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Theorem mdetunilem5 18427
Description: Lemma for mdetuni 18433. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
mdetunilem5.ph  |-  ( ps 
->  ph )
mdetunilem5.e  |-  ( ps 
->  E  e.  N
)
mdetunilem5.fgh  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( F  e.  K  /\  G  e.  K  /\  H  e.  K )
)
Assertion
Ref Expression
mdetunilem5  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w, a, b   
x, B, y, z, w, a, b    x, K, y, z, w, a, b    x, N, y, z, w, a, b   
x, D, y, z, w, a, b    x,  .x. , y, z, w    .+ , a,
b, x, y, z, w    .0. , a, b, x, y, z, w    .1. , a, b, x, y, z, w    x, R, y, z, w    A, a, b, x, y, z, w    x, E, y, z, w    x, F, y, z, w    x, G, y, z, w    x, H, y, z, w    ps, a, b, x, y, z, w    E, a, b
Allowed substitution hints:    R( a, b)    .x. ( a, b)    F( a, b)    G( a, b)    H( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem5
StepHypRef Expression
1 mdetunilem5.ph . 2  |-  ( ps 
->  ph )
2 mdetuni.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 mdetuni.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 mdetuni.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
5 mdetuni.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( ps 
->  N  e.  Fin )
7 mdetuni.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
81, 7syl 16 . . 3  |-  ( ps 
->  R  e.  Ring )
983ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
10 mdetunilem5.fgh . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( F  e.  K  /\  G  e.  K  /\  H  e.  K )
)
1110simp1d 1000 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  F  e.  K )
1210simp2d 1001 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  G  e.  K )
13 mdetuni.pg . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
143, 13rngacl 16677 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K  /\  G  e.  K )  ->  ( F  .+  G )  e.  K )
159, 11, 12, 14syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( F  .+  G )  e.  K )
1610simp3d 1002 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  H  e.  K )
1715, 16ifcld 3837 . . 3  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  e.  K )
182, 3, 4, 6, 8, 17matbas2d 18329 . 2  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F 
.+  G ) ,  H ) )  e.  B )
1911, 16ifcld 3837 . . 3  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  F ,  H
)  e.  K )
202, 3, 4, 6, 8, 19matbas2d 18329 . 2  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  e.  B )
2112, 16ifcld 3837 . . 3  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  H
)  e.  K )
222, 3, 4, 6, 8, 21matbas2d 18329 . 2  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  e.  B )
23 mdetunilem5.e . 2  |-  ( ps 
->  E  e.  N
)
24 snex 4538 . . . . . . 7  |-  { E }  e.  _V
2524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  { E }  e.  _V )
2623snssd 4023 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  { E }  C_  N )
27263ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  { E }  C_  N )
28 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  a  e.  { E } )
2927, 28sseldd 3362 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  a  e.  N )
3029, 11syld3an2 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  F  e.  K )
3129, 12syld3an2 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  G  e.  K )
32 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  F )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  F ) )
33 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G ) )
3425, 6, 30, 31, 32, 33offval22 6657 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( ( a  e. 
{ E } , 
b  e.  N  |->  F )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G ) )  =  ( a  e. 
{ E } , 
b  e.  N  |->  ( F  .+  G ) ) )
3534eqcomd 2448 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  ( F  .+  G ) )  =  ( ( a  e. 
{ E } , 
b  e.  N  |->  F )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G ) ) )
36 elsni 3907 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  { E }  ->  a  =  E )
3736adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  { E }  /\  b  e.  N
)  ->  a  =  E )
38 iftrue 3802 . . . . . 6  |-  ( a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  ( F 
.+  G ) )
3937, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  { E }  /\  b  e.  N
)  ->  if (
a  =  E , 
( F  .+  G
) ,  H )  =  ( F  .+  G ) )
4039mpt2eq3ia 6156 . . . 4  |-  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F 
.+  G ) ,  H ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  ( F  .+  G ) )
41 iftrue 3802 . . . . . . 7  |-  ( a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  F ,  H
)  =  F )
4237, 41syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  { E }  /\  b  e.  N
)  ->  if (
a  =  E ,  F ,  H )  =  F )
4342mpt2eq3ia 6156 . . . . 5  |-  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  F )
44 iftrue 3802 . . . . . . 7  |-  ( a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  G ,  H
)  =  G )
4537, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  { E }  /\  b  e.  N
)  ->  if (
a  =  E ,  G ,  H )  =  G )
4645mpt2eq3ia 6156 . . . . 5  |-  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G )
4743, 46oveq12i 6108 . . . 4  |-  ( ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) )  =  ( ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  F )  oF  .+  ( a  e. 
{ E } , 
b  e.  N  |->  G ) )
4835, 40, 473eqtr4g 2500 . . 3  |-  ( ps 
->  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  =  ( ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) )
49 ssid 3380 . . . 4  |-  N  C_  N
50 resmpt2 6193 . . . 4  |-  ( ( { E }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) ) )
5126, 49, 50sylancl 662 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) ) )
52 resmpt2 6193 . . . . 5  |-  ( ( { E }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) )
5326, 49, 52sylancl 662 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) )
54 resmpt2 6193 . . . . 5  |-  ( ( { E }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) )
5526, 49, 54sylancl 662 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) )
5653, 55oveq12d 6114 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)  |`  ( { E }  X.  N ) )  oF  .+  (
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) ) )  =  ( ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) )
5748, 51, 563eqtr4d 2485 . 2  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  =  ( ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)  |`  ( { E }  X.  N ) )  oF  .+  (
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) ) ) )
58 eldifsni 4006 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( N  \  { E } )  -> 
a  =/=  E )
59583ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  ( N  \  { E } )  /\  b  e.  N )  ->  a  =/=  E )
60 df-ne 2613 . . . . . 6  |-  ( a  =/=  E  <->  -.  a  =  E )
6159, 60sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  ( N  \  { E } )  /\  b  e.  N )  ->  -.  a  =  E )
62 iffalse 3804 . . . . . 6  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  H )
63 iffalse 3804 . . . . . 6  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  F ,  H
)  =  H )
6462, 63eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)
6561, 64syl 16 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  a  e.  ( N  \  { E } )  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)
6665mpt2eq3dva 6155 . . 3  |-  ( ps 
->  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E , 
( F  .+  G
) ,  H ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H
) ) )
67 difss 3488 . . . 4  |-  ( N 
\  { E }
)  C_  N
68 resmpt2 6193 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  { E } )  C_  N  /\  N  C_  N )  ->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E , 
( F  .+  G
) ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E }
)  X.  N ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) ) )
6967, 49, 68mp2an 672 . . 3  |-  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  |`  (
( N  \  { E } )  X.  N
) )  =  ( a  e.  ( N 
\  { E }
) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )
70 resmpt2 6193 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  { E } )  C_  N  /\  N  C_  N )  ->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)  |`  ( ( N 
\  { E }
)  X.  N ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H
) ) )
7167, 49, 70mp2an 672 . . 3  |-  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H
) )  |`  (
( N  \  { E } )  X.  N
) )  =  ( a  e.  ( N 
\  { E }
) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )
7266, 69, 713eqtr4g 2500 . 2  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) )  =  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) ) )
73 iffalse 3804 . . . . . 6  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  G ,  H
)  =  H )
7462, 73eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  if ( a  =  E ,  G ,  H )
)
7561, 74syl 16 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  a  e.  ( N  \  { E } )  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  if ( a  =  E ,  G ,  H )
)
7675mpt2eq3dva 6155 . . 3  |-  ( ps 
->  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E , 
( F  .+  G
) ,  H ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) ) )
77 resmpt2 6193 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  { E } )  C_  N  /\  N  C_  N )  ->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H )
)  |`  ( ( N 
\  { E }
)  X.  N ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) ) )
7867, 49, 77mp2an 672 . . 3  |-  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) )  |`  (
( N  \  { E } )  X.  N
) )  =  ( a  e.  ( N 
\  { E }
) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )
7976, 69, 783eqtr4g 2500 . 2  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) )  =  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) ) )
80 mdetuni.0g . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
81 mdetuni.1r . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
82 mdetuni.tg . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
83 mdetuni.ff . . 3  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
84 mdetuni.al . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
85 mdetuni.li . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
86 mdetuni.sc . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
872, 4, 3, 80, 81, 13, 82, 5, 7, 83, 84, 85, 86mdetunilem3 18425 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  e.  B  /\  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  e.  B )  /\  (
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  e.  B  /\  E  e.  N  /\  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) )  =  ( ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  oF  .+  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) ) ) )  /\  ( ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  |`  (
( N  \  { E } )  X.  N
) )  =  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) )  /\  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) )  =  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F 
.+  G ) ,  H ) ) )  =  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) ) )
881, 18, 20, 22, 23, 57, 72, 79, 87syl332anc 1249 1  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    C_ wss 3333   ifcif 3796   {csn 3882    X. cxp 4843    |` cres 4847   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    e. cmpt2 6098    oFcof 6323   Fincfn 7315   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   .rcmulr 14244   0gc0g 14383   1rcur 16608   Ringcrg 16650   Mat cmat 18285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-ot 3891  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-hom 14267  df-cco 14268  df-0g 14385  df-prds 14391  df-pws 14393  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-rng 16652  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-dsmm 18162  df-frlm 18177  df-mat 18287
This theorem is referenced by:  mdetunilem6  18428
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