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Theorem mdetunilem5 19244
Description: Lemma for mdetuni 19250. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
mdetunilem5.ph  |-  ( ps 
->  ph )
mdetunilem5.e  |-  ( ps 
->  E  e.  N
)
mdetunilem5.fgh  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( F  e.  K  /\  G  e.  K  /\  H  e.  K )
)
Assertion
Ref Expression
mdetunilem5  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w, a, b   
x, B, y, z, w, a, b    x, K, y, z, w, a, b    x, N, y, z, w, a, b   
x, D, y, z, w, a, b    x,  .x. , y, z, w    .+ , a,
b, x, y, z, w    .0. , a, b, x, y, z, w    .1. , a, b, x, y, z, w    x, R, y, z, w    A, a, b, x, y, z, w    x, E, y, z, w    x, F, y, z, w    x, G, y, z, w    x, H, y, z, w    ps, a, b, x, y, z, w    E, a, b
Allowed substitution hints:    R( a, b)    .x. ( a, b)    F( a, b)    G( a, b)    H( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem5
StepHypRef Expression
1 mdetunilem5.ph . 2  |-  ( ps 
->  ph )
2 mdetuni.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 mdetuni.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 mdetuni.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
5 mdetuni.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( ps 
->  N  e.  Fin )
7 mdetuni.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
81, 7syl 16 . . 3  |-  ( ps 
->  R  e.  Ring )
983ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
10 mdetunilem5.fgh . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( F  e.  K  /\  G  e.  K  /\  H  e.  K )
)
1110simp1d 1008 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  F  e.  K )
1210simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  G  e.  K )
13 mdetuni.pg . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
143, 13ringacl 17352 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K  /\  G  e.  K )  ->  ( F  .+  G )  e.  K )
159, 11, 12, 14syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( F  .+  G )  e.  K )
1610simp3d 1010 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  H  e.  K )
1715, 16ifcld 3987 . . 3  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  e.  K )
182, 3, 4, 6, 8, 17matbas2d 19051 . 2  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F 
.+  G ) ,  H ) )  e.  B )
1911, 16ifcld 3987 . . 3  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  F ,  H
)  e.  K )
202, 3, 4, 6, 8, 19matbas2d 19051 . 2  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  e.  B )
2112, 16ifcld 3987 . . 3  |-  ( ( ps  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  G ,  H
)  e.  K )
222, 3, 4, 6, 8, 21matbas2d 19051 . 2  |-  ( ps 
->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  e.  B )
23 mdetunilem5.e . 2  |-  ( ps 
->  E  e.  N
)
24 snex 4697 . . . . . . 7  |-  { E }  e.  _V
2524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  { E }  e.  _V )
2623snssd 4177 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  { E }  C_  N )
27263ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  { E }  C_  N )
28 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  a  e.  { E } )
2927, 28sseldd 3500 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  a  e.  N )
3029, 11syld3an2 1275 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  F  e.  K )
3129, 12syld3an2 1275 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e. 
{ E }  /\  b  e.  N )  ->  G  e.  K )
32 eqidd 2458 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  F )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  F ) )
33 eqidd 2458 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G ) )
3425, 6, 30, 31, 32, 33offval22 6878 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( ( a  e. 
{ E } , 
b  e.  N  |->  F )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G ) )  =  ( a  e. 
{ E } , 
b  e.  N  |->  ( F  .+  G ) ) )
3534eqcomd 2465 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  ( F  .+  G ) )  =  ( ( a  e. 
{ E } , 
b  e.  N  |->  F )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G ) ) )
36 mpt2snif 6395 . . . 4  |-  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F 
.+  G ) ,  H ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  ( F  .+  G ) )
37 mpt2snif 6395 . . . . 5  |-  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  F )
38 mpt2snif 6395 . . . . 5  |-  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  G )
3937, 38oveq12i 6308 . . . 4  |-  ( ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) )  =  ( ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  F )  oF  .+  ( a  e. 
{ E } , 
b  e.  N  |->  G ) )
4035, 36, 393eqtr4g 2523 . . 3  |-  ( ps 
->  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  =  ( ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) )
41 ssid 3518 . . . 4  |-  N  C_  N
42 resmpt2 6399 . . . 4  |-  ( ( { E }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) ) )
4326, 41, 42sylancl 662 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) ) )
44 resmpt2 6399 . . . . 5  |-  ( ( { E }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) )
4526, 41, 44sylancl 662 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) )
46 resmpt2 6399 . . . . 5  |-  ( ( { E }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) )
4726, 41, 46sylancl 662 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  =  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) )
4845, 47oveq12d 6314 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)  |`  ( { E }  X.  N ) )  oF  .+  (
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) ) )  =  ( ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  oF  .+  ( a  e.  { E } ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) )
4940, 43, 483eqtr4d 2508 . 2  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  =  ( ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)  |`  ( { E }  X.  N ) )  oF  .+  (
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) ) ) )
50 eldifsni 4158 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( N  \  { E } )  -> 
a  =/=  E )
51503ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  a  e.  ( N  \  { E } )  /\  b  e.  N )  ->  a  =/=  E )
5251neneqd 2659 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  a  e.  ( N  \  { E } )  /\  b  e.  N )  ->  -.  a  =  E )
53 iffalse 3953 . . . . . 6  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  H )
54 iffalse 3953 . . . . . 6  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  F ,  H
)  =  H )
5553, 54eqtr4d 2501 . . . . 5  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)
5652, 55syl 16 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  a  e.  ( N  \  { E } )  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)
5756mpt2eq3dva 6360 . . 3  |-  ( ps 
->  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E , 
( F  .+  G
) ,  H ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H
) ) )
58 difss 3627 . . . 4  |-  ( N 
\  { E }
)  C_  N
59 resmpt2 6399 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  { E } )  C_  N  /\  N  C_  N )  ->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E , 
( F  .+  G
) ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E }
)  X.  N ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) ) )
6058, 41, 59mp2an 672 . . 3  |-  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  |`  (
( N  \  { E } )  X.  N
) )  =  ( a  e.  ( N 
\  { E }
) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )
61 resmpt2 6399 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  { E } )  C_  N  /\  N  C_  N )  ->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H )
)  |`  ( ( N 
\  { E }
)  X.  N ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H
) ) )
6258, 41, 61mp2an 672 . . 3  |-  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H
) )  |`  (
( N  \  { E } )  X.  N
) )  =  ( a  e.  ( N 
\  { E }
) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )
6357, 60, 623eqtr4g 2523 . 2  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) )  =  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) ) )
64 iffalse 3953 . . . . . 6  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  G ,  H
)  =  H )
6553, 64eqtr4d 2501 . . . . 5  |-  ( -.  a  =  E  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  if ( a  =  E ,  G ,  H )
)
6652, 65syl 16 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  a  e.  ( N  \  { E } )  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
)  =  if ( a  =  E ,  G ,  H )
)
6766mpt2eq3dva 6360 . . 3  |-  ( ps 
->  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E , 
( F  .+  G
) ,  H ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) ) )
68 resmpt2 6399 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  { E } )  C_  N  /\  N  C_  N )  ->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H )
)  |`  ( ( N 
\  { E }
)  X.  N ) )  =  ( a  e.  ( N  \  { E } ) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) ) )
6958, 41, 68mp2an 672 . . 3  |-  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) )  |`  (
( N  \  { E } )  X.  N
) )  =  ( a  e.  ( N 
\  { E }
) ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )
7067, 60, 693eqtr4g 2523 . 2  |-  ( ps 
->  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) )  =  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) ) )
71 mdetuni.0g . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
72 mdetuni.1r . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
73 mdetuni.tg . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
74 mdetuni.ff . . 3  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
75 mdetuni.al . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
76 mdetuni.li . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
77 mdetuni.sc . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
782, 4, 3, 71, 72, 13, 73, 5, 7, 74, 75, 76, 77mdetunilem3 19242 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  e.  B  /\  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  e.  B )  /\  (
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  e.  B  /\  E  e.  N  /\  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) )  =  ( ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  |`  ( { E }  X.  N ) )  oF  .+  ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H
) )  |`  ( { E }  X.  N
) ) ) )  /\  ( ( ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) )  |`  (
( N  \  { E } )  X.  N
) )  =  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) )  /\  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) )  =  ( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) )  |`  ( ( N  \  { E } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F 
.+  G ) ,  H ) ) )  =  ( ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) ) )
791, 18, 20, 22, 23, 49, 63, 70, 78syl332anc 1259 1  |-  ( ps 
->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  ( F  .+  G ) ,  H
) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  F ,  H ) ) ) 
.+  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  E ,  G ,  H ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032    X. cxp 5006    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    oFcof 6537   Fincfn 7535   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   .rcmulr 14712   0gc0g 14856   1rcur 17279   Ringcrg 17324   Mat cmat 19035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-hom 14735  df-cco 14736  df-0g 14858  df-prds 14864  df-pws 14866  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-ring 17326  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-dsmm 18889  df-frlm 18904  df-mat 19036
This theorem is referenced by:  mdetunilem6  19245
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