384 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  { E } )  C_  N  /\  N  C_  N )  ->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)  |`  ( ( N 
\  { E }
)  X.  N ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H
) ) )
7167, 49, 70mp2an 672 . . 3  |-  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H
) )  |`  (
( N  \  { E } )  X.  N
) )  =  ( a  e.  ( N 
\  { E }
) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )
7266, 69, 713eqtr4g 2533 . 2  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) )  =  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) ) )
73 iffalse 3948 . . . . . 6  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  G ,  H
)  =  H )
7462, 73eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  if ( a  =  E ,  G ,  H )
)
7561, 74syl 16 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  a  e.  ( N  \  { E } )  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  if ( a  =  E ,  G ,  H )
)
7675mpt2eq3dva 6345 . . 3  |-  ( ps 
->  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E , 
( F  .+  G
) ,  H ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) ) )
77 resmpt2 6384 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  { E } )  C_  N  /\  N  C_  N )  ->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H )
)  |`  ( ( N 
\  { E }
)  X.  N ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) ) )
7867, 49, 77mp2an 672 . . 3  |-  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) )  |`  (
( N  \  { E } )  X.  N
) )  =  ( a  e.  ( N 
\  { E }
) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )
7976, 69, 783eqtr4g 2533 . 2  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) )  =  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) ) )
80 mdetuni.0g . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
81 mdetuni.1r . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
82 mdetuni.tg . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
83 mdetuni.ff . . 3  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
84 mdetuni.al . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
85 mdetuni.li . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
86 mdetuni.sc . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
872, 4, 3, 80, 81, 13, 82, 5, 7, 83, 84, 85, 86mdetunilem3 18911 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  e.  B  /\  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  e.  B )  /\  (
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  e.  B  /\  E  e.  N  /\  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) )  =  ( ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  oF  .+  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) ) ) )  /\  ( ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  |`  (
( N  \  { E } )  X.  N
) )  =  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) )  /\  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) )  =  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F 
.+  G ) ,  H ) ) )  =  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) ) )
881, 18, 20, 22, 23, 57, 72, 79, 87syl332anc 1259 1  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027    X. cxp 4997    |` cres 5001   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286    oFcof 6522   Fincfn 7516   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556   0gc0g 14695   1rcur 16955   Ringcrg 17000   Mat cmat 18704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-hom 14579  df-cco 14580  df-0g 14697  df-prds 14703  df-pws 14705  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-rng 17002  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-dsmm 18558  df-frlm 18573  df-mat 18705
This theorem is referenced by:  mdetunilem6  18914
  Copyright terms: Public domain W3C validator